李志賓, 王三民, 李飛, 彭麒安, 李劍鋒

(西北工業(yè)大學(xué) 機電學(xué)院, 陜西 西安 710072)

與平行軸和行星齒輪傳動相比，多分支齒輪傳動采用功率分流方式，能夠?qū)崿F(xiàn)大功率、大減速比、大扭矩傳動，廣泛應(yīng)用于航空和艦船等動力系統(tǒng)中。

近年來出現(xiàn)的同軸功率分支因體積小、尺寸緊湊等優(yōu)點越來越廣泛地得到應(yīng)用和重視[1-3]。White[4]在1989年就研究直齒圓柱齒輪功率分流傳動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點，提出相比于傳統(tǒng)的行星齒輪傳動具有可靠性強、承載能力大、結(jié)構(gòu)緊湊、重量和噪聲小等特點。Jose等[5]對分扭變速箱中圓柱齒輪傳動在航空、艦船等領(lǐng)域的應(yīng)用進行了全面研究，提出多個齒輪傳動同時嚙合的結(jié)構(gòu)構(gòu)型，并建立同步嚙合數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)值計算獲得了各齒輪齒數(shù)選定方案。楊振等[6-7]在功率分流齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)特性、傳動平穩(wěn)性及強度方面進行了相應(yīng)的研究。相涯等[8]針對功率四分支齒輪傳動系統(tǒng)在考慮各支路均載基礎(chǔ)上建立了系統(tǒng)的配齒條件并進行了計算。李枝軍等[9]針對圓柱齒輪分扭傳動考慮配齒結(jié)果對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響而進行配齒條件研究，提出不同的配齒方法并進行計算分析。閻昌琪等[10]對功率雙分支傳動兩級齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計進行了分析，建立了結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化模型，并開發(fā)了相應(yīng)的計算程序。綜上所述，現(xiàn)有文獻并沒有涉及到對齒輪分支傳動系統(tǒng)在每個支路同步嚙合性能方面的研究。由于分扭傳動齒輪結(jié)構(gòu)是通過多個支路同時進行動力和運動傳遞，每個支路之間的運動互相影響，這為構(gòu)型與配齒參數(shù)設(shè)計帶來了困難。

本文針對同軸六分支分扭人字齒輪傳動系統(tǒng)，根據(jù)其構(gòu)型的特點及其配齒對系統(tǒng)性能的影響，考慮嚙合相位和齒輪模數(shù)等幾何參數(shù)，進行了齒輪配齒條件與配齒方法的理論研究，建立了分支齒輪傳動傳動比條件、鄰接條件、同心條件和同步正確嚙合條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并對每個支路同步嚙合進行研究，提出了同軸六分支齒輪傳動系統(tǒng)的配齒設(shè)計方法，為輸入與輸出軸為同軸多分支傳動齒輪系統(tǒng)構(gòu)型設(shè)計提供了理論基礎(chǔ)。

1 同軸六分支分扭人字齒輪傳動系統(tǒng)的配齒條件

1.1 六分支分扭人字齒輪傳動系統(tǒng)

為了滿足大功率傳動需要，齒輪分扭傳動系統(tǒng)中一般多采用人字齒輪，本文以同軸六分支分扭人字齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，如圖1所示。

圖1 同軸六分支分扭人字齒輪傳動系統(tǒng)

該系統(tǒng)中第Ⅰ級傳動為三分支,即輸入齒輪1同時驅(qū)動齒輪2i(i=1,2,3),實現(xiàn)功率三分流;第Ⅱ級傳動為齒輪2i(i=1,2,3)與對應(yīng)的齒輪3i(i=1,2,3)嚙合,各分支功率傳遞到雙聯(lián)齒輪3i-4i(i=1,2,3)上;第Ⅲ級傳動為齒輪41驅(qū)動齒輪5i(i=1,2),齒輪42驅(qū)動齒輪5i(i=3,4),齒輪43驅(qū)動齒輪5i(i=5,6),再次實現(xiàn)三重功率兩分流;第Ⅳ級傳動中齒輪5i(i=1,2,3,4,5,6)同時與輸出軸上齒輪6嚙合,實現(xiàn)功率的匯流,且輸入軸與輸出軸在同一條直線上,完成功率輸出。在確定該系統(tǒng)各輪齒數(shù)、位置角等幾何參數(shù)時,還要滿足傳動比、鄰接和同心條件,同時要考慮其運動性能相關(guān)的同步嚙合條件。

1.2 傳動比條件

設(shè)輸入齒輪1的齒數(shù)z1,齒輪2i(i=1,2,3)的齒數(shù)z2,齒輪3i(i=1,2,3)的齒數(shù)z3,齒輪4i(i=1,2,3)的齒數(shù)z4,齒輪5i(i=1,2,3,4,5,6)的齒數(shù)z5,齒輪6的齒數(shù)z6,則系統(tǒng)的總傳動比為

(1)

式中:第Ⅰ級傳動比為i1=z2/z1;第Ⅱ級傳動比為i2=z3/z2;第Ⅲ級傳動比為i3=z5/z4;第Ⅳ級傳動比為i4=z6/z5。

設(shè)齒輪系統(tǒng)給定傳動比為id=n1/n6,n1為輸入轉(zhuǎn)速,n2為輸出轉(zhuǎn)速?？紤]系統(tǒng)受齒輪齒數(shù)為整數(shù)等影響,實際傳動比i與給定傳動比id存在相對誤差Δi。其許用值[Δi]一般取3%至5%之間[11],即傳動比條件為

(2)

1.3 鄰接條件

圖2表示齒輪系統(tǒng)一個分支,在同軸六分支分扭人字齒輪傳動系統(tǒng)進行設(shè)計時,要使各齒輪之間不發(fā)生相互碰撞,必須保證齒輪1、31和齒輪51、52之間的齒頂圓必須有一定間隙。設(shè)該分支中齒輪1與齒輪21、31位置角為αg,在αg取最大和最小值時齒輪幾何極限分布如圖2所示。dia和di(i=1,21,31)分別表示齒輪1、21、31的齒頂圓和分度圓直徑。由圖2可得齒輪1與齒輪31滿足的條件為

d1a+d3a

(3)

式中,Oi(i=1,2,3)表示齒輪的幾何中心。與齒輪1相嚙合另2個分支也是此規(guī)律,這里不再贅述。

圖2 系統(tǒng)第Ⅰ級單一分支極限位置

設(shè)分支齒輪41、51、52和齒輪51、41、6之間位置角分別為θi(i=1,2),則當(dāng)θ1取最大和最小值時齒輪幾何極限分布如圖3所示。Oi(i=41,51,52,6)表示齒輪41、51、52,6幾何中心。圖3中,dia和di(i=41,51,6)分別表示齒輪41、51、6的齒頂圓直徑和分度圓直徑。由圖3得齒輪51與齒輪52鄰接條件

圖3 系統(tǒng)第Ⅲ級單一分支極限位置

(4)

齒輪41和齒輪6鄰接條件為

(5)

1.4 同心條件

該同軸六分支人字齒輪分扭傳動系統(tǒng)同心表現(xiàn)為:3個雙聯(lián)齒輪上的齒輪3i(i=1,2,3)和齒輪4i(i=1,2,3)軸線與雙聯(lián)齒輪軸線重合,且平行于齒輪5i(i=1,2,3,4,5,6)旋轉(zhuǎn)軸線。如圖4設(shè)θi(i=1,3)分別表示齒輪41、51、52和齒輪6、51、52之間的位置角。di(i=41,51,6) 表示齒輪41、51、6的分度圓直徑,Oi(i=41,51,52,6)表示齒輪41、51、52、和齒輪6幾何中心。由圖4可得該分支滿足

(6)

將其各齒輪分度圓直徑代入(6)式,可得

(7)

同理其他2個雙聯(lián)齒輪嚙合齒輪分支同心條件也是此規(guī)律,這里不再贅述。

圖4 齒輪系統(tǒng)分支同心簡圖

1.5 同步嚙合條件

該齒輪系統(tǒng)存在3個雙聯(lián)齒輪,為了使得到構(gòu)型滿足互換性使用要求,在一般情況下,2個雙聯(lián)齒輪不完全一樣,但仍假設(shè)雙聯(lián)齒輪位置角完全相同[12]。如圖5所示,規(guī)定點Q齒和點P齒處在同一平面ABCD內(nèi),位置角為0°進行分析。

圖5 雙聯(lián)齒輪位置角

圖6表示同軸六分支分扭人字齒輪傳動系統(tǒng)軸向構(gòu)型簡圖,各齒輪分度圓相切處代表該處相嚙合。齒輪傳遞載荷受齒輪副綜合剛度K影響很大[13],為了滿足齒輪系統(tǒng)傳動時均布安裝和運動同步,規(guī)定齒輪1和齒輪2i(i=1,2,3)之間位置角為120°;以齒輪1為中心,雙聯(lián)齒輪上的齒輪3i(i=1,2,3)和齒輪4i(i=1,2,3)分別與齒輪1位置角為120°。因此確定齒輪系統(tǒng)同步嚙合問題,只要保證齒輪41、5i(i=1,2)與齒輪6,齒輪42、5i(i=3,4)與齒輪6,齒輪43、5i(i=5,6)與齒輪6分別同步嚙合。

圖6 同軸六分支分扭人字齒輪傳動系統(tǒng)軸向構(gòu)型簡圖

由以上分析可知,只要保證與齒輪1相嚙合的三分支其中一個分支,便能使輪系滿足同步正確嚙合。圖7表示以齒輪41、5i(i=1,2)與齒輪六分支為對象分析,假設(shè)齒輪31和41構(gòu)成位置角為0°雙聯(lián)齒輪。點A,B,C和D分別表示齒輪41、51、52和輸出齒輪6的圓心。角θi(i=1,2,3,4)為各相鄰齒輪連心線組成四邊形的4個內(nèi)角,即齒輪的位置角。假設(shè)齒輪1、21和31調(diào)整到正確嚙合,若要保證構(gòu)型同步嚙合,只要齒輪41、51、52和齒輪6正確嚙合即可。

規(guī)定雙聯(lián)齒輪初始狀態(tài):左邊齒Q和齒P通過齒輪連心線AB;右邊齒q和齒p需按圖7表示的運動方向轉(zhuǎn)動ψ+Δψ角才通過連心線AD,ψ表示齒輪52上n個齒距的圓心角,Δψ表示齒輪52上n*個齒距的圓心角(n取整數(shù),0

定義Ti(i=0,1,2)時刻說明分支的嚙合條件,分析如下:

T0時刻:將T0定義為圖7所示的齒輪初始嚙合狀態(tài)時刻,齒輪1、21和齒輪31正確嚙合,齒輪51的齒E通過連心線BC,齒輪52的齒G再順時針轉(zhuǎn)動ψ+Δψ通過連心線AD。

圖7 分支嚙合條件簡圖

T1時刻:將T1定義為隨齒輪轉(zhuǎn)動,齒輪51的Q點與齒輪6的F點相切時刻。此刻,Q點與F點相切,而點G與H未相切,但齒輪51、52和齒輪6轉(zhuǎn)過相同齒距數(shù),對應(yīng)如圖7所示的粗實線標(biāo)記弧長。

T2時刻:將T2定義為隨齒輪繼續(xù)轉(zhuǎn)動,齒輪52的G點與齒輪6的H點相切時刻。此刻,G點和H點相切,而Q點與F點退出相切。從T0到T2時刻,齒輪51、52和齒輪6同樣轉(zhuǎn)過相同齒距數(shù),對應(yīng)如圖7所示的灰色實線標(biāo)記弧長。

由此可知,T1時刻相切唯一對應(yīng)此處輪齒嚙合位置,T2時刻相切唯一對應(yīng)此處輪齒嚙合位置。要保證齒輪41、51、52和齒輪6正確嚙合,只要T1和T2時刻齒輪6上的F和H點嚙合的輪齒具有相同嚙合位置,即齒輪6上的F和H點之間的弧長對應(yīng)的齒距數(shù)為整數(shù),稱齒輪同步嚙合的嚙合條件。如果不能滿足此嚙合條件,則該同軸六分支分扭人字齒輪傳動系統(tǒng)至少存在一處嚙合位置干涉。

設(shè)齒輪41、51、52和齒輪6的齒數(shù)分別為:z41、z51、z52和z6,根據(jù)上述嚙合條件和各齒輪的齒數(shù),齒輪51圓心角θ2內(nèi)的齒距數(shù)為

(8)

齒輪6圓心角θ3內(nèi)的齒距數(shù)為

(9)

齒輪52上灰色標(biāo)記的弧線對應(yīng)的圓心角齒距數(shù)為

(10)

根據(jù)嚙合條件,齒輪6上的F和H點之間弧長齒距數(shù)為整數(shù),可得到齒輪齒數(shù)與位置角的關(guān)系

Nu52+Nu6-Nu51=N

(11)

式中,N為整數(shù),將(8)～(10)式代入(11)式,經(jīng)整理得

(12)

式中,(N+s-z51-n)表示一個整數(shù),以整數(shù)M代之,可得齒輪嚙合條件簡化后的表達式

θ1·z41-θ2·z51+θ3·z6-θ4·z52=2π·M

(13)

在四邊形ABCD中,由內(nèi)角和定理得

θ1+θ2+θ3+θ4=2π

(14)

在四邊形ABCD中,由對角線余弦定理得

標(biāo)準(zhǔn)斜齒圓柱齒輪分度圓半徑表示為

(17)

式中,ri,zi,mit,min和β分別表示齒輪i的分度圓半徑、齒數(shù)、端面模數(shù)、法面模數(shù)和螺旋角,i=41,51,52,6。代入(15)式、(16)式得簡化后為

(18)

式中,mL=m41t=m51t=m52t,mR=m41t=m6t=m52t

(19)

式中:mL=m41t=m51t=m6t,mR=m41t=m6t=m52t

根據(jù)齒輪嚙合條件,相嚙合齒輪模數(shù)相等,可得

若已知齒輪齒數(shù)zi和模數(shù)mit,則可通過(13)、 (14) 、(17) 、(20)和(21)式組成的方程組求未知位置角θ1,θ2,θ3和θ4,且方程組的解受(13)式中的整數(shù)M取值影響。

2 配齒計算方法

針對圖6所示的同軸六分支分扭人字齒輪傳動系統(tǒng),由于齒輪2i(i=1,2,3)、齒輪3i(i=1,2,3)、齒輪4i(i=1,2,3)和齒輪5i(i=1,2,3,4,5,6)均勻分布于輸入齒輪1軸線和輸出齒輪6軸線同一直線周圍,只要確定齒輪1、21、31、41、5i(i=1,2)與齒輪6的位置,整個傳動系統(tǒng)中齒輪之間位置便確定。針對圖7分支齒輪傳動,配齒條件計算的步驟如下:

1) 由初步設(shè)計方法得到滿足齒輪傳動強度和傳動比等參數(shù)的初步齒數(shù)(齒輪1、21、31、41、5i(i=1,2)與齒輪6的齒數(shù)分別為Z1、Z2、Z3、Z4、Z5、Z6),通過進行齒數(shù)組合調(diào)整,滿足上述配齒條件。

2) 調(diào)整齒輪41、5i(i=1,2)、6的齒數(shù)組合。在齒輪傳動系統(tǒng)中,相互嚙合的齒輪越多,就會構(gòu)成封閉嚙合鏈,需要滿足的配齒條件就越多,因此首先要調(diào)整齒輪41、5i(i=1,2)、6的齒數(shù),使之滿足相鄰條件和同心條件后再調(diào)整齒輪1、21、31的齒數(shù)。

θ1Z4-2θ2Z5+θ3Z6=2π·M

(22)

θ1+θ2+2θ3=2π

(23)

式中,M=(N+s-Z51-n),由θ2=θ4可知存在3個未知變量,故在四邊形ABCD中只需要用一次對角線余弦定理

(24)

對(22)、(23)和(24)式組成的方程組進行求解,會得到一個關(guān)于θ1的超越方程

(25)

只要求出θ1的值,則可得θ3和θ2

θ3=arccos

(26)

θ2=2π-θ1-2θ3

(27)

圖8表示超越方程(25)在M取為0的f(θ1)求解曲線。當(dāng)整數(shù)M取不同值時，求解曲線形狀不變,只是求解曲線的位置在f(θ1)方向上下移動。圖8上的K點表示曲線與橫軸的交點,即當(dāng)f(θ1)=0未知量θ1值。在θ1∈[0,2π]范圍內(nèi),求解曲線存在一個峰谷,當(dāng)整數(shù)M取某值時,超越方程的求解曲線與x(θ1)有2個交點,即存在2個θ1值。在單一分支中,已知齒輪齒數(shù)、模數(shù),可得方程(25)～(27)式解,即齒輪之間的位置角。然后檢驗齒輪51與齒輪52鄰接條件式(4)和齒輪41和齒輪6鄰接條件(5)式及分支的同心條件(7)式是否同時滿足,若滿足則進行下一步計算,若不滿足則調(diào)整整數(shù)M繼續(xù)調(diào)整齒輪41、齒輪5i(i=1,2)和齒輪6的齒數(shù)。

圖8 超越方程(25)在M=0的求解曲線

4) 確定齒輪1、21、31的布置角θ5、θ6、θ7。由于齒輪1與齒輪6是同軸的,而齒輪2i(i=1,2,3)以齒輪1圓心為中心均勻分布。由圖9可知

(28)

Oi(i=1,2,3)表示齒輪1、21、31的幾何中心,di(i=1,2, 3)表示齒輪1、21、31分度圓直徑。

圖9 齒輪1、21、31分支簡圖

如圖9所示,初始參數(shù)確定的齒輪分度圓半徑滿足關(guān)系式:DO2O3+DO1O2>DO1O3,就能確定布置角θ5、θ6、θ7。然后檢驗齒輪1、21、31的鄰接條件式(3)是否滿足,最后檢驗是否滿足傳動比式(1)和(2)。若滿足說明各齒輪齒數(shù)滿足配齒條件,若不滿足則繼續(xù)調(diào)整齒輪1、21、31的齒數(shù),甚至重新選定整數(shù)M調(diào)整齒輪41、5i(i=1,2)、6的齒數(shù)。圖10表示配齒計算過程流程圖。

圖10 配齒方法流程圖

3 配齒算例

某艦船的動力傳動系統(tǒng)采用同軸六分支分扭人字齒輪傳動。其初步設(shè)計參數(shù)如表1所示,從表1得齒輪41、5i(i=1,2)、6同步嚙合條件均不滿足。

表1 齒輪初步參數(shù)

采用上述同步嚙合配齒方法,在整數(shù)M取不同值時,方程式(25)～(27)得不同解。表2給出了整數(shù)M取-168到45之間不同值時的位置角。當(dāng)M=-168,齒輪41處于上極限位置,隨著整數(shù)M取值變化,在M=45時,齒輪41處于下極限位置。

表2 系統(tǒng)分支中齒輪之間布置角

圖11表示分支的2個極限位置,黑色粗曲線表示齒輪重合。

圖11 2個極限位置

圖12所示為M=-75時,θ1=55.25°、θ2=139.40°、θ3=25.95°、θ4=139.40°,考慮實際制造和安裝誤差等因素影響,齒輪51和齒輪52很容易發(fā)生干涉。圖13所示為M=30時,θ1=204.75°、θ2=46.04°、θ3=63.17°、θ4=46.04°,再考慮實際制造和安裝誤差等因素影響,齒輪41和齒輪6很容易發(fā)生干涉。圖14為M=16時,θ1=180°、θ2=63.90°、θ3=52.20°、θ4=63.90°,分支各齒輪不發(fā)生干涉。

圖12 M=-75時分支嚙合簡圖 圖13 M=30時分支嚙合簡圖 圖14 M=16時分支嚙合簡圖

表3為M=16時的配齒結(jié)果,此時布置角θ1=180°、θ2=63.90°、θ3=52.20°、θ4=63.90°,該結(jié)果不僅滿足同步嚙合條件,也滿足傳動比條件、鄰接條件和同心條件。圖15表示表3數(shù)據(jù)參數(shù)化設(shè)計得到同軸六分支分扭人字齒輪傳動系統(tǒng)的三維結(jié)構(gòu)模型,各支路滿足均布條件和同步嚙合條件。如圖16所示,通過三維軟件proe驗證分支各齒輪之間的嚙合狀態(tài),無干涉且具有良好的接觸狀態(tài)。因此該配齒方法在同軸的多分支分扭齒輪傳動系統(tǒng)的構(gòu)型設(shè)計

表3 齒輪設(shè)計參數(shù)

上具有普適性,所得結(jié)論同樣適用于較為簡單的二分支、三分支及含有惰輪三分支等傳動系統(tǒng)設(shè)計。

圖15 同軸六分支人字齒輪傳動系統(tǒng)圖16 齒輪41、51、52和6之間嚙合狀態(tài)

4 結(jié) 論

1) 在設(shè)計同軸六分支分扭齒輪傳動系統(tǒng)中除了滿足傳動比條件外,還必須滿足與裝配有關(guān)的鄰接和同心條件,更重要的是滿足與傳動性能有關(guān)的同步嚙合條件。

2) 同軸分扭齒輪傳動系統(tǒng)同一平面上相互嚙合的傳動結(jié)構(gòu)同步配齒條件與各個齒輪的模數(shù)、螺旋角無關(guān),只與各齒輪的齒數(shù)和位置角相關(guān),故本文方法也適用于由直齒輪和斜齒輪組成的分支傳動。

3) 文中建立關(guān)于齒數(shù)、模數(shù)和位置角之間關(guān)系的超越方程,在整數(shù)M取不同值時,超越方程解的曲線形狀不變,只是解的曲線位置在f(θ1)方向上下移動,能得到不同的齒輪傳動構(gòu)型。