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        不變子群基本定理以及相關(guān)例題

        2021-05-18 05:56:08韓榮梅內(nèi)蒙古科技大學(xué)包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院
        環(huán)球市場 2021年13期

        韓榮梅 內(nèi)蒙古科技大學(xué)包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院

        一、不變子群的基本理論

        定理1:一個群G 的一個子群N 是一個不變子群的充分而且必要條件是

        a 為G 中任意一個元。

        證明:假設(shè)N 是不變子群,則對于群G 的任意元a 來說,,所以有

        假如對于G 的任何a 來說

        那么

        N 是不變子群。

        定理2:一個群G 的一個子群N 是一個不變子群的充分而且必要條件是

        因此由定理1 得,N 是不變子群。

        例1:證明:群G 的任意一個不變子群的交還是G 的一個不變子群。

        證明:現(xiàn)只需要證,群G 中任意兩個不變子群的交還是群G 的不變子群。

        設(shè)N1、N2為群G 的兩個不變子群,則有N1N2是G 的 子 群,則,并且,但N1、N2為群G 的兩個不變子群,故,所以

        例2:設(shè)H,N 是群G 的兩個子群,證明:

        (1)如果H,N 中有一個是不變子群,則HN 是群G 的一個子群;

        (2)如果H,N 都是G 的不變子群,則HN 是群G 的一個不變子群。

        證明:(1)若H,N 中有一個是不變子群,假如N 是群G 的一個不變子群,則在乘積HN 中任取兩個元素a,b,并令

        則由于H 是G 的子群,而N 是群G 的一個不變子群,所以

        從而HN 是群G 的一個子群。

        (3)設(shè)H,N 都是G 的不變子群,由(1)可知,HN 是群G 的一個子群,

        所以HN 是群G 的一個不變子群。

        例3 指數(shù)是2 的子群一定是不變子群。

        證明:方法一:

        令N 是群G 的一個指數(shù)是2 的子群,并且

        二、不變子群與商群

        定義:群G 的不變子群N 的全體陪集對于陪集的乘法作成一個群,稱G 是關(guān)于N 的商群,用符號來表示。

        商群的階數(shù)是N 在G 中的指數(shù),若G是有限群,則

        例4:證明:如果群G 只有一個n 階子群,那么這個n 階子群一定是G 的不變子群。

        證明:設(shè)H 是群G 的一個n 階子群,則對于G 中任意元素a,也是群G 的一個n 階子群。

        綜上所述,H 為群G 的不變子群。

        例5:置換群S4的不變子群N={E,(12)(34),(13)(24),(14)(23)},求它的陪集組成的商群

        以上的K1, K2, …, K6已經(jīng)包含了S4中的所有元,現(xiàn)用S4的其他元素對N 作陪集,得到的結(jié)果與上面所得到結(jié)果相同。例如:

        由上可制作如表一的商群的群表,例如:

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