姚 婷 (江蘇省南京市第三高級(jí)中學(xué) 210000江蘇省南京市高中數(shù)學(xué)渠東劍名師工作室 210000)

1 背景描述

近日，筆者參加了一次賽課活動(dòng)，課題是“函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象”.這一課題曾多次出現(xiàn)在教研活動(dòng)中，筆者也曾多次執(zhí)教該課題，大多是按照“引入→作圖→比較→歸納”的思路設(shè)計(jì)，但在此次備課和上課的過(guò)程中，筆者對(duì)幾個(gè)問(wèn)題有了一些新的認(rèn)識(shí)，愿與讀者分享．

學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)周期性等相關(guān)知識(shí)，這些是學(xué)習(xí)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的主要認(rèn)知起點(diǎn)．學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，將有助于學(xué)生構(gòu)建較為完整的三角知識(shí)體系，深化對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，有助于進(jìn)一步學(xué)習(xí)相關(guān)的三角知識(shí)．授課對(duì)象來(lái)自四星級(jí)高中普通班，基礎(chǔ)一般．所用教材為《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)(必修4)》(蘇教版)，教學(xué)內(nèi)容為“1.3.3函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象”．

2 教學(xué)片段摘錄

片斷1 創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

師：三角函數(shù)是研究周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，生活中摩天輪的運(yùn)動(dòng)就是一種周期現(xiàn)象．我們先來(lái)研究下面的問(wèn)題．

問(wèn)題1如圖1，摩天輪的半徑為Am，逆時(shí)針做勻速運(yùn)動(dòng)，角速度為ωrad/min．如果從摩天輪上的點(diǎn)P位于圖中的點(diǎn)P0處開(kāi)始計(jì)時(shí)，請(qǐng)?jiān)谌鐖D1所示的坐標(biāo)系中確定時(shí)刻為xmin時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y．

圖1

生：y=Asin(ωx+φ)．

師：形如y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的函數(shù)在生活中經(jīng)常可見(jiàn)．從天體運(yùn)動(dòng)到車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)，再到物理領(lǐng)域中的振動(dòng)、波動(dòng)等，這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型都是y=Asin(ωx+φ)．那么出現(xiàn)了新的函數(shù)，接下來(lái)我們要研究它的哪些方面？

生：研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)．

師：今天這節(jié)課我們就來(lái)研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象．(板書(shū)課題：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象)

片斷2 制定方案，共同探究

問(wèn)題2你們準(zhǔn)備如何研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象呢？

生：用“五點(diǎn)作圖法”作出它的簡(jiǎn)圖．

師：“五點(diǎn)法”作簡(jiǎn)圖應(yīng)該是在已知了函數(shù)大致形狀之后才有的！還有其他方法嗎？

生：(思考)

師：尋求新問(wèn)題和舊知識(shí)的聯(lián)系是我們研究問(wèn)題的常用方法，體現(xiàn)的是轉(zhuǎn)化思想．函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象可能和前面學(xué)習(xí)的哪個(gè)函數(shù)圖象有關(guān)聯(lián)呢？

生：y=sinx．

師：為什么？

生：因?yàn)楫?dāng)A=1，ω=1，φ=0時(shí)，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)就是y=sinx．

師：非常好！這顯然是特殊與一般的關(guān)系．對(duì)于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，由三個(gè)參數(shù)A,ω,φ控制，在它們?nèi)〔煌闹禃r(shí)我們能得到不同的函數(shù)，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)是y=sinx的推廣，它的圖象也就最有可能和y=sinx的圖象有關(guān)．

問(wèn)題3函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象與y=sinx的圖象間有怎樣的關(guān)系呢？同學(xué)們，你們覺(jué)得應(yīng)該如何來(lái)研究？

師：函數(shù)y=Asin(ωx+φ)中有三個(gè)參數(shù)A，ω，φ，如何研究A,ω,φ對(duì)函數(shù)圖象的影響？請(qǐng)大家想想看．(如果學(xué)生回答不出來(lái)，可再引導(dǎo).)

生：控制變量法．

師：如何控制？

生：先固定其中的兩個(gè)參數(shù)，研究剩下的一個(gè)．比如，可以令A(yù)=1，ω=1，研究y=sin(x+φ)與y=sinx之間的關(guān)系．

師：非常好，這里涉及三個(gè)參數(shù)，我們可以“分而治之”，將復(fù)雜問(wèn)題分解，這是化繁為簡(jiǎn)的思想．

師：你準(zhǔn)備先研究哪一個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響呢？(學(xué)生討論)

師：你對(duì)哪個(gè)情形更熟悉一些呢？

生：φ．

問(wèn)題4y=sin(x+1)與y=sinx的圖象有怎樣的關(guān)系？

生：y=sin(x+1)的圖象可以看作是y= sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左平移1個(gè)單位．

師：同學(xué)們利用以往的經(jīng)驗(yàn)，得出的這個(gè)結(jié)論究竟對(duì)不對(duì)呢？我們可以利用電腦作出函數(shù)的圖象來(lái)檢驗(yàn)一下．(多媒體驗(yàn)證)

師：通過(guò)作圖說(shuō)明同學(xué)們給出的結(jié)論是正確的．但是從圖形觀察得到結(jié)論，不夠嚴(yán)謹(jǐn)，能不能用函數(shù)的圖象和函數(shù)解析式的關(guān)系來(lái)證明？

師(提示)：函數(shù)的圖象是由什么構(gòu)成的？

生：圖象是由點(diǎn)構(gòu)成的．

師：函數(shù)圖象的平移如何反映在點(diǎn)上？(這個(gè)環(huán)節(jié)最好要體現(xiàn)從特殊到一般的研究過(guò)程．從研究幾個(gè)特殊的點(diǎn)開(kāi)始，再逐步推廣到圖象上任意一點(diǎn)．而且研究幾個(gè)特殊點(diǎn)的時(shí)候，最好有列表出現(xiàn)在黑板上，這既可以讓學(xué)生有一個(gè)更加清晰的理解，還可以為后面五點(diǎn)法作簡(jiǎn)圖打下基礎(chǔ)．)

生：圖象上所有的點(diǎn)作平移．

師：怎么說(shuō)明所有的點(diǎn)在平移呢？

生：在圖象上任取一點(diǎn)P，通過(guò)點(diǎn)P的變化來(lái)說(shuō)明圖象的變化．

師：很好．設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)是y=sinx圖象上任意一點(diǎn)，將P(x0,y0)沿著x軸方向向左平移φ個(gè)單位(φ>0)，得到點(diǎn)Q(x0+φ，y0)．因?yàn)辄c(diǎn)Q(x0+φ，y0)的坐標(biāo)滿(mǎn)足y=sin(x+φ)，所以它在y=sin(x+φ)的圖象上；反之也成立．我們可以類(lèi)似地說(shuō)明當(dāng)φ<0時(shí)結(jié)論也正確．

問(wèn)題5剛才我們采用了怎樣的研究方法？又有了怎樣的結(jié)論？

生：作圖、觀察、猜想、驗(yàn)證．y=sin(x+φ)的圖象可以看作是y=sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左或向右平移|φ|個(gè)單位．

師：有了剛才的研究經(jīng)驗(yàn)，接下來(lái)我們分別研究A，ω對(duì)函數(shù)圖象的影響．請(qǐng)各組同學(xué)取不同的值，作圖觀察，然后再相互交流，看看你們的研究結(jié)論是不是一致的．

(后略)

3 教學(xué)反思

3.1 整體設(shè)計(jì)，全局意識(shí)

函數(shù)y=Asin(ωx+φ)具有豐富的現(xiàn)實(shí)背景，是描述現(xiàn)實(shí)生活周期現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)模型，在解決實(shí)際問(wèn)題中有著重要的作用．而摩天輪是生活中常見(jiàn)的事物，學(xué)生非常熟悉并且大多都曾體驗(yàn)過(guò)，以摩天輪為背景引入函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)有現(xiàn)實(shí)意義，是一個(gè)非常典型的函數(shù)建模過(guò)程．本節(jié)課通過(guò)實(shí)例引入，有利于學(xué)生感受學(xué)習(xí)新知識(shí)的必要性，體會(huì)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.

此外，筆者認(rèn)為，摩天輪問(wèn)題可以貫穿這一章的始末，它不僅僅可以作為本節(jié)課的問(wèn)題情境，也可作為“1.1.1任意角”、“1.1.2弧度制”、“1.2.1任意角的三角函數(shù)”的問(wèn)題情境，同時(shí)摩天輪也是反映三角函數(shù)的周期性的典型例子．選擇本節(jié)課的實(shí)例應(yīng)當(dāng)關(guān)聯(lián)前后章節(jié)的內(nèi)容，應(yīng)有整體意識(shí)．摩天輪這一模型背景簡(jiǎn)單，重點(diǎn)突出，相較于筒車(chē)、水輪、鐘擺等例子，更能突出本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)與生活存在緊密聯(lián)系，教學(xué)中適當(dāng)創(chuàng)設(shè)情境能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，但是情境創(chuàng)設(shè)只是手段不是目的，情境創(chuàng)設(shè)過(guò)多會(huì)分散學(xué)生的注意力，情境創(chuàng)設(shè)不合適也會(huì)沖淡整節(jié)課的主題，因而問(wèn)題情境的選擇要精、巧、準(zhǔn)．

3.2 固定變量，化繁為簡(jiǎn)

本節(jié)課的難點(diǎn)是認(rèn)識(shí)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象與y=sinx的圖象的關(guān)系.參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象都將產(chǎn)生影響，往往使學(xué)生感到抽象和難以解決．為了突破此難點(diǎn)，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生制定探討思路，并在此基礎(chǔ)上確定探討思路，即相對(duì)固定其中2個(gè)變量，只探討1個(gè)變量的作用，體會(huì)探討多變量問(wèn)題的一般方法．函數(shù)的圖象是由點(diǎn)構(gòu)成的，因此函數(shù)圖象的變換本質(zhì)上是點(diǎn)的變換，這是化繁為簡(jiǎn)思想的體現(xiàn)．讓學(xué)生在問(wèn)題的引導(dǎo)下自主探究研究策略，有利于培養(yǎng)其認(rèn)知策略．因此，教學(xué)中要充分開(kāi)展探究活動(dòng)，使學(xué)生在探究過(guò)程中理解變換本質(zhì)，促進(jìn)理性思維；在探究過(guò)程中培養(yǎng)探究能力，形成探究習(xí)慣；在探究過(guò)程中完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)展認(rèn)知策略．

3.3 大膽猜想，小心求證

筆者在備課過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)有不少課例都是先讓學(xué)生用“五點(diǎn)(畫(huà)圖)法”畫(huà)圖，然后找尋函數(shù)圖象之間的關(guān)聯(lián)．關(guān)于五點(diǎn)作圖法，教材在“1.3.2三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)”一節(jié)中，通過(guò)Excel軟件繪制出正弦函數(shù)圖象后，找到圖象上起著關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)，這樣介紹到：“在精確度要求不太高時(shí)，我們常常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑的曲線將它們連接起來(lái)，就得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖．今后，我們將經(jīng)常使用這種‘五點(diǎn)(畫(huà)圖)法’．”故而，五點(diǎn)作圖法應(yīng)當(dāng)是在已知函數(shù)的大致圖象后使用的．而就本節(jié)課而言，學(xué)生還不知道函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的大致圖象，就讓學(xué)生用五點(diǎn)作圖法去作圖，筆者認(rèn)為不妥．因此，筆者采用了另一種設(shè)計(jì)思路：先讓學(xué)生有一個(gè)感性認(rèn)識(shí)，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象可能與y=sinx的圖象有關(guān)，讓學(xué)生嘗試探究從特殊的三角函數(shù)變換到一般的三角函數(shù)的過(guò)程．問(wèn)題4給了學(xué)生一個(gè)臺(tái)階，鼓勵(lì)學(xué)生利用現(xiàn)有知識(shí)思考新問(wèn)題，先大膽猜想，再小心求證，然后借助于計(jì)算機(jī)作圖獲得直觀的認(rèn)識(shí)，最后進(jìn)行代數(shù)驗(yàn)證.這樣的環(huán)環(huán)相扣是探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般策略．

3.4 授人以魚(yú)，不如授人以漁

無(wú)論是課題引入還是問(wèn)題解決，教師在授課過(guò)程中扮演的角色始終是引導(dǎo)者，學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體．“同學(xué)們，你們覺(jué)得應(yīng)該如何來(lái)研究？”“如何控制？”“你準(zhǔn)備先研究哪一個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響呢？”“你對(duì)哪個(gè)情形更熟悉一些呢？”等教師言語(yǔ)對(duì)學(xué)生的思維往往會(huì)起到“推波助瀾”的作用.在教學(xué)的過(guò)程中，教師不僅僅要讓學(xué)生解決問(wèn)題，更要讓學(xué)生掌握解決問(wèn)題的一般方法．

問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)往往可以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，但這只是教學(xué)的第一環(huán)節(jié)，如何保持興趣，更是教師需要思考的.引起并始終保持學(xué)生的注意力，才是培養(yǎng)學(xué)生興趣的要義所在．每節(jié)課大體可分為三個(gè)階段：?jiǎn)栴}引入、問(wèn)題探究、問(wèn)題解決.在這三個(gè)階段，教師可引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生三種趣味．在問(wèn)題引入階段，重在激起學(xué)生的興趣，讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生好奇的心理；在問(wèn)題探究階段，運(yùn)用問(wèn)題和懸念，讓學(xué)生保持興趣，并通過(guò)自己的思考或是行動(dòng)，對(duì)問(wèn)題解決產(chǎn)生期待；在問(wèn)題解決階段，讓學(xué)生感到好奇和期待是值得的，并在這一階段產(chǎn)生滿(mǎn)足感．好奇、期待、滿(mǎn)足，這不就是學(xué)生在課堂中感受到的三種趣味嗎？激起、保持、升華，這正是教師的教學(xué)智慧．授人以魚(yú)，不如授人以漁，更要授人以欲．