（西華師范大學數(shù)學與信息學院，四川 南充 637002）

本文主要對以下具有信號回路的趨化模型進行研究，

該模型是文獻[1]中提出的趨化模型的簡化，其中，Ω ?R2是一個具有光滑邊界的有界區(qū)域，表示關于邊界? Ω的外法向量ν的導數(shù)，未知函數(shù)u(x,t)、v(x,t)、w(x,t)和z(x,t)分別表示巨噬細胞密度、乳腺癌細胞密度、CSF-1 的濃度和EGF 的濃度，參數(shù) χ1、χ2和 χ3分別表示巨噬細胞、乳腺癌細胞和乳腺癌細胞系中CSF-1/CSF -1R 自分泌信號回路的趨化系數(shù)，參數(shù)s1、s2分別表示乳腺癌細胞分泌CSF-1 和巨噬細胞分泌EGF 的速率，參數(shù)r1、r2分別表示CSF 和EGF 的均勻降解速率。假設參數(shù)s1、s2、r1、r2都是正常數(shù)，初始值u0、v0、w0和z0都是非負函數(shù)。

該模型描述了乳腺癌細胞和巨噬細胞在短期化學信號回路中的趨化性行為。巨噬細胞分泌EGF，一方面有自身的自由擴散；另一方面會朝向由乳腺癌細胞所分泌的CSF-1 的濃度梯度方向做趨化性運動。乳腺癌細胞通過操縱固定的巨噬細胞信號來遷移，乳腺癌細胞分泌CSF-1，一方面可與巨噬細胞上的CSF-1 受體結合激活巨噬細胞向CSF-1 梯度趨化并分泌EGF；另一方面EGF 可以與乳腺癌細胞上的受體結合，這樣就激活了循環(huán)鏈，激活的乳腺癌細胞通過分泌更多的CSF-1 并向EGF 梯度方向做趨化運動[2 ? 4]，這一過程導致了短距離趨化信號回路。

目前對于模型（1）相關模型的研究已經取得了很大的進展，比如，Tao 等[5]研究了模型（1）當τ=0，χ3=0時解的全局存在性，并得到了當兩種物質的總質量都很小時模型解的全局有界性與爆破現(xiàn)象。Li 等[6]進一步討論了τ=1,χ3=0時解的全局存在性，同樣得到了相應的模型在初始細胞質量都很小時解的全局有界性和爆破現(xiàn)象。Lin 等[7]對具有信號回路的情況進行研究并證明了當τ=0時模型（1）解的全局存在性和爆破現(xiàn)象。然而當τ=1時模型（1）解的性質目前尚未看到研究結果，為此在本文中主要討論τ =1,χ3＞0時，在二維有界域中模型（1）解的全局存在性和有界性。

1 預備知識和主要結果

我們首先敘述模型（1）當τ=1時解的局部存在性，局部存在性的證明方法與文獻[8]中方法類似，所以本文省略了證明過程。

引理1（解的局部存在性）設χi∈R(i=1,2,3)，則對于任意的非負初始值存在Tmax∈(0,∞)使得問題（1）存在一個非負經典解（Tmax表示最大存在的時間）。且當Tmax<∞，有

下面關于解的L1估計，將會在我們的證明過程中頻繁使用。

引理2設都是非負的，且對于任意的x∈Ω及t＞0，都有u(x,t)和v(x,t)是正的。其中(u,v,w,z)是模型（1）的經典解，則對于所有的t∈(0,Tmax)，有

證：對式(1)中的第1 個和第2 個方程在 Ω上進行積分，有

因此推出了式(3)和式(4)。同樣對式(1)中的第3 個和第4 個方程在 Ω上進行積分，得到

調用恒等式(3)、式(4)以及利用ODE 常數(shù)變易法和能量守恒定律，再在(0,t)上進行積分，其中t∈[0,Tmax)，得到

從而完成引理的證明。

接下來，我們回顧二維情形下的Gagliardo-Nirenberg 插值不等式[9]，這將用來證明我們的主要結果。

2 定理1 的證明