李媛媛 賈敏濤 王 震 肖燕妮 趙長(zhǎng)喜

（北京衛(wèi)星制造廠有限公司，北京 100094）

文 摘 采用有限元分析軟件ABAQUS分析彈性桅桿幾何參數(shù)對(duì)其力學(xué)性能的影響，為離軌帆彈性桅桿設(shè)計(jì)提供一定的理論依據(jù)。結(jié)果表明：增加殼體厚度、保持弧長(zhǎng)不變，減小曲率半徑以及增大殼體截面圓心角都能有效提高離軌帆自動(dòng)展開(kāi)能力及彈性桅桿支撐剛度；彈性桅桿的彎曲內(nèi)部應(yīng)力只與材料屬性、曲率半徑、纏繞半徑以及殼體厚度有關(guān)；曲率半徑減小、殼體厚度增加都會(huì)增大彈性桅桿的彎曲內(nèi)部應(yīng)力，有可能會(huì)導(dǎo)致彈性桅桿在纏繞時(shí)發(fā)生塑性變形。因此，在對(duì)彈性桅桿設(shè)計(jì)時(shí)，需綜合考慮彈性桅桿幾何參數(shù)對(duì)其展開(kāi)能力以及纏繞性能的影響。

0 引言

隨著航天科技的發(fā)展，小衛(wèi)星逐漸成為引領(lǐng)航天技術(shù)發(fā)展的引擎之一，小衛(wèi)星數(shù)量在最近幾年呈爆炸性增長(zhǎng)，如果不對(duì)這些完成任務(wù)的小衛(wèi)星進(jìn)行處理，近地軌道上的航天器在未來(lái)200年將會(huì)比現(xiàn)在超出500%，這將嚴(yán)重威脅到未來(lái)的航天活動(dòng)［1-2］。為了減緩空間碎片的增長(zhǎng)，IADC 建議航天器在完成任務(wù)后25年內(nèi)或入軌后30年內(nèi)應(yīng)脫離軌道［3］。目前，針對(duì)研制成本低、周期短、功能密度大的微小衛(wèi)星，在設(shè)計(jì)時(shí)增加一個(gè)無(wú)需消耗推進(jìn)劑的離軌裝置成為一個(gè)發(fā)展趨勢(shì)［4-5］。離軌帆主要是在衛(wèi)星壽命末期，利用自身儲(chǔ)存的機(jī)械能帶動(dòng)帆面展開(kāi)，從而提高衛(wèi)星在軌飛行過(guò)程中受到的大氣阻力，加快衛(wèi)星離軌。整個(gè)裝置質(zhì)量輕、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低，不耗費(fèi)燃料，不需要姿態(tài)控制，特別適用于近地軌道的微小衛(wèi)星［6-8］。制動(dòng)帆的展開(kāi)是通過(guò)釋放一對(duì)卷繞在中心軸上的彈性桅桿來(lái)實(shí)現(xiàn)的。這種彈性桅桿需要具有獨(dú)特的力學(xué)性能，它可利用收攏時(shí)存儲(chǔ)的彈性勢(shì)能為制動(dòng)帆的展開(kāi)提供動(dòng)力，也能夠利用自身剛度為展開(kāi)后的制動(dòng)帆提供支撐［9-10］。因此，彈性桅桿的力學(xué)性能是決定離軌帆能否成功展開(kāi)的關(guān)鍵因素之一。2000年，SEFFEN等［11］對(duì)彈性桅桿在彎曲過(guò)程中的彎矩進(jìn)行了研究，得到彎矩和簧片曲率的關(guān)系，提出臨界彎矩和穩(wěn)態(tài)彎矩的近似表達(dá)式。2011年，GUINOT等［12］提出一種具有彈性薄壁圓弧截面的二維平面桿模型，并通過(guò)此模型解釋了單簧片在彎曲和展開(kāi)過(guò)程中彎曲出現(xiàn)的位置，彎曲位置沿長(zhǎng)度方向的移動(dòng)等現(xiàn)象。2007年，SOYKASAP［13］通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)簧片彎曲過(guò)程中的彎矩隨轉(zhuǎn)角變化情況進(jìn)行了研究。

彈性桅桿在彎曲過(guò)程中積聚的彈性應(yīng)變能是其自動(dòng)展開(kāi)的動(dòng)力源泉。在折疊過(guò)程中外力功轉(zhuǎn)化為彈性桅桿的彈性應(yīng)變能，在展開(kāi)過(guò)程中，彈性應(yīng)變能又轉(zhuǎn)化為動(dòng)能。桅桿展開(kāi)彎矩是系統(tǒng)展開(kāi)的驅(qū)動(dòng)力矩，其大小直接決定系統(tǒng)的展開(kāi)性能。本文以C 形彈性桅桿為例，分析了幾何參數(shù)對(duì)其應(yīng)變能及展開(kāi)彎矩的影響，為離軌帆彈性桅桿設(shè)計(jì)提供一定的理論依據(jù)。

1 展開(kāi)彎矩?cái)?shù)學(xué)模型

彈性桅桿各項(xiàng)幾何要素包括厚度t，包角θ，曲率半徑r和長(zhǎng)度L。這些幾何要素都會(huì)影響帶狀彈簧的力學(xué)性能，如圖1所示，力學(xué)性能相關(guān)的材料屬性包括彈性模量E和泊松比ν。

圖1 C形彈性桅桿橫截面及相關(guān)幾何參數(shù)Fig.1 Geometric parameters of the c-type boom section

帶狀彈簧正向與反向展開(kāi)的驅(qū)動(dòng)彎矩分別為M*+和M*-，根據(jù)彈性力學(xué)薄殼彎曲理論，薄殼單位弧長(zhǎng)上的彎矩:

式中，Δkx和Δky分別是帶狀彈簧橫向和縱向上的曲率變化；D是薄殼的彎曲剛度，即:

圖2 帶狀彈簧彎曲示意圖Fig.2 Bending diagram of the boom

則此時(shí)，

同理可得，帶狀彈簧反向彎曲時(shí):

而彎曲區(qū)域的應(yīng)變能為:

式中，A為彎曲區(qū)域面積，A=Rrαθ，α為帶狀彈簧彎曲角度。

將式（3）式（4）代入式（5），可以得到帶狀彈簧彎曲時(shí)應(yīng)變能為:

帶狀彈簧反向和正向彎曲的展開(kāi)彎矩分別為:

本文分析的彈性桅桿材料為鈹銅合金，其彈性模量為128 GPa，泊松比為0.35，屈服強(qiáng)度為1 GPa，為了減少計(jì)算時(shí)間，本文取長(zhǎng)度為150 mm 的C 型簧片進(jìn)行分析。針對(duì)C 型簧片的臨界彎矩未知的情況，采用直接施加位移的方式，固定端約束x、y、z軸方向的移動(dòng)以及y、z軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，自由端約束x、y軸方向的移動(dòng)以及y、z軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，給定x軸方向角位移，用來(lái)模擬簧片90°純彎曲的情況，見(jiàn)圖3。

圖3 正向彎曲示意圖Fig.3 Diagram of positive bending

2 彈性桅桿幾何參數(shù)對(duì)其彎曲性能的影響分析

2.1 簧片厚度對(duì)其彎曲性能的影響

簧片長(zhǎng)度L＝150 mm，包角θ=72°，曲率半徑r=15 mm，上述參數(shù)保持不變，改變殼體厚度t，通過(guò)有限元方法分析其彎曲情況，其彎曲應(yīng)力云圖如圖4所示，其應(yīng)變能和展開(kāi)彎矩隨殼體厚度t的變化趨勢(shì)如圖5所示，并將模擬分析結(jié)果與理論結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證模擬分析方法的正確性。

圖4 不同殼體厚度t時(shí)，簧片彎曲應(yīng)變圖Fig.4 Stress contours of the boom at different t

由圖5可知，其彎曲應(yīng)變能和展開(kāi)彎矩?cái)?shù)值模擬分析值與理論計(jì)算值差別不大，計(jì)算結(jié)果較好的與理論值相吻合，說(shuō)明該數(shù)值模擬方法可信。由分析結(jié)果可知，隨著殼體厚度的增加，殼體應(yīng)變能和展開(kāi)彎矩有較大的增加，可知?dú)んw厚度是影響應(yīng)變能和展開(kāi)彎矩的敏感因素。增加殼體厚度能有效地增加展開(kāi)彎矩，提高其自動(dòng)展開(kāi)能力。

圖5 應(yīng)變能和展開(kāi)彎矩隨殼體厚度的變化曲線(xiàn)Fig.5 Variation curves of strain energy and unfolding moment with thickness

2.2 角包θ 不變，曲率半徑r 對(duì)其彎曲性能的影響分析

L＝150 mm，θ=72°，t=15mm，上述參數(shù)保持不變，改變r(jià)，分析θ不變時(shí)（這時(shí)弧長(zhǎng)b會(huì)發(fā)生改變），r對(duì)其彎曲性能的影響，結(jié)果如圖6所示?？芍?，在L、θ、t保持不變的情況下，隨著殼體曲率半徑的增加，其應(yīng)變能和展開(kāi)彎矩變化不大，說(shuō)明曲率半徑對(duì)其應(yīng)變能和展開(kāi)彎矩的影響不大。因此，如果保持L、θ、t不變，只改變其曲率半徑，并不能明顯改變其展開(kāi)性能。

圖6 保持包角θ不變，應(yīng)變能和展開(kāi)彎矩隨曲率半徑r變化曲線(xiàn)Fig.6 Curves of strain energy and unfolding moment change with r when the θ remains unchanged

2.3 弧長(zhǎng)b 不變，曲率半徑r 對(duì)其力學(xué)性能的影響模擬分析

L＝150 mm，b=19 mm，t=15 mm，上述參數(shù)保持不變，改變殼體r，分析b不變時(shí)（這時(shí)θ會(huì)發(fā)生改變），r對(duì)其彎曲性能的影響，結(jié)果如圖7所示。

圖7 保持弧長(zhǎng)b不變，應(yīng)變能和展開(kāi)彎矩隨曲率半徑r的變化曲線(xiàn)Fig.7 Curves of strain energy and unfolding moment change with r when the b remains unchanged

由圖7可知，在L、b、t保持不變的情況下，隨著殼體曲率半徑的增加，其應(yīng)變能和展開(kāi)彎矩逐漸減小。因此，保持L、b、t不變，其曲率半徑越小，對(duì)彈性桅桿展開(kāi)越有利。

2.4 曲率半徑r 不變，包角θ 對(duì)其彎曲性能的影響模擬分析

L＝150 mm，t=0.15 mm，r=15 mm，上述參數(shù)保持不變，改變殼體包角θ，分析包角對(duì)其彎曲性能的影響，結(jié)果如圖8所示?？芍?，在L、r、t保持不變的情況下，隨著θ的增加，其應(yīng)變能和展開(kāi)彎矩顯著增大；因此，在L、r、t保持不變的情況下，可以通過(guò)增大殼體截面圓心角來(lái)提高其展自動(dòng)開(kāi)能力。

圖8 應(yīng)變能和展開(kāi)彎矩隨殼體包角θ的變化曲線(xiàn)Fig.8 Variation curves of strain energy and unfolding moment with θ

3 彈性桅桿幾何參數(shù)對(duì)其支撐剛度的影響

離軌裝置制動(dòng)帆的展開(kāi)通過(guò)釋放一對(duì)纏繞在中心軸上的彈性桅桿來(lái)實(shí)現(xiàn)的。不僅可利用它收擾時(shí)存儲(chǔ)的彈性勢(shì)能為制動(dòng)帆展開(kāi)提供動(dòng)力，也能夠利用自身剛度為制動(dòng)帆展開(kāi)后提供支撐。彈性桅桿展開(kāi)過(guò)程拉動(dòng)制動(dòng)帆一起展開(kāi)，制動(dòng)帆對(duì)彈性桅桿有個(gè)反作用力，彈性桅桿除了滿(mǎn)足展開(kāi)過(guò)程中所需要的動(dòng)力，還需具有一定的剛度，滿(mǎn)足展開(kāi)過(guò)程中以及展開(kāi)完成后的支撐作用。鈹銅合金彈性模量E=128 GPa，泊松比ν=0.35，密度為ρ=8.26 g/cm3。以L(fǎng)=180 mm，弧長(zhǎng)b=19 mm，r=18 mm，t=0.15 mm 的帶簧為例，分別在正反方向上施加1 N 的力，分析帶簧正向彎曲和反向彎曲位移，分析位移云圖如圖9所示，正反向位移曲線(xiàn)如圖10所示。

由以上分析結(jié)果可知，當(dāng)施加同樣的徑向力時(shí)，正向彎曲的位移遠(yuǎn)大于反向彎曲的位移，說(shuō)明正向彎曲剛度遠(yuǎn)小于反向彎曲剛度，對(duì)于離軌帆彈性桅桿，除了具有展開(kāi)能力，還需具有一定的支撐剛度，因此，在桅桿和帆面連接時(shí)，桅桿需反向連接，帆面對(duì)桅桿的反作用力使桅桿反向彎曲。在下面分析幾何參數(shù)對(duì)其支撐剛度的影響時(shí)，只考慮其反向支撐的彎曲位移。

圖9 反向彎曲和正向彎曲位移云圖Fig.9 Displacement contour of positive bending and reverse bending

圖10 徑向力正反向位移曲線(xiàn)Fig.10 Curve of displacement of bending process with radial force

3.1 簧片厚度t對(duì)其支撐剛度的影響模擬分析

L＝150 mm，θ=72°，r=15 mm，上述參數(shù)保持不變，改變t，分析殼體厚度對(duì)彈性桅桿支撐剛度的影響，分析結(jié)果如圖11和圖12所示。

圖11 不同t時(shí)，徑向力位移云圖Fig.11 Displacement contour of positive bending at different t

圖12 位移隨簧片厚度t的變化曲線(xiàn)Fig.12 Variation curves of displacement with t

由以上分析結(jié)果可知，當(dāng)保持L＝150 mm，θ=72°，r=15 mm 不變時(shí)，當(dāng)施加相同的徑向力時(shí)，隨著簧片厚度的增加，彈性桅桿變形位移逐漸減小，說(shuō)明在保持彈性桅桿長(zhǎng)度、包角、曲率半徑不變的情況下，增加彈性桅桿厚度可增加其支撐剛度。

3.2 包角θ 不變，曲率半徑r 對(duì)其支撐剛度的影響分析

L＝150 mm，t=0.15mm，θ=72°，上述參數(shù)保持不變，改變簧片曲率半徑，分析曲率半徑對(duì)彈性桅桿支撐剛度的影響，結(jié)果如圖13所示。

圖13 保持θ不變，位移隨曲率半徑r的變化曲線(xiàn)Fig.13 Variation curves of displacement with r while keeping the θ constant

由以上分析結(jié)果可知，當(dāng)保持L＝150 mm，θ=72°，t=0.15 mm 不變時(shí)，當(dāng)施加相同的徑向力時(shí)，隨著曲率半徑的增加，彈性桅桿變形位移逐漸減小，說(shuō)明在保持彈性桅桿長(zhǎng)度、包角、厚度不變的情況下，增加彈性桅桿曲率半徑可增加其支撐剛度。

3.3 弧長(zhǎng)b 不變，曲率半徑r 對(duì)其支撐剛度的影響分析

L＝150mm，t=0.15 mm，b=19 mm，上述參數(shù)保持不變，改變簧片曲率半徑，分析曲率半徑對(duì)彈性桅桿支撐剛度的影響，結(jié)果如圖14所示。可知，當(dāng)保持L＝150 mm，b=19mm，t=0.15mm 不變時(shí)，當(dāng)施加相同的徑向力時(shí)，隨著曲率半徑的增加，彈性桅桿變形位移逐漸變大，說(shuō)明在保持彈性桅桿長(zhǎng)度、弧長(zhǎng)、厚度不變的情況下，增加彈性桅桿曲率半徑反而會(huì)減小其支撐剛度。

圖14 保持b不變，位移隨曲率半徑r的變化曲線(xiàn)Fig.14 Curves of displacement changes with r when the b remains unchanged

3.4 曲率半徑r 不變，包角θ 對(duì)其力學(xué)性能的影響模擬分析

L＝150 mm，t=0.15 mm，r=15 mm，上述參數(shù)保持不變，改變簧片包角，分析包角對(duì)彈性桅桿支撐剛度的影響，結(jié)果如圖15所示。分析可知，當(dāng)保持L＝150 mm，r=15 mm，t=0.15 mm 不變時(shí)，當(dāng)施加相同的徑向力時(shí)，隨著簧片包角的增加，彈性桅桿變形位移逐漸減小，說(shuō)明在保持彈性桅桿長(zhǎng)度、曲率半徑、厚度不變的情況下，增加彈性桅桿包角會(huì)增加其支撐剛度。

圖15 位移隨簧片包角θ的變化曲線(xiàn)Fig.15 Variation curves of displacement with θ

4 彈性桅桿纏繞性能分析

根據(jù)以上彈性桅桿幾何參數(shù)對(duì)其彎曲性能的影響分析可知，在L、b、t不變的情況下，可通過(guò)減小r來(lái)增加其應(yīng)變能及展開(kāi)彎矩以提高其展開(kāi)能力。但彈性桅桿在滿(mǎn)足其展開(kāi)能力的前提下，還需考慮其幾何參數(shù)對(duì)其纏繞時(shí)的內(nèi)應(yīng)力的影響，防止彈性桅桿纏繞后發(fā)生塑性變形。

為保證彈性桅桿在纏繞時(shí)，不發(fā)生塑性變形需要滿(mǎn)足:

式中，σx-和σy-是彈性桅桿正向彎曲時(shí)的內(nèi)部應(yīng)力，σx+和σy+是彈性桅桿反向彎曲時(shí)的內(nèi)部應(yīng)力。

彈性桅桿正向彎曲時(shí)，其內(nèi)部應(yīng)力為［14］:

彈性桅桿反向彎曲時(shí)，其內(nèi)部應(yīng)力為:

式中，E是桅桿彈性模量，ν是泊松比，t是桅桿厚度，d0是桅桿曲率直徑，d是桅桿纏繞直徑。

從公式（9）及（10）可知，彈性桅桿纏繞式其彎曲內(nèi)應(yīng)力與材料屬性以及彈性桅桿的厚度及曲率半徑有關(guān)。對(duì)于同一種材料，其材料屬性不變，選鈹銅合金作為彈性桅桿的制備材料，鈹銅合金彈性模量E=128 GPa，泊松比ν=0.35，屈服強(qiáng)度σs=1 GPa。現(xiàn)分析彈性桅桿厚度及其曲率半徑對(duì)其彎曲內(nèi)應(yīng)力的影響，結(jié)果如圖16及圖17所示。

圖16分析了彈性桅桿正反向彎曲時(shí)，曲率半徑對(duì)其彎曲內(nèi)部應(yīng)力的影響，由分析結(jié)果可知，正向彎曲時(shí)，對(duì)于同一纏繞半徑，隨著彈性桅桿曲率半徑的增加，其x方向的彎曲內(nèi)部應(yīng)力逐漸減小，而y方向的彎曲內(nèi)部應(yīng)力逐漸增大（x為橫向，y為縱向，即軸向方向）；對(duì)于同一曲率半徑，隨著纏繞半徑的增加，其x方向的彎曲內(nèi)部應(yīng)力逐漸增大，而y方向的彎曲內(nèi)部應(yīng)力逐漸減小。反向彎曲時(shí)，對(duì)于同一纏繞半徑，隨著彈性桅桿曲率半徑的增加，其x方向和y方向的彎曲內(nèi)部應(yīng)力都是逐漸減小的；對(duì)于同一曲率半徑，隨著纏繞半徑的增加，其x方向和y方向的彎曲內(nèi)部應(yīng)力也都是逐漸減小的。圖17描述了纏繞半徑R和彈性桅桿曲率半徑r（15 mm）相等時(shí)，桅桿厚度對(duì)其彎曲內(nèi)部應(yīng)力的影響。當(dāng)纏繞半徑R和桅桿曲率半徑r相等時(shí)，纏繞時(shí)，其x方向和y方向的彎曲內(nèi)部應(yīng)力相等。當(dāng)曲率半徑r一定時(shí)，隨著桅桿厚度的增加，其正向彎曲和反向彎曲時(shí)的內(nèi)部應(yīng)力都是增加的，由分析結(jié)果可知，對(duì)于曲率半徑r=15 mm，纏繞半徑R=15 mm 的彈性桅桿，當(dāng)其厚度增加至0.16 mm 時(shí)，其反向彎曲內(nèi)部應(yīng)力已經(jīng)大于材料屈服強(qiáng)度，纏繞時(shí)會(huì)發(fā)生塑性變形。

圖16 正向及反向彎曲時(shí)，彎曲內(nèi)部應(yīng)力隨曲率半徑變化曲線(xiàn)Fig.16 Variation curves of internal bending stress with r of reverse bending and positive bending

圖17 彈性桅桿彎曲時(shí)，彎曲內(nèi)部應(yīng)力隨厚度的變化曲線(xiàn)Fig.17 Variation curves of internal bending stress with bending process

5 結(jié)論

本文研究了桅桿厚度，截面圓心角及曲率半徑對(duì)其力學(xué)性能的影響規(guī)律。研究結(jié)果表明:

（1）通過(guò)增加殼體厚度t，減小曲率半徑r，增大殼體截面圓心角都能有效增大展開(kāi)彎矩，并隨著t的增加，其應(yīng)變能和展開(kāi)彎矩有較大增加，可知，殼體厚度是影響彈性桅桿展開(kāi)性能的敏感因素；

（2）彈性桅桿的彎曲內(nèi)部應(yīng)力只與材料屬性，曲率半徑r，纏繞半徑R以及殼體厚度t有關(guān)。為避免殼體纏繞時(shí)發(fā)生塑性變形，需綜合考慮彈性桅桿幾何參數(shù)對(duì)其展開(kāi)能力以及纏繞性能的影響。