孟紅軍，徐校會，袁國軍

(1.滁州城市職業(yè)學院 教育系，安徽 滁州 239000；2.皖西學院 科技處，安徽 六安 237012)

現(xiàn)階段，分數(shù)階微分方程組已經(jīng)被廣泛應用在非線性動力學分析中，通過構建分數(shù)階微分方程組的邊值特征分析模型，結合模糊控制律實現(xiàn)對分數(shù)階微分方程組的力學參數(shù)分析，實現(xiàn)非線性動力學系統(tǒng)的優(yōu)化控制.采用局部區(qū)域物理量參數(shù)分析方法，進行分數(shù)階微分方程組邊值問題的可解性分析，并將分數(shù)階微分方程組邊值問題的可解性參數(shù)引入到大氣物理模型構建、力學模型構建以及生態(tài)環(huán)境預測中.通過區(qū)域化的模塊參數(shù)融合，采用非線性非局部積分擾動分析，在整體區(qū)域中實現(xiàn)分數(shù)階微分方程組邊值問題的可解性分析，因此在非線性控制系統(tǒng)設計等領域具有廣泛的應用價值[1].本文提出基于局部穩(wěn)態(tài)融合控制的分數(shù)階微分方程組邊值問題的可解性分析方法.

1 分數(shù)階微分方程組構建和約束參數(shù)分析

1.1 分數(shù)階微分方程組構建

為了實現(xiàn)分數(shù)階微分方程組邊值問題的可解性分析，需要首先構建分數(shù)階微分方程組，根據(jù)邊值分布的非線性奇異擾動特征量f[2]，采用局部區(qū)域物理量特征分析的方法，在有限狀態(tài)空間中分數(shù)階微分方程組的時滯特征方程為

(1)

其中，a為整體區(qū)域中的數(shù)據(jù)鏈.在有界區(qū)域中，存在局部區(qū)域物理量特征t=f時，如果分數(shù)階微分方程組邊值區(qū)域分布有A>2，分數(shù)階微分方程組邊值特征分布函數(shù)為0，求得分數(shù)階微分方程組邊值的滑模面[3].

采用2n階非線性非局部積分方法，得到分數(shù)階微分方程求導得

(2)

(2)式為分數(shù)階微分方程組的凸優(yōu)組合解析方程，采用一致橢圓型算子平均值作為約束參量，當A>2時有

(3)

根據(jù)線性Logistics邊值線性微分特征分解的方法，構建分數(shù)階微分方程組邊值穩(wěn)定性變分時滯約束參數(shù)分析模型[4-6]，可以將分數(shù)階微分方程組邊值的空間特征映射u引入到方程的最優(yōu)解析模型，則存在

(4)

(5)

利用線性相關性特征分解方法，得到分數(shù)階微分方程組邊值有限域特征解析控制函數(shù)為

(6)

其中，k為正整數(shù).非局部奇異擾動穩(wěn)態(tài)參數(shù)的初始值r,得到奇異擾動特征量滿足

F=|ET|+rσT.

(7)

1.2 分數(shù)階微分方程組特征分析

根據(jù)非線性非局部奇異特征分析，得到分數(shù)階微分方程組邊值的敏感域特征解

(8)

‖u‖r(I×Ir4)≤2η,‖u‖r+‖η0‖r(I×Ir4)<∞.

(9)

(10)

為了檢驗分數(shù)階微分方程組邊值解是否具有收斂性，得到分數(shù)階微分方程組在有限分數(shù)階微分方程組邊值解時域分布中[13]滿足

(11)

分數(shù)階微分方程組邊值解分布洛朗級數(shù)展開為

(12)

(12)式中，U為分數(shù)階微分方程組邊值解的穩(wěn)態(tài)分布矩陣，且分數(shù)階微分方程組邊值測度m都為正常數(shù).令分數(shù)階微分方程組邊值量化參數(shù)為y(t)=[y1(t),y2(t),…,ym(t)]T，那么采用Hopf分岔運維參數(shù)分析的方法，得到的w(t)為分數(shù)階微分方程組邊值非線性融合特征參數(shù)[14]，虛特征值的孤立平衡點為

θ=w(t)K-ηy(t).

(13)

在分數(shù)階微分方程組邊值平衡點處，得到α,β為憶阻器強度參數(shù)，在t→∞的條件下，得到分數(shù)階微分方程組邊值分布的相位圖如圖1所示.

圖1 分數(shù)階微分方程組邊值分布的相位圖

2 分數(shù)階微分方程組邊值穩(wěn)態(tài)分析

2.1 分數(shù)階微分方程組邊值解融合

結合橢圓型算子分析方法，實現(xiàn)對分數(shù)階微分方程組邊值問題的可解性和收斂性分析[15]，計算約束分數(shù)階微分方程的波動算子，表示為

(14)

求得分數(shù)階微分方程組邊值稀疏矩陣z，采用收斂性判斷的方法，在收斂條件下的狀態(tài)參數(shù)

(15)

(15)式中，分數(shù)階微分方程組邊值平衡點的穩(wěn)態(tài)狀態(tài)參數(shù)為s，M有唯一解，得到周期函數(shù)為

(16)

分數(shù)階微分方程組邊值量化周期解構成的集合為δ，令有界開集為h，得到解向量的模態(tài)分布陣為

(17)

重新調整變量，得到解周期列向量l，在全局穩(wěn)定條件下，得到分數(shù)階微分方程組邊值特征分解模型為

Q=δ(G′+l)+lT.

(18)

2.2 分數(shù)階微分方程組邊值解的可解性

以上述分析結果為基礎，得到分數(shù)階微分方程組邊值解的漸近穩(wěn)定收斂條件滿足

(19)

如果S已知，反饋控制的修正慣性融合參數(shù)為

μ=Sf+|G′|.

(20)

分數(shù)階微分方程組邊值解收斂的唯一性條件表示為

(21)

若gt-h=0，根據(jù)上述分析，得到分數(shù)階微分方程組邊值解的可解性分布為

(22)

(23)

根據(jù)擾動穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的外部解的穩(wěn)態(tài)特征，實現(xiàn)分數(shù)階微分方程組邊值問題的可解性分析，得到的分數(shù)階微分方程組邊值是穩(wěn)態(tài)收斂的.

3 仿真測試

通過Matlab仿真測試分析分數(shù)階微分方程組邊值解可解析及收斂性，設定迭代步數(shù)為2000，仿真次數(shù)為1200，得到分數(shù)階微分方程組的解向量分布曲線如圖2所示.

圖2 分數(shù)階微分方程組的解向量分布曲線

對圖2的分布曲線解析結果進行擬合性分析，得到結果如圖3所示.

圖3 方程邊值解擬合結果

分析圖3得知，分數(shù)階微分方程組邊值解擬合性較好，參數(shù)融合跟蹤能力較強，說明分數(shù)階微分方程組邊值問題具有可解性和收斂性.

4 結論

主要研究了分數(shù)階微分方程組邊值問題的可解性和收斂性.提出基于局部穩(wěn)態(tài)融合控制的分數(shù)階微分方程組邊值問題的可解性分析方法.根據(jù)線性Logistics邊值線性微分特征分解的方法，構建邊值穩(wěn)定性變分時滯約束參數(shù)分析模型，采用Hopf分岔運維參數(shù)分析的方法，獲取分數(shù)階微分方程組邊值量化周期解構成的集合，結合橢圓型算子分析方法實現(xiàn)對分數(shù)階微分方程組邊值問題的可解性和收斂性分析，最后計算邊值問題的可解性的關系參數(shù)，實現(xiàn)分數(shù)階微分方程組邊值問題的可解性的收斂性判斷.研究得知，本文模型能有效實現(xiàn)對分數(shù)階微分方程組邊值問題的可解性分析，收斂性較好，穩(wěn)定性較高.