梁曉艷,高 麗,高 倩

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

歐拉函數(shù)φ(n)與廣義歐拉函數(shù)φ2(n)在數(shù)論中都有著重要的作用,近年來,有關(guān)歐拉函數(shù)的性質(zhì)以及歐拉方程吸引了很多學(xué)者的興趣.在文獻(xiàn)[1-3]中研究了二元?dú)W拉函數(shù)方程φ(ab)=k(φ(a))+φ(b))的正整數(shù)解.文獻(xiàn)[4]研究了三元?dú)W拉函數(shù)方程中φ(xyz)=φ(x)+φ(y)+φ(z)+6的正整數(shù)解.文獻(xiàn)[5]研究了四元?dú)W拉方程φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)的正整數(shù)解.文獻(xiàn)[6]研究了包含歐拉函數(shù)的方程φ(φ(n))=2w(n)的所有正整數(shù)解,文獻(xiàn)[7-8]分別研究了廣義歐拉函數(shù)φ2(φ(n))=φ(φ2(n))與φ2(m)=2w(m)3w(m)的正整數(shù)解。文獻(xiàn)[9]研究了二元廣義歐拉函數(shù)方程φ(ab)=11φ2(a)+13φ2(b)的正整數(shù)解.本文通過參閱上述文獻(xiàn),利用整數(shù)的分解以及初等數(shù)論的相關(guān)知識(shí)研究了三元廣義歐拉函數(shù)方程φ(xyz)=φ2(x)+φ2(y)+φ2(z)的正整數(shù)解.

1 相關(guān)引理

引理3[10]當(dāng)n≥2時(shí),有φ(n)

2 結(jié)論及證明

定理 三元廣義歐拉函數(shù)方程φ(xyz)=φ2(x)+φ2(y)+φ2(z)共有12組正整數(shù)解,其解為(x,y,z)=(1,2,3),(2,1,3),(3,1,2),(3,2,1),(1,3,2),(2,3,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2)(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1).

證明對(duì)于三元廣義歐拉函數(shù)方程

φ(xyz)=φ2(x)+φ2(y)+φ2(z)，

(1)

根據(jù)x,y,z的不同取值范圍將分為四種情況進(jìn)行討論.

情況1：當(dāng)x,y,z中只有一個(gè)屬于[1,2]時(shí),假設(shè)x=1,2.

即

2φ(yz)=φ(y)+φ(z).

(2)

設(shè)(y,z)=d,存在正整數(shù)y1,z1,使得φ(y)=y1φ(d),φ(z)=z1φ(d),由式(2)可得

從而有

2dy1z1=y1+z1,

分解可得(2dy1-1)(2dz1-1)=1,根據(jù)整數(shù)的分解可得以下關(guān)系式

當(dāng)d=1時(shí),得y1=1,z1=1,則

φ(y)=1,φ(z)=1,y=z=1,2,

與假設(shè)矛盾,所以方程無解.

因?yàn)閤,y,z的位置是等同的,所以當(dāng)y=1或z=1時(shí)同理可證方程無解.

(ii)當(dāng)x=2時(shí),

φ(xyz)=φ(2yz)=1+φ2(y)+φ2(z).

由引理2和引理3得

2φ(2yz)=2+φ(y)+φ(z)≥φ(y)φ(z),

φ(y)φ(z)-φ(y)-φ(z)≤2,

(φ(y)-1)(φ(z)-1)≤3.

①當(dāng)(φ(y)-1)(φ(z)-1)<0時(shí),則φ(y)<1或φ(z)<1,由引理3知,方程無解.

②當(dāng)(φ(y)-1)(φ(z)-1)=0時(shí),則φ(y)=1或φ(z)=1,則y=1,2或z=1,2,因?yàn)閥,z屬于[3,+∞),所以方程無解.

③當(dāng)(φ(y)-1)(φ(z)-1)=1時(shí),則有

由引理3知,方程無解.

④當(dāng)(φ(y)-1)(φ(z)-1)=2時(shí)，則有

φ(y)=2,φ(z)=3或φ(y)=3,φ(z)=2.

由引理3知,方程無解.

⑤當(dāng)(φ(y)-1)(φ(z)-1)=3時(shí),則有

φ(y)=4,φ(z)=2或φ(y)=2,φ(z)=4,

當(dāng)φ(y)=4,φ(z)=2時(shí),

xyz=5,8,10,12,y=5,8,10,12,z=3,4,6,經(jīng)檢驗(yàn),方程無解.

當(dāng)φ(y)=2,φ(z)=4時(shí),

xyz=5,8,10,12,z=5,8,10,12,y=3,4,6,經(jīng)檢驗(yàn),方程無解.

因?yàn)閤,y,z的位置是等同的,所以當(dāng)y=1,2或z=1,2時(shí),同理可證方程無解.

情況2：當(dāng)x,y,z中只有兩個(gè)屬于[1,2]時(shí).

假設(shè)x,y∈[1,2],則有(x,y)=(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)四種情況.

(i)當(dāng)(x,y)=(1,1)時(shí),

φ(xyz)=φ(z)=φ2(z),

(ii) 當(dāng)(x,y)=(1,2)時(shí)，φ(xyz)=φ(2z)=1+φ2(z),由引理4得

解得φ(z)≤2,即φ(z)=1,2,又因?yàn)棣?xyz)為偶數(shù),所以φ(z)=2,z=3,4,6,φ(xyz)=2,xyz=3,4,6,又因?yàn)閤y=2,所以z=3,所以方程有解(x,y,z)=(1,2,3).

(iii)當(dāng)(x,y)=(2,1)時(shí),

φ(xyz)=φ(2z)=1+φ2(z),

由引理4得

解得φ(z)≤2,即φ(z)=1,2.

因?yàn)棣?xyz)為偶數(shù),所以φ(z)=2,z=3,4,6,φ(xyz)=2,xyz=3,4,6,又因?yàn)閤y=2,所以z=3,所以方程有解(x,y,z)=(2,1,3).

(vi)當(dāng)(x,y)=(2,2)時(shí)，

φ(xyz)=φ(4z)=1+1+φ2(z)=2+φ2(z),

由引理4得

解得φ(z)≤4,即φ(z)=1,2,3,4.

因?yàn)棣?xyz)為偶數(shù),所以φ(z)=4,z=5,8,10,12,φ(xyz)=4,xyz=5,8,10,12,又因?yàn)閤y=4,經(jīng)檢驗(yàn),方程無解.

當(dāng)x,z∈[1,2]或y,z∈[1,2]時(shí),同理可證方程有解(x,y,z)=(3,1,2),(3,2,1),(1,3,2),(2,3,1).

情況3：當(dāng)x,y,z都屬于[1,2]時(shí).有(x,y,z)=(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)八種情況.

(i)當(dāng)(x,y,z)=(1,1,1)時(shí),

φ(xyz)=φ(1)=1≠0,

所以(x,y,z)=(1,1,1)不是方程的解.

(ii)當(dāng)(x,y,z)=(1,1,2)時(shí),

φ(xyz)=φ(2)=1=φ2(2)=1,

所以(x,y,z)=(1,1,2)是方程的解.

(iii)當(dāng)(x,y,z)=(1,2,1)時(shí),

φ(xyz)=φ(2)=1=φ2(2)=1,

所以(x,y,z)=(1,2,1)是方程的解.

(vi)當(dāng)(x,y,z)=(1,2,2)時(shí),

φ(xyz)=φ(4)=2=φ2(2)+φ2(2)=2,

所以(x,y,z)=(1,2,2)是方程的解.

(v)當(dāng)(x,y,z)=(2,1,1)時(shí),

φ(xyz)=φ(2)=1=φ2(2)=1,

所以(x,y,z)=(2,1,1)是方程的解.

(vi)當(dāng)(x,y,z)=(2,1,2)時(shí),

φ(xyz)=φ(4)=2=φ2(2)+φ2(2)=2,

所以(x,y,z)=(2,1,2)是方程的解.

(vii)當(dāng)(x,y,z)=(2,2,1)時(shí),

φ(xyz)=φ(4)=2=φ2(2)+φ2(2)=2,

所以(x,y,z)=(2,2,1)是方程的解.

(viii)當(dāng)(x,y,z)=(2,2,2)時(shí),

φ(xyz)=φ(8)=4≠φ2(2)+φ2(2)+φ2(2)=3,

所以(x,y,z)=(2,2,2)不是方程的解.

情況4：當(dāng)x,y,z都屬于[3,+∞)時(shí),由引理2,引理3,引理4得

即

2φ(xyz)=φ(x)+φ(y)+φ(z)≥φ(x)φ(y)φ(z),

φ(x)+φ(y)≥(φ(x)φ(y)-1)φ(z),

φ(x)+φ(y)≥φ(x)φ(y)-1,

整理得

(φ(x)-1)(φ(y)-1)≤2.

根據(jù)φ(x),φ(y)的取值下面分四種情況進(jìn)行討論.

(i) 當(dāng)(φ(x)-1)(φ(y)-1)<0時(shí),則

φ(x)<1或φ(y)<1,

由引理3知,方程無解.

(ii) 當(dāng)(φ(x)-1)(φ(y)-1)=0時(shí),則

φ(x)=1或φ(y)=1,

則x=1,2或y=1,2,因?yàn)閤,y,z都屬于[3,+∞);所以方程無解.

(iii)當(dāng)(φ(x)-1)(φ(y)-1)=1時(shí),則有

φ(x)=φ(y)=2,x=y=3,4,6,

經(jīng)檢驗(yàn),方程無解.

(iv)當(dāng)(φ(x)-1)(φ(y)-1)=2時(shí)，則有

φ(x)=2,φ(y)=3或φ(x)=3,φ(y)=2.

當(dāng)φ(x)=2,φ(y)=3時(shí),則有

2φ(xyz)=5+φ(z),

由引理3知,方程無解.

當(dāng)φ(x)=3,φ(y)=2時(shí),則有

2φ(xyz)=5+φ(z),

由引理3知,方程無解.

綜上所述,證畢.