云南大學附屬中學星耀學校 (650092) 黃 波

一、試題呈現(xiàn)

(2020年全國Ⅲ卷理12)已知55<84，134<85，設a=log53,b=log85,c=log138，則( ).

A.a

C.b

二、試題分析

本題結構較為簡潔，以指對數(shù)為載體考查比大小問題，綜合考查了指對數(shù)運算，比較大小的常規(guī)思路與方法，在考查通性通法的同時，對學生的數(shù)學思維能力提出了更高的要求，重點考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學建模等核心素養(yǎng).

三、解法賞析

下面例舉幾種常用比較a,b大小關系的解法.

評析：比較兩數(shù)的大小關系，作差法是常見的方法，屬于通性通法.本題作差法容易想到，但使用基本不等式難易想到，此時就需要學生要有邏輯推理能力，并對對數(shù)運算法則要有深刻的認識.對數(shù)運算法則的基本法則是加法與減法，在乘積運算lg3·lg8時需考慮轉化為加法與減法運算，需要構建加減與乘積的關系，進而聯(lián)想到基本不等式.學生在學習過程中要重視邏輯推理思維能力的培養(yǎng)，步步要有章可循，有理可講.

評析：比較兩數(shù)的大小關系，作商法是常見的方法，屬于通性通法.使用作商法也會涉及乘積運算lg3·lg8的處理，方法與上述相同.

解法四：(同倍放大)4a=log534=log581log883=3.故4a<4b，即a

評析：一般比較大小問題數(shù)與數(shù)差異性都不大，此題a,b的值差異很小，很難發(fā)現(xiàn)a,b的大小關系，為了容易發(fā)現(xiàn)差異性，可以同倍放大，直到具有明顯差異并能夠比較大小為止.所以，在兩數(shù)值差異性較小的情況下，同倍放大是一種十分直觀而又有效的方法.

評析：由于此題屬于函數(shù)模塊，所以解決問題要有函數(shù)的觀點，函數(shù)的思想.比較大小要聯(lián)想到函數(shù)的單調性，選擇構造合適的函數(shù)，通過函數(shù)的單調性比較大小，該思想在2020年全國Ⅰ,Ⅱ卷中都有明顯的體現(xiàn).此題由于對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)都在變，所以對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)都要有自變量，但是通過觀察很難構造函數(shù)，所以可以選擇待定系數(shù)法，設f(x)=logkx+mx，利用兩組數(shù)據(jù)求出解析式，由于無法直接判斷函數(shù)的單調性，可以采取求導的方式判斷函數(shù)的單調性，再通過單調性比較大小.

四、方法歸納

對于比較大小問題，常用的方法有作差法、作商法、直接法、間接法、二分法、同倍放大、構造函數(shù)等方法，要掌握住核心知識和知識的核心，同時需要重視同性通法，邏輯思維能力培養(yǎng)，加強數(shù)學運算，形成模塊觀點，數(shù)學學習要以提升數(shù)學思維能力為目標.