張躍飛 (浙江省平湖市南市學(xué)校 314200)

折疊問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的一類重要問(wèn)題，其本質(zhì)是軸對(duì)稱變換.由于此類問(wèn)題涉及到豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想，對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展具有獨(dú)特作用，因此折疊問(wèn)題往往得到數(shù)學(xué)教育者的青睞.在八年級(jí)學(xué)習(xí)特殊的四邊形之后，可以安排一個(gè)折疊問(wèn)題的專題探究，有助于學(xué)生的思維發(fā)展與探究能力提升.文章選取的矩形折疊案例立足于整體視角，采用系統(tǒng)化設(shè)計(jì)方式，從一個(gè)基本圖形出發(fā)，通過(guò)系列變化由易到難逐步加深，滲透著特殊到一般以及一般到特殊的數(shù)學(xué)思想.折疊問(wèn)題“折”的是圖形，“探”的卻是蘊(yùn)含著的思維與一般思想方法.

1 以“折”引思，探尋研究方法

學(xué)生學(xué)習(xí)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程，教學(xué)中教師應(yīng)設(shè)計(jì)好活動(dòng)，并留給學(xué)生充分的時(shí)間和空間，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、猜想、計(jì)算、推理等過(guò)程，在“做”與“思”的經(jīng)歷中促進(jìn)思維發(fā)展.矩形的折疊問(wèn)題中“折”并不是目的，“折”只是手段，以“折”引思，探尋一般的研究方法才是真諦.因此，教學(xué)中教師從“矩形有哪些基本要素？”出發(fā)進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧，并以下面的活動(dòng)1作為引子開(kāi)啟數(shù)學(xué)探究之旅.

活動(dòng)1給你一張白紙，你能折出一個(gè)面積最大的正方形嗎？

圖1

學(xué)生利用手中的白紙很快就折出了圖1中的四邊形CDEF.這時(shí)，教師適時(shí)提出問(wèn)題：你能說(shuō)明折得的這個(gè)四邊形CDEF一定是正方形嗎？這個(gè)問(wèn)題旨在讓學(xué)生明白,對(duì)“折得”的結(jié)果需要進(jìn)行理性思辨，把學(xué)生的操作行為引導(dǎo)到數(shù)學(xué)思維層面，以此促進(jìn)思維發(fā)展.這個(gè)說(shuō)理的過(guò)程并不難，大多數(shù)學(xué)生能夠掌握.當(dāng)學(xué)生解決了說(shuō)理這個(gè)問(wèn)題后，教師進(jìn)行追問(wèn)：仔細(xì)觀察折痕DF和頂點(diǎn)C的位置，它們有何特殊性？這個(gè)追問(wèn)是點(diǎn)睛之筆，一下子把學(xué)生雜亂無(wú)序的思維逐步引向正軌.學(xué)生從圖形中可以發(fā)現(xiàn)折痕DF經(jīng)過(guò)了矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，且恰好平分了矩形的一個(gè)內(nèi)角，而頂點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在矩形的一條邊上.這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納小結(jié)，讓學(xué)生知道“研究特例”是數(shù)學(xué)研究的一般方法.教師趁熱打鐵提出如下問(wèn)題：

從矩形的基本要素出發(fā)，還可以怎樣折疊這個(gè)矩形，使得折痕或頂點(diǎn)所落的位置具有特殊性？請(qǐng)?jiān)囈辉?

經(jīng)過(guò)學(xué)生的自主探究與小組交流，得到了許多圖形，圖2～圖5是一些比較有代表性的圖形.

圖2 圖3 圖4 圖5

面對(duì)那么多的圖形，這時(shí)候就需要進(jìn)行梳理歸類，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有序思考.先圍繞“折痕”進(jìn)行梳理，發(fā)現(xiàn)折痕“經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)、經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心、在對(duì)角線上、在對(duì)稱軸上”是最常見(jiàn)的特例；再?gòu)恼郫B后頂點(diǎn)所在的位置進(jìn)行思考，發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)“落在邊上、落在其他頂點(diǎn)、落在對(duì)角線上”是最重要的三種特例(圖6).

圖6

通過(guò)歸納讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考問(wèn)題的一般方法，養(yǎng)成有序思考問(wèn)題的習(xí)慣.同時(shí)對(duì)考察特例是數(shù)學(xué)研究的一種重要方法也有了新的理解與感悟.

2 用“折”助析，積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

經(jīng)過(guò)前面的探究與思考，學(xué)生對(duì)于矩形折疊問(wèn)題的研究方向有了初步了解，接下來(lái)選擇“折痕”與“頂點(diǎn)”都具有特殊性的例子開(kāi)展具體研究.于是教師提出了如下問(wèn)題：

圖7

活動(dòng)2如圖7，將矩形ABCD沿BE翻折，使頂點(diǎn)C落在邊AD上的點(diǎn)F，若AB=6，BC=10.求DE的長(zhǎng).

這幅圖來(lái)源于前面的操作，因此學(xué)生對(duì)此感覺(jué)很熟悉，現(xiàn)在重新拿出來(lái)，需要教師先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形中“折痕”與“頂點(diǎn)”的特殊性進(jìn)行觀察.由于八年級(jí)是實(shí)驗(yàn)幾何向論證幾何過(guò)渡的關(guān)鍵時(shí)期，因此把“折”這個(gè)具體操作行為適當(dāng)弱化，取而代之的是抽象、觀察與思考，通過(guò)再次理性審視整幅圖的特征，既為后面的問(wèn)題解決與經(jīng)驗(yàn)積累做準(zhǔn)備，同時(shí)又能發(fā)展學(xué)生的抽象能力，提升學(xué)生的思維水平.

為了幫助學(xué)生加深對(duì)問(wèn)題解決經(jīng)驗(yàn)及數(shù)學(xué)思想的理解與感悟，教學(xué)中設(shè)計(jì)了一個(gè)鞏固練習(xí)：

圖8

如圖8，將矩形ABCD沿折痕EF翻折，記點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，點(diǎn)C恰好落在A處.若AB=6，BC=10.求DE的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)這個(gè)鞏固練習(xí)可以讓學(xué)生再次完整地經(jīng)歷整個(gè)解題過(guò)程，同時(shí)提升學(xué)生的運(yùn)算能力，通過(guò)舉一反三達(dá)到觸類旁通、多解歸一的目的，也為九年級(jí)學(xué)習(xí)相似三角形、三角函數(shù)等知識(shí)后解決此類問(wèn)題積累一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

3 借“折”拓展，提升思維層級(jí)

從特殊到一般、從具體到抽象是數(shù)學(xué)研究的一般方法.在前面特例研究的基礎(chǔ)上適度拓展，可以提升思維層級(jí)、引發(fā)數(shù)學(xué)思考，激起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.同時(shí)，也能讓學(xué)生了解研究問(wèn)題的一般性方法，促進(jìn)學(xué)生的思維成長(zhǎng)與素養(yǎng)提升.為此在探究活動(dòng)1和2的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了如下活動(dòng)：

圖9

活動(dòng)3如圖9，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，點(diǎn)E,F分別是線段CD,BC上的動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿EF翻折，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′在線段AD上，當(dāng)折痕EF移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C′在線段AD上也隨之移動(dòng).求AC′的取值范圍.

對(duì)于八年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，在沒(méi)有鋪墊與經(jīng)驗(yàn)積累的基礎(chǔ)上直接解決此類動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題還是有困難的.尤其是八年級(jí)學(xué)生的空間想象能力還比較弱，如果沒(méi)有具體的操作，僅憑“想”，大多數(shù)學(xué)生還找不到問(wèn)題解決的路徑.這時(shí)候教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)際操作很有必要，“折”在這里體現(xiàn)為一種策略，是問(wèn)題解決的重要輔助手段，通過(guò)“折”讓學(xué)生感悟圖形的變化規(guī)律，探尋出問(wèn)題解決的路徑，最終順利解決問(wèn)題.

在實(shí)際教學(xué)中教師先讓學(xué)生在操作中直觀感知圖形變化并進(jìn)行獨(dú)立思考，然后再組織學(xué)生開(kāi)展小組活動(dòng)，讓每個(gè)學(xué)生交流自己的發(fā)現(xiàn)與想法.接著教師再以問(wèn)題串的方式啟發(fā)點(diǎn)撥，從而讓思維逐步走向深刻.教師的問(wèn)題串如下：

(1)折痕與頂點(diǎn)所落位置是折疊問(wèn)題中的關(guān)鍵要素，那么在折痕中的端點(diǎn)F從C到B的變化過(guò)程中，你發(fā)現(xiàn)AC′的大小如何變化？

(2)折痕中的端點(diǎn)E從C到D的變化過(guò)程中，AC′的大小又是如何變化的？

(3)折痕變化過(guò)程中有沒(méi)有特殊的位置？請(qǐng)嘗試畫(huà)出這個(gè)圖形.結(jié)合“折”與“畫(huà)”的過(guò)程嘗試解決這個(gè)問(wèn)題.

(4)從活動(dòng)1到活動(dòng)3，這其中蘊(yùn)含著怎樣的數(shù)學(xué)思想，以后碰到此類問(wèn)題你將如何思考？

四個(gè)問(wèn)題層層遞進(jìn)、直指要害，注重思維內(nèi)涵，在“折”的助力下找到解題路徑，最終突破困境、提升思維.第(4)個(gè)問(wèn)題更是把學(xué)生的思維提升到思想方法的高度，讓學(xué)生感受到從特殊到一般的研究思路，再?gòu)囊话愕教厥獾慕鉀Q策略.

4 順“折”提問(wèn)，培養(yǎng)問(wèn)題意識(shí)

好的問(wèn)題能激活學(xué)生的思維，在課堂教學(xué)中教師不僅要善于提出好的問(wèn)題，而且還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析并解決問(wèn)題.而高水平的課堂提問(wèn)應(yīng)具有可模仿性，實(shí)現(xiàn)從“問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生思維”到“學(xué)生自主提問(wèn)，開(kāi)展創(chuàng)新學(xué)習(xí)”的過(guò)渡.[2]經(jīng)過(guò)前面的矩形翻折操作以及活動(dòng)探究，學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題已經(jīng)有了初步的了解.為了讓學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)矩形翻折問(wèn)題的本質(zhì)理解，提升發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力，促進(jìn)問(wèn)題意識(shí)的發(fā)展，教師適時(shí)給學(xué)生創(chuàng)造提問(wèn)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在提問(wèn)中得到思維的生長(zhǎng).

比如，在探究活動(dòng)3完成后,教師先讓學(xué)生模仿著自主提問(wèn)，然后師生進(jìn)行共同梳理，得到了如下一些問(wèn)題：

(1)用一張白紙能不能折出一個(gè)菱形.

(2)求圖形8中折痕EF的長(zhǎng).

(3)如圖5，如果把矩形的一個(gè)頂點(diǎn)折到對(duì)角線上，其他數(shù)據(jù)不變，那么折痕長(zhǎng)為多少？

這幾個(gè)問(wèn)題是在模仿的基礎(chǔ)上提出來(lái)的，是前面探究的自然延續(xù)，雖然在難度以及創(chuàng)新方面還不夠，但對(duì)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)的培養(yǎng)卻是很有價(jià)值的.在此基礎(chǔ)上教師可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度來(lái)提出問(wèn)題，比如可以從角、周長(zhǎng)、面積等方面進(jìn)行提問(wèn)，也可以從更一般的翻折情況來(lái)考慮.由于學(xué)生個(gè)人的力量還比較小，此時(shí)開(kāi)展小組合作是最恰當(dāng)?shù)?，?jīng)過(guò)小組成員的共同努力,又得到許多問(wèn)題，現(xiàn)選取其中的三個(gè)問(wèn)題呈現(xiàn)如下：

①如圖8，求重疊部分的周長(zhǎng)和面積.

②如圖8，求證:△AEF是等腰三角形.

圖10

③如圖10，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，將△BCE沿著B(niǎo)E進(jìn)行翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，若要使折疊后頂點(diǎn)C一直落在矩形內(nèi)部，那么折痕BE長(zhǎng)的取值范圍是多少？

通過(guò)提問(wèn)使學(xué)生加深了對(duì)知識(shí)的理解，提升了學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，長(zhǎng)此以往必將促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.

5 觀“折”點(diǎn)撥，感悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想的提升是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，需要在具體的活動(dòng)過(guò)程中予以滲透，而數(shù)學(xué)思想方法的滲透卻離不開(kāi)教師的適時(shí)點(diǎn)撥與引導(dǎo)，因此教學(xué)中教師應(yīng)善于把握機(jī)會(huì)，結(jié)合具體的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想.本節(jié)課教學(xué)中有許多的機(jī)會(huì)滲透數(shù)學(xué)思想.比如從活動(dòng)1到活動(dòng)3,這個(gè)設(shè)計(jì)旨在讓學(xué)生體會(huì)特殊到一般的思想.但這里的活動(dòng)是連續(xù)的，每個(gè)活動(dòng)又是一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的過(guò)程，因此學(xué)生的思維很容易淹沒(méi)在具體的問(wèn)題解決中，不容易感受到特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.所以三個(gè)探究活動(dòng)完成后,教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從整體的角度予以思考，讓學(xué)生感悟蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想.同時(shí)，活動(dòng)3中問(wèn)題解決的思路恰恰體現(xiàn)了從一般到特殊的思想方法.經(jīng)過(guò)這個(gè)點(diǎn)撥與啟發(fā)的過(guò)程，學(xué)生對(duì)“特殊到一般”“一般到特殊”有了更深的理解.

再如，利用勾股定理列方程來(lái)解決活動(dòng)2中的線段長(zhǎng)問(wèn)題，學(xué)生要感悟蘊(yùn)含的方程思想同樣需要教師的點(diǎn)撥.也許學(xué)生一次兩次還不能深切地體會(huì)到方程思想的價(jià)值，但一定能積累起方程思想的經(jīng)驗(yàn)，萌發(fā)出對(duì)方程思想更深理解的種芽.等到九年級(jí)學(xué)習(xí)相似三角形、三角函數(shù)后，還可以利用這些知識(shí)來(lái)列方程解決問(wèn)題，從而進(jìn)一步加深對(duì)方程思想的感悟.