蘇明慧，任全彬，羅志清，韓 飛，龔學兵，張 菲，張佩俊，張 熙

(1.中國航天科技集團有限公司四院四十一所，西安 710025；2.中國航天科技集團有限公司第四研究院，西安 710025)

0 引言

小型戰(zhàn)術導彈命中精度高、機動能力強，是地面部隊的重要武器之一。導彈總體設計作為一項復雜的系統(tǒng)工程，具有涉及的學科領域多、專業(yè)分工細、學科間耦合關系復雜和整體性能非線性的特點。如何從系統(tǒng)角度綜合考慮多個學科的影響，有效組織和利用各種先進的信息化技術對導彈進行建模、仿真、分析以及優(yōu)化，提高導彈的設計開發(fā)水平，是目前導彈設計領域亟須解決的問題之一[1]。多學科設計優(yōu)化(Multidisciplinary Design Optimization, MDO)就此應運而生。MDO最早由Sobieski[2]提出，其以系統(tǒng)最優(yōu)為目標，通過協(xié)調(diào)各學科(子系統(tǒng))之間的耦合關系及優(yōu)化過程，可獲得系統(tǒng)最優(yōu)的設計方案。在方案論證階段，MDO技術具有較強的工程應用價值，有助于降低研制費用，縮短設計周期。

國外已經(jīng)將MDO理論成功用于航空航天領域的工程實踐。波音公司開發(fā)了基于高精度分析模型的飛機 MDO 系統(tǒng)——MDOPT[3]。美國噴氣推進實驗室在火星探測器的設計中運用了多學科設計優(yōu)化技術[4]。NASA 開發(fā)了高擬真度MDO設計與優(yōu)化工具Open MDAO[5-6]。國內(nèi)也在導彈、運載火箭、有翼再入飛行器、亞軌道重復使用運載器和高超聲速飛行器[7-15]優(yōu)化設計與MDO技術的結合上做了一定的研究工作，但尚未成熟地用于工程實踐。OPTIMUS是一款過程集成與多學科優(yōu)化軟件，可“設計、修改、再分析”流程自動化。OPTIMUS已經(jīng)被廣泛用于導彈總體參數(shù)設計[16]、導彈控制系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化[17]、臨近空間飛行器的再入軌跡優(yōu)化[18]等方面。

本文依據(jù)某近程小型戰(zhàn)術導彈總體設計問題，基于OPTIMUS研究MDO在導彈總體參數(shù)方案設計中的應用，旨在為提高導彈總體設計水平提供方法指導。

1 小型戰(zhàn)術導彈多學科分析模型

1.1 小型戰(zhàn)術導彈基準方案及系統(tǒng)分解

以某小型戰(zhàn)術導彈總體設計方案為基準，假設導彈車載發(fā)射，發(fā)射俯仰角30°，發(fā)射速度30 m/s。導彈外形方案如圖1所示。

圖1 小型戰(zhàn)術導彈外形方案

采用正常式布局，彈翼、舵翼“X”布局，彈長2.5 m，翼展1.2 m，舵展0.464 m。導彈推進方案為雙脈沖固體火箭發(fā)動機，任務射程要求不小于30 km。其飛行任務剖面可分為爬升段、平飛段、攻擊段，如圖2所示。

導彈總體設計優(yōu)化的主要任務是對導彈的設計參數(shù)進行尋優(yōu)，以獲得滿足戰(zhàn)術技術指標和設計限制條件的最佳設計方案[19]。導彈的總體性能主要由射程、速度、彈道、威力等決定。戰(zhàn)斗部威力是方案論證中最先確定的戰(zhàn)術技術指標之一，在工程實際中優(yōu)化空間有限，故不將戰(zhàn)斗部作為本文的子系統(tǒng)之一。

本文將小型戰(zhàn)術導彈系統(tǒng)分解為推進、幾何外形、氣動、質(zhì)量、彈道五個子系統(tǒng)，以此建立多學科總體優(yōu)化模型。

圖2 飛行任務剖面圖

1.2 小型戰(zhàn)術導彈參數(shù)化學科分析模型

1.2.1 推進學科分析模型

推進學科分析模型以雙脈沖固體火箭發(fā)動機為基準。發(fā)動機第一段推力使導彈在較短的時間內(nèi)增速，第二段推力為導彈平飛提供推力，由控制系統(tǒng)操縱每段裝藥的點火時間。通過合理設計兩段推力分配和點火延遲時間，可實現(xiàn)能量的有效利用。

在總體方案論證階段，推進學科的任務是提出推力-時間曲線F(t)和質(zhì)量-時間曲線m(t)，受關注的參數(shù)主要有總沖、比沖、質(zhì)量比、每段推力、推力工作時間、點火延遲時間等，詳細的發(fā)動機設計在學科設計階段進行。推進學科計算模型如式(1)所示：

It=F1t1+F2t2

(1)

式中It為發(fā)動機總沖；F1為第一段推力；t1為第一段推力工作時間；F2為第二段推力；t2為第二段推力工作時間。

mp=It/Isp

(2)

式中mp為發(fā)動機推進劑裝藥質(zhì)量；Isp為發(fā)動機比沖。

mf=mp/μ

(3)

式中mf為發(fā)動機質(zhì)量；μ為發(fā)動機質(zhì)量比。

1.2.2 幾何外形分析模型

依據(jù)基準方案，認為導彈殼體壁厚均勻，將彈翼位置、彈翼翼展、彈翼翼弦、尾翼位置、尾翼翼展和尾翼翼弦作為設計變量。戰(zhàn)斗部威力與彈體直徑正相關，威力指標確定后，彈體直徑隨之確定。彈體長度由引導頭、儀器艙、舵機等制導控制部件長度和戰(zhàn)斗部艙長度、發(fā)動機長度等確定，是一個間接設計變量。

1.2.3 氣動學科分析模型

氣動學科分析模型采用氣動力工程估算軟件 MISSLE DATCOM 進行氣動力系數(shù)的計算。MISSLE DATCOM采用了部件組合法、模塊化法(數(shù)據(jù)模塊化和方法模塊化)，具有較強適應性和較高精度[20]。本文根據(jù)小型戰(zhàn)術導彈基準方案與幾何外形模型，建立了攻角、馬赫數(shù)與氣動力系數(shù)的二維插值表。圖3為導彈基準方案的氣動力系數(shù)插值圖像。

··(a)Drag coefficient interpolation image

··(b)Lift coefficient interpolation image

1.2.4 質(zhì)量學科分析模型

在總體方案論證前期，導引頭艙、戰(zhàn)斗部艙、舵機艙等選取相似型號的產(chǎn)品，認為其質(zhì)量特性已知。本文主要針對發(fā)動機和彈翼、舵翼的質(zhì)量進行優(yōu)化設計。

質(zhì)量學科分析模型采用簡化的工程估算方法以降低優(yōu)化模型的復雜度。根據(jù)導出型質(zhì)量方程[21]，可將導彈質(zhì)量劃分為有效載荷質(zhì)量、發(fā)動機結構質(zhì)量、發(fā)動機推進劑裝藥質(zhì)量和彈翼、尾翼、控制機構等質(zhì)量。其中，發(fā)動機結構質(zhì)量和發(fā)動機推進劑裝藥質(zhì)量由推進學科計算獲得，進而得到全彈滿載、半載、空載的質(zhì)量特性。本文有效載荷與控制機構的質(zhì)量固定。彈翼、尾翼初始質(zhì)量由ProE計算得到，估算時認為其質(zhì)量與翼弦、翼展的長度成正比。

m0=me+men+mp+ms

(4)

式中m0為導彈起飛質(zhì)量；me為有效載荷質(zhì)量；men為發(fā)動機結構質(zhì)量；mp為發(fā)動機推進劑裝藥質(zhì)量；ms為彈翼、尾翼、控制機構等質(zhì)量。

1.2.5 彈道學科分析模型

彈道學科分析模型將導彈視為質(zhì)點，以三自由度彈道方程組[22]進行彈道解算。由于技術指標要求的射程較近，可忽略地球自轉對重力加速度的影響?？紤]到在方案論證階段應當給予攻角規(guī)律較大的設計空間，本文在優(yōu)化時將攻角曲線離散成6個特征點作為設計變量，再以三次Hermite插值得到每個時刻的攻角數(shù)值。

2 小型戰(zhàn)術導彈多學科總體優(yōu)化模型

2.1 單目標優(yōu)化問題

2.1.1 目標函數(shù)

導彈質(zhì)量是總體方案論證階段的重要戰(zhàn)術技術指標，故選擇射程一定前提下的導彈起飛質(zhì)量最小為目標函數(shù)。

2.1.2 設計變量

本優(yōu)化問題選擇的設計變量有推進學科選擇第一段推力F1、第二段推力F2、第一段推力工作時間t1、第二段推力工作時間t2、兩段推力時間間隔tj；幾何外形學科選擇半翼展lw1/2、翼弦b1、彈翼軸向位置xle1、尾翼半翼展lw2/2、尾翼翼弦b2、尾翼軸向位置xle2；彈道學科選擇攻角曲線特征點αi(t)，i=1，2，…，6。

2.1.3 約束條件

本優(yōu)化問題的約束條件如下：

(1)射程約束：Rmin

(2)尾翼軸向位置與尾翼弦長之和應小于彈身長度：xle2+b2

(3)平飛段高度H約束：Hmin

(4)過載約束：nx

(5)飛行馬赫數(shù)Ma約束：Ma

2.1.4 優(yōu)化問題模型

綜上，單目標優(yōu)化問題中設計變量17個，約束條件7個，數(shù)學表達式為

minm0=f(X)

s.t.g1(X)=Rmin-R≤0

g2(X)=xle2+b2-LB≤0

g3(X)=H-Hmax≤0

g4(X)=Hmin-H≤0

g5(X)=nx-nxmax≤0

g6(X)=ny-nymax≤0

g7(X)=Ma-Mamax≤0

(5)

式中X=(F1,F2,t1,t2,tj,lw1/2,b1,xle1,lw2/2,b2,xle2,αi(t)),i=1,2,…,6。

2.2 多目標優(yōu)化問題

2.2.1 目標函數(shù)

為探究導彈射程與起飛質(zhì)量的耦合關系，選擇導彈射程最大與導彈起飛質(zhì)量最小為目標函數(shù)。

2.2.2 設計變量

為便于比較單目標優(yōu)化與多目標優(yōu)化的結果，本優(yōu)化問題設計變量同單目標優(yōu)化問題的設計變量。

2.2.3 約束條件

本優(yōu)化問題約束條件同2.1.3節(jié)單目標優(yōu)化問題的約束條件(2)～(5)。

2.2.4 優(yōu)化問題模型

多目標優(yōu)化問題中目標函數(shù)2個，設計變量17個，約束條件6個，數(shù)學表達式為

maxR=f1(X)

minm0=f2(X)

s.t.g1(X)=xle2+b2-LB≤0

g2(X)=H-Hmax≤0

g3(X)=Hmin-H≤0

g4(X)=nx-nx max≤0

g5(X)=ny-ny max≤0

g6(X)=Ma-Mamax≤0

(6)

3 多學科集成

3.1 設計結構矩陣

通過分析小型戰(zhàn)術導彈各學科間的耦合關系，可得其設計結構矩陣(Design Structure Matrix， DSM)如圖4所示。圖4中，對角線上的方框代表各學科分析模型，右上方區(qū)域表示數(shù)據(jù)的前饋傳遞，左下方區(qū)域表示數(shù)據(jù)的反饋傳遞。設計結構矩陣是多學科集成的基礎。

圖4 小型戰(zhàn)術導彈設計結構矩陣

3.2 優(yōu)化過程

MDO優(yōu)化過程(MDO Procedure)也稱MDO算法或MDO策略，是MDO問題的數(shù)學表述及這種表述在計算環(huán)境中如何實現(xiàn)的過程組織[23]。

MDO優(yōu)化過程按照優(yōu)化器的數(shù)目可分為單級優(yōu)化過程和多級優(yōu)化過程。單級優(yōu)化過程中優(yōu)化器只存在于系統(tǒng)級，學科級則負責學科的分析與計算。常見的單級優(yōu)化過程有多學科可行法(Multi-Disciplinary Feasible，MDF)和單學科可行法(Individual Discipline Feasible，IDF)。多級優(yōu)化過程的系統(tǒng)級與學科級都存在優(yōu)化器。其將系統(tǒng)優(yōu)化問題分解為多個子系統(tǒng)的優(yōu)化協(xié)調(diào)問題，各個學科子系統(tǒng)分別進行優(yōu)化，并通過某種機制進行協(xié)調(diào)[23]。常見的多級優(yōu)化過程有并行子空間優(yōu)化(Concurrent Sub Space Optimization，CSSO)和協(xié)同優(yōu)化(Collaborative Optimization，CO)。

常見MDO優(yōu)化過程核心思想與優(yōu)缺點總結歸納見表1。本優(yōu)化問題的學科模型均應用工程估算方法，體現(xiàn)不出代理模型的引入在降低計算復雜度上的優(yōu)勢，故沒有必要選擇CSSO 優(yōu)化過程。系統(tǒng)級和氣動學科(氣動子系統(tǒng)級)之間的數(shù)據(jù)傳遞在工程上實現(xiàn)復雜，故不采用CO優(yōu)化過程。由于多級優(yōu)化過程的收斂性尚未被證明，采用多級優(yōu)化過程還會出現(xiàn)優(yōu)化效率下降與優(yōu)化結果精度降低的問題。單級優(yōu)化過程中，IDF 優(yōu)化過程需要引入輔助設計變量及兼容性學科約束進行學科間的解耦，而本優(yōu)化問題中的前向耦合變量難以解析，因此排除IDF優(yōu)化過程。本優(yōu)化問題雖然學科之間的數(shù)據(jù)傳遞關系較為復雜，但得益于工程估算方法的應用，不存在耗時較長的學科分析模型，彌補了MDF優(yōu)化過程的最大不足。MDF 優(yōu)化過程擁有最小的整體式構架，在實現(xiàn)復雜度上也存在優(yōu)勢。因此，本文選擇MDF優(yōu)化過程進行學科集成。

表1 MDO優(yōu)化過程對比

4 多學科優(yōu)化設計

4.1 優(yōu)化算法

本文優(yōu)化問題的設計空間維數(shù)較高，尋優(yōu)難度大，采用傳統(tǒng)優(yōu)化算法較難得到全局最優(yōu)解，且其各個學科模型難以寫出對變量的顯式表達，求解靈敏度過程較為復雜。

差分進化算法(Differential Evolution,DE)的基本思想是在隨機生成的種群中，將任意兩個向量做差再與第三個向量求和，以此產(chǎn)生新的計算點。該算法不需計算靈敏度，且與其他進化算法相比，收斂速度較快， 正與本優(yōu)化問題相適應。因此，本文選擇DE為單目標優(yōu)化問題求解算法，參數(shù)設置為種群規(guī)模85，初始步長0.5，縮放因子0.7，雜交概率0.85，平均終止步長0.01，求解流程如圖5所示。

本文選擇的多目標優(yōu)化算法為法向邊界求交法(Normal Boundary Intersection Method,NBI)。NBI的思想是先尋找每個單目標的最優(yōu)解，將單目標最優(yōu)解連線并做等距分層，分層數(shù)決定了Pareto點的個數(shù)。再通過權值不同的優(yōu)化計算，找到該連線與Pareto前沿的所有交點。NBI所需迭代次數(shù)較多，且其結果生成的Pareto模型主要作用是為設計人員對多個目標的權衡進行一定的指導，故其中單目標優(yōu)化算法采用收斂速度較快的非線性序列二次規(guī)劃法(Nonlinear Programming Quadratic Line Search, NLPQL)。本文NBI層數(shù)設置為5。

圖5 差分進化算法流程圖

4.2 優(yōu)化結果與分析

設計變量約束取值見表2。

表2 設計約束取值

單目標優(yōu)化設計結果見表3，最優(yōu)程序攻角曲線見圖6。導彈飛行10 s左右，控制系統(tǒng)為使導彈快速從爬升段進入平飛段，進行高度控制，超調(diào)量導致攻角變化幅度較大。導彈飛行20 s后，程序攻角曲線漸趨平穩(wěn)。

圖6 最優(yōu)程序攻角

表3 單目標優(yōu)化問題的多學科設計優(yōu)化結果

經(jīng)過優(yōu)化，小型戰(zhàn)術導彈起飛質(zhì)量減小了11.6%，驗證了 MDO在導彈總體設計優(yōu)化過程中具有適用性。翼弦的減小在降低升阻比的同時，也減小了質(zhì)量，可看作是氣動學科對質(zhì)量學科的“讓步”。而彈長的減小有利于減阻，彈翼展長的增大提高了升力，結合翼與尾翼軸向位置的移動，整體上導彈氣動性能有所提高。一二段推力時間間隔tj的增加，降低了飛行速度的增長速度，有利于導彈的結構和氣動防熱設計，發(fā)動機總沖的降低，則有助于減小質(zhì)量。將單目標優(yōu)化問題的結果載入彈道模型進行計算，得到主要的彈道參數(shù)曲線如圖7所示。

(a)Altitude-range curve (b)Speed-time curve

(c)Trajectory angle-time curve (d)Overload-time curve

表4為多目標優(yōu)化設計得到的結果。其中，在f1權重0.25、f2權重0.75時，NLPQL未收斂到滿足所有約束的可行解。因此，故在構建Pareto模型時，將其排除。

表4 多目標優(yōu)化結果

對點4以外的Pareto點進行擬合，得到的Pareto模型見圖8。Pareto模型上的任意一點都代表一組兩個目標不同權重的最優(yōu)解，這種圖形化的表達十分直觀，設計人員可根據(jù)工程實際情況進行權衡。由圖8可知，導彈射程與起飛質(zhì)量正相關，一個目標增大必然使另一個目標隨之增大。

在多目標優(yōu)化得到的Pareto模型上，于x軸R=30 km處做一條平行于y軸的直線，得到對應的質(zhì)量為98.40 kg，與單目標優(yōu)化結果的誤差為0.34 kg。誤差主要來自兩個方面：1)NBI中NLPQL不一定能收斂到全局最優(yōu)解，這也導致擬合Pareto模型時， Pareto點與Pareto前沿存在一定的偏差；2)本次多目標優(yōu)化中NBI層數(shù)設置為5，即只精確計算5個Pareto點。排除未收斂到可行解的Pareto點4， Pareto前沿上其余點的值由4個Pareto點擬合模型進行估算。NBI設置的層數(shù)越高，Pareto模型越精確，但計算時長也隨之增加。實際應用中，應結合具體需求，選擇合適的層數(shù)。

圖8 Pareto模型

5 結論

導彈總體設計具有多學科、多耦合、多變量、多約束等特點，與MDO理論針對的問題相符合。本文在MDO技術工程應用方面的工作如下：

(1)建立了基于工程實際的小型戰(zhàn)術導彈多學科優(yōu)化設計模型，完成了各學科參數(shù)耦合優(yōu)化，使導彈起飛質(zhì)量降低了11.6%，并證明了多學科設計優(yōu)化并非單學科最優(yōu)的簡單疊加；

(2)通過對比單目標優(yōu)化和多目標優(yōu)化的結果，驗證了得到的最優(yōu)總體參數(shù)方案，證明了MDO技術可有效挖掘導彈總體設計潛力，具有較強的工程應用價值；

(3)在OPTIMUS框架下，進行了小型戰(zhàn)術導彈總體多學科優(yōu)化模型的集成，搭建了小型戰(zhàn)術導彈MDF優(yōu)化過程工作流程，并驗證了其可行性，實現(xiàn)了仿真分析流程自動化和智能化，為將MDO技術、OPTIMUS軟件平臺用于導彈總體設計提供了工程技術指導。