云南師范大學信息學院 (650500) 唐明超廣東省佛山市順德區(qū)容山中學 (515800) 潘敬貞廣東省佛山市實驗學校高中部 (528000) 袁錦前

高考中函數(shù)與導數(shù)試題多以壓軸題的形式呈現(xiàn)，具有較強的靈活性，重在考查學生的數(shù)學抽象與邏輯推理核心素養(yǎng)，檢測學生的四基與四能發(fā)展水平，試題往往具有較好的區(qū)分度.但是變化的試題背后總有一些不變的元素以及解決問題的基本方法.文章從研究2020年的部分函數(shù)與導數(shù)試題出發(fā)，探究試題背景，分析試題命題意圖，基于同構(gòu)的視角談解決該類問題的基本做法.

所謂同構(gòu)，就是根據(jù)問題解決需要尋找與之緊密關聯(lián)的特殊函數(shù)，將關聯(lián)函數(shù)的基本性質(zhì)進行遷移并運用于問題解決的過程.同構(gòu)的目的在于從特殊到一般，經(jīng)歷問題的合理轉(zhuǎn)化將看似復雜的問題簡單化，抽象的問題模型化.用好同構(gòu)思想解題可以省去部分常規(guī)解法中必須經(jīng)歷的求導或者分類討論的復雜過程，簡化推理步驟，優(yōu)化數(shù)學運算.同構(gòu)往往涉及到指數(shù)與對數(shù)的轉(zhuǎn)化，切線放縮，整體換元等過程，是解決多個基本初等函數(shù)復合問題的重要手段，主要運用于解決比較大小，零點存在性問題，不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍等問題中.

一、比較大小

例1 (2020年課標全國Ⅱ卷理11題)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

分析：試題是不等式比較大小的經(jīng)典問題，解決關鍵在于抽象出不等式背后所隱藏的函數(shù)，解題的基本方法是先觀察式子的結(jié)構(gòu)特點，將不等式進行適當整理化歸，尋找一個符合式子結(jié)構(gòu)特點的特殊函數(shù)，通過研究關聯(lián)函數(shù)的單調(diào)性、最值等基本性質(zhì)進而實現(xiàn)對原問題的解答.

解析：從未知數(shù)統(tǒng)一的角度將式子轉(zhuǎn)化為2x-3-x<2y-3-y，發(fā)現(xiàn)不等式兩邊的結(jié)構(gòu)相同而且符合函數(shù)f(t)=2t-3-t的基本形式，成功找到了關聯(lián)函數(shù)；容易判斷關聯(lián)函數(shù)f(t)=2t-3-t的單調(diào)性為增函數(shù)，所以由f(x)

例2 (2020年課標全國Ⅰ卷理12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：試題呈現(xiàn)的是一個等式，要求判斷未知數(shù)的大小關系，如果考慮用特殊值法來判斷則不容易找到符合條件的特殊值.所以解決該問題的基本思路首先還是考慮同構(gòu)，即觀察式子的結(jié)構(gòu)特點，尋找符合式子結(jié)構(gòu)特點的函數(shù)，進而研究函數(shù)的性質(zhì).

解析：將式子適當變形得2a+log2a=22b+log22b-1，觀察式子結(jié)構(gòu)特點，容易找到符合條件的函數(shù)f(x)=2x+log2x，且f(2b)-f(a)=1>0；又因為函數(shù)是增函數(shù)，所以2b>a，故選B.

分析：試題考查導數(shù)與三角函數(shù)的綜合問題，考查學生運用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及最值問題的基本技能.試題設計層級遞進，雖然第(2)小題為第(3)小題搭好腳手架，但是(3)題不等式的證明抽象性較強，難度較大.如能用好同構(gòu)思想對不等式進行適當變形，將其轉(zhuǎn)化成與第(2)題結(jié)論相關聯(lián)的結(jié)構(gòu)則可以快速得出證明.

二、零點存在性問題

例4 (2020年課標全國Ⅰ卷文20題)已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).(1)當a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

分析：該題屬于函數(shù)與導數(shù)綜合問題，第(1)題研究確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，意在考查學生的基礎知識與基本技能.能準確求導是前提，掌握導函數(shù)與原函數(shù)的邏輯關系是關鍵.第(2)題考查零點與參數(shù)的取值范圍問題，零點個數(shù)確定，要求參數(shù)a的范圍，解決該類問題一般有三個基本思路可以嘗試.

思路2：如果不分離參數(shù)，可直接對f(x)求導，再對參數(shù)a進行分類討論，通過研究函數(shù)極值或最值的符號確定參數(shù)a的取值范圍.

思路3：同構(gòu)的思想，即通過觀察式子結(jié)構(gòu)特點尋找與之相近的常見函數(shù)或者不等式，通過研究同構(gòu)函數(shù)或不等式的性質(zhì)間接得出答案，解法如下.

特別說明：為滿足邏輯推理的嚴謹性，運用不等式ex≥x+1之前需要給予嚴格證明.可以構(gòu)造f(x)=ex-x-1，所以f′(x)=ex-1，因為f′(0)=e0-1=0且f′(x)=ex-1在x∈R上單調(diào)遞增，所以當x∈(0,+∞)時f′(x)>0，即f(x)單調(diào)遞增；當x∈(-∞，0)時f′(x)<0，即f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)min=f(0)=0，即f(x)=ex-x-1≥0，所以ex≥x+1恒成立.

例5 (2020年浙江卷22題第(1)問)已知1

分析：要證明函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點，等價于證明函數(shù)在區(qū)間上有唯一的實數(shù)根或者圖象與x軸有唯一的交點，當然也可以考慮將函數(shù)分割成兩個恒等的基本初等函數(shù)，證明圖象有唯一的交點.函數(shù)f(x)包含了g(x)=ex與h(x)=x+a兩個基本元素，容易聯(lián)想到同構(gòu)式ex≥x+1恒成立，且取等號的條件為x=0.

解析：令f(x)=ex-x-a=0得ex=x+a，因為1x+1，因為直線y=x+a與直線y=x+1平行且x+a>x+1，所以直線y=x+a一定在直線y=x+1的上方，所以h(x)=x+a與g(x)=ex在(0，+∞)上有唯一零點x0>0，得證.

三、不等式的恒成立問題

例6 (2020年新高考全國Ⅰ卷21題第(1)問)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．若f(x)≥1，求a的取值范圍．

分析：解決不等式恒成立問題主要有三個基本策略，一是通過研究函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)在給定區(qū)間上的取值范圍；二是將不等式拆分成兩部分，分別求其最大值與最小值進行比較；三是利用同構(gòu)思想合理使用切線放縮進行證明.函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna中既包含了指數(shù)，也含有對數(shù)，是較復雜的復合函數(shù)問題，可以優(yōu)先考慮通過指對數(shù)互化構(gòu)造新函數(shù)實現(xiàn)對問題的解答，具體過程如下.

解析：由f(x)=aex-1-lnx+lna≥1得elna+x-1-lnx+lna≥1，考慮構(gòu)造相同的式子結(jié)構(gòu)得elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx，等價于et1+t1≥et2+t2，可以構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex+x，則不等式等價于g(lna+x-1)≥g(lnx)；又因為g(x)為單調(diào)增函數(shù)，不等式等價于lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1恒成立.又因為ex≥x+1(x≥0)等價于x≥ln(x+1)，也等價于x-1≥ln(x-1+1)即x-1≥lnx，所以lnx-x+1≤0，要使得lna≥lnx-x+1恒成立，只需(lna)min≥(lnx-x+1)max，即lna≥0，從而a≥1.

四、高考鏈接

試題1 (2017年新課標全國Ⅱ卷理21題第(1)問)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0，求a.

分析：該題也是不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題，觀察式子結(jié)構(gòu)特點容易聯(lián)想到同構(gòu)不等式ex≥x+1及其變形.所以由函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx≥0得x[a(x-1)-lnx)≥0，等價于a(x-1)-lnx≥0，即lnx≤a(x-1)①；又因為ex≥x+1(x≥0)等價于x≥ln(x+1)，也等價于x-1≥ln(x-1+1)即x-1≥lnx②，由①②兩式得a=1.

分析：(1)該題也是考查不等式的恒成立問題求參數(shù)的取值范圍問題，由式子結(jié)構(gòu)特點容易想到同構(gòu)不等式ex≥x+1及其變形.依題意可得定義域為x∈(0,+∞)，由f(x)=x-1-alnx≥0得x-1≥alnx①，又因為ex≥x+1(x≥0)等價于x≥ln(x+1)，也等價于x-1≥ln(x-1+1)，即x-1≥lnx②，由①②兩式得a=1.

解題反思：如能熟練理解題目結(jié)構(gòu)信息找到問題的本質(zhì)，經(jīng)過適當?shù)霓D(zhuǎn)化就可以利用已知結(jié)論解決問題，整個解題過程思路清晰，目標明確；結(jié)合已有知識經(jīng)驗將原本看似復雜的問題所隱藏的數(shù)學本質(zhì)挖掘出來是解決導數(shù)壓軸題的關鍵與前提.

一類對基本初等函數(shù)進行加減乘除運算得到的形如y=xlnx，y=lnx+ax+b，y=alnx+bx+c，y=aex+bx+c，f(x)=aex-ln(x+b)等的復合函數(shù)是高考考查的熱點和重點.在比較大小，零點探究，不等式證明等問題中，可以嘗試基于同構(gòu)的視角去尋找變化的試題背后不變的問題本質(zhì)，通過對問題進行適當轉(zhuǎn)化與化歸，聯(lián)想與之關聯(lián)的函數(shù)或者不等式.比如不等式x+1≤ex及其變式ln(x+1)≤x,x∈(-1,+∞)就是解決歷年高考試題的重要利器，也是高考命題的重要素材，如能準確識別它并能在解決實際問題的過程中將其靈活地運用好，可以實現(xiàn)簡化推理并優(yōu)化運算的作用.