李毅偉 雷佑銘 楊勇歌

1) (山西農(nóng)業(yè)大學數(shù)學系, 晉中 030801)

2) (西北工業(yè)大學應用數(shù)學系, 西安 710129)

3) (廣東工業(yè)大學應用數(shù)學學院, 廣州 510520)

基于一維Frenkel-Kontorova (FK)模型, 借助隨機龍格庫塔方法, 在非公度(incommensurate)和公度(commensurate)兩種情形下, 分別研究了高斯白噪聲激勵下, 隨機FK 模型的納米摩擦現(xiàn)象(滯回和超滑)隨噪聲強度的變化而變化的規(guī)律.兩種情形表明隨著噪聲強度的增大, 對減小系統(tǒng)滯回, 產(chǎn)生超滑有積極的影響.另一方面, 當系統(tǒng)機動性能(chain mobility)未達到飽和狀態(tài)(B = 1)時, 噪聲的引入, 能加速原子的運動, 使得原子更易脫離基底勢的束縛而做運動, 但是當系統(tǒng)達到飽和狀態(tài)后, 系統(tǒng)機動性能并不受噪聲的影響.另外, 兩種情形的區(qū)別是, 公度情形下, 由于原子受到基底勢更強烈的耦合作用, 所以噪聲對公度情形影響更為明顯.

1 引 言

近年來, 隨著精密機械和高科技設備的迅速發(fā)展[1], 特別是納米科技所推動的新興學科, 如納米電子學、微型機械的發(fā)展, 都要求開展納米摩擦學研究.由于這些領域使用的機械設備中, 摩擦副間隙或潤滑厚度通常處于納米范圍, 此時宏觀摩擦學不再適用, 其間的摩擦磨損與潤滑性能必須從原子、分子的相互作用來考察.納米摩擦學旨在研究納米尺度上接觸界面的摩擦行為和潤滑機理, 從而建立材料微觀尺度和宏觀特性之間的關(guān)系.另外,摩擦問題對于微型設備儀器而言顯得十分突出和重要.在某些方面, 摩擦作為阻力, 對于微型機械而言應減小其耗能, 盡可能達到零摩擦狀態(tài)[1].因此納米摩擦學迅速成為納米科學技術(shù)研究的前沿和熱點.另外, 隨著納米摩擦測試技術(shù)的進步和集群計算能力的提高, 推動了人們用簡單的數(shù)學模型來探索復雜體系的納米摩擦機制, 而Frenkel-Kontorova (FK)[2]模型便是成功地描述和解釋有關(guān)復雜摩擦體系的動力學模型之一.許多學者借助經(jīng)典的FK 模型研究納米摩擦學的一些現(xiàn)象[3?27].如今, 它已經(jīng)成為了研究納米摩擦學領域的一種重要的理論工具.通過對FK 模型的研究[12?14], 成功地描述和解釋了滯回、超滑等現(xiàn)象的產(chǎn)生誘因.這些結(jié)論很好地解釋了納米摩擦領域的一些問題, 成功地將FK 模型和納米摩擦聯(lián)系起來.

迄今為止關(guān)于FK 模型的研究主要集中在確定性情形[5?14], 然而真實的系統(tǒng)往往受到隨機因素的影響[4], 微納觀系統(tǒng)更是如此.Guerra 等[24]分別從不同角度研究了溫度的變化對系統(tǒng)納米摩擦現(xiàn)象的影響, 表明溫度對系統(tǒng)減小滯回有積極影響;Teki?等[15?18]也從夏皮洛臺階(Shapiro step)等角度探討了噪聲激勵下的FK 模型.目前關(guān)于隨機FK 模型的研究仍然處于探索階段, 因此考慮隨機FK 模型的研究對于理解納米摩擦機理更具有實際意義.本文主要研究高斯白噪聲激勵下的FK模型的一些納米摩擦現(xiàn)象(如滯回、超滑等現(xiàn)象)的變化規(guī)律.通過改變噪聲強度, 刻畫噪聲強度與滯回、超滑等現(xiàn)象之間的定量關(guān)系[8].通過研究高斯白噪聲激勵下的FK 模型對研究其他隨機激勵下的FK 模型具有借鑒意義.也對進一步建立適用于隨機FK 模型的新的分析方法提供依據(jù).

2 理論模型

基于確定性的一維FK 模型[12?14], 本文進一步考慮高斯白噪聲激勵下由N個原子構(gòu)成的隨機FK 模型, 模型中第i( 1 ≤i≤N) 個原子滿足如下運動方程:

不失一般性, 本文采用無量綱化處理, 假設每個原子的質(zhì)量m=1.xi表示第i個原子的位置( 1 ≤i≤n,1 ≤j≤n).系統(tǒng)的阻尼項用表示[8,12], 外勢周期為a, 當參數(shù)β=89/144[12], 表示非公度情形下準周期基底(quasiperiodic substrates), 當參數(shù)β=24/30 , 表示公度情形下多勢阱周期基底(multiple-well periodic substrates).[26]表示其他原子對第i個原子的作用勢, 即對所有的j求和.本文原子間的作用勢采用Morse 勢:其中K表示彈性系數(shù).基底勢由晶格常數(shù)(原子鏈處于平衡狀態(tài)時相鄰原子間的距離)為b=L/N(L為鏈長), 外勢周期a和c=a/β共同決定[12,24].則與Morse 勢相關(guān)的原子間的作用力Fint(x) 可表示為

(1)式右端,F表示維持原子鏈運動的無量綱外力;高斯白噪聲ξ(t) 與系統(tǒng)阻尼項之間滿足漲落耗散理論[24]:

這里kB為玻爾茲曼常數(shù),T為環(huán)境溫度.為簡化說明, 令D=mγkBT, 則(1)式中的高斯白噪聲滿足統(tǒng) 計 性 質(zhì)[28]:〈ξ(t)〉=0和〈ξ(t)ξ(s)〉=2Dδ(t ?s) ,D代表噪聲強度.為處理(1)式中的高斯白噪聲,采用針對白噪聲的隨機龍格-庫塔法[28]進行模擬.

在數(shù)值模擬過程中采用周期性邊界條件[8,12,24]:xi+N=xi+Nb.通過引入新的變量vi,ui將(1)式進行降階處理, 得到如下隨機微分方程組:

所有粒子在初始時刻處于靜止分布.為避免其他因素干擾, 系統(tǒng)處于理想的絕熱狀態(tài).記錄原子鏈在穩(wěn)定狀態(tài)時的條件(速度和位移)作為下一時刻的初始條件.定義系統(tǒng)的平均速度:

另外, 當外驅(qū)動力小于某個臨界值時, 系統(tǒng)平均速度為零, 當外驅(qū)動力大于該臨界值時, 系統(tǒng)的平均速度不為零, 在外驅(qū)動力的作用下系統(tǒng)發(fā)生相對運動, 稱該臨界值為最大靜摩擦力Fs.Vanossi等[12]和Braun 等[13]有關(guān)FK 模型的研究表明, 當彈性系數(shù)K較小, 且系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)時, 系統(tǒng)的滯回現(xiàn)象明顯, 也便于本文有關(guān)問題解釋說明.因此, 如未強調(diào),K=1 ,γ=0.7.為了研究系統(tǒng)的運動性能, 類似于文獻, 引入指標B=VCM/F[24]刻畫原子鏈的機動性能(chain mobility),VCM表示原子鏈質(zhì)心(center of mass)的平均速度.Bf=(mγ)?1表示原子鏈移動的最大漸進值[24].

由于晶格常數(shù)b和外勢周期a這兩個長度標度相競爭[2], 使得基態(tài)結(jié)構(gòu)非常復雜.當b/a=1 ,稱為公度.當b/a=144/233 , 稱為黃金分割.當b/a=351/256, 稱為螺旋分割.黃金分割和螺旋分割屬于非公度情形[8].對于非公度情形, 因為相鄰原子間的距離不可通約, 系統(tǒng)內(nèi)的所有原子容易脫離基底的束縛做同步運動; 而公度情形下, 原子要被束縛在基底勢的勢阱中, 所以系統(tǒng)本身在非公度和公度情形下有所區(qū)別[8,10].另外, 隨著外力F絕熱增加和減小的過程中, 系統(tǒng)發(fā)生了釘扎-脫釘(pinning-depinning)的轉(zhuǎn)變過程, 在這個過程中,出現(xiàn)了滯回的有趣現(xiàn)象, 它源于原子間的相互作用.當外驅(qū)動力絕熱增加時, 系統(tǒng)從鎖定狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)檫\動狀態(tài), 出現(xiàn)脫釘轉(zhuǎn)變; 當外驅(qū)動力絕熱減少時, 系統(tǒng)從運動狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)殒i定狀態(tài), 出現(xiàn)釘扎轉(zhuǎn)變.并且發(fā)生脫釘和釘扎轉(zhuǎn)變時的驅(qū)動力往往是不同的, 發(fā)生釘扎轉(zhuǎn)變時的摩擦力小于發(fā)生脫釘轉(zhuǎn)變時的摩擦力(存在滯回現(xiàn)象), 這表明發(fā)生脫釘轉(zhuǎn)變和釘扎轉(zhuǎn)變的機理是不同的[12,24].因此本文將分別從非公度情形(以黃金分割為例)和公度兩種情形,研究外力驅(qū)動的FK 模型在隨機激勵下, 系統(tǒng)的納米摩擦現(xiàn)象(滯回以及最大靜摩擦力)隨噪聲強度的變化規(guī)律.

3 數(shù)值結(jié)果及其分析

3.1 非公度( b /a=144/233 )情形

圖1 和圖2 描述了在非公度情形下, 隨著噪聲強度D的增大, 系統(tǒng)機動性能B隨著外力絕熱增加和減小而改變的規(guī)律.此部分以黃金分割為例, 在數(shù)值模擬過程中, 取a=1,b/a=144/233 ,c=a/β=144/89[8,12], 此時鏈長L=144 , 原子個數(shù)N=233.

圖1 D = 0, 0.005, 0.010 時, 非公度情形下系統(tǒng)機動性能B 隨外力F 的改變的變化規(guī)律(圖中三角形和原點分別表示外力F 絕熱增加和減小的過程)Fig.1.Noise effects on static friction and hysteresis of the B(F)characteristics for the incommensurate case when D =0, 0.005, 0.010.Triangles and circles denote, respectively,the adiabatic increasing and decreasing process of F.

如圖1 所示, 當噪聲強度D=0 , 即為確定性FK 模型[8,12], 系統(tǒng)有明顯的滯回現(xiàn)象.隨著噪聲強度D的增大, 系統(tǒng)的滯回區(qū)域的面積有明顯減小的趨勢, 與此同時最大靜摩擦力Fs也隨著噪聲強度的增大有減小的趨勢, 表明噪聲使得原子更容易脫離基底的束縛, 做同步運動.

圖2 D = 0.1, 0.2, 0.5 時, 非 公度情形下 系統(tǒng)機 動性能B 隨外力F 的改變的變化規(guī)律Fig.2.Noise effects on static friction and hysteresis of the B(F)characteristics for the incommensurate case when D =0.1, 0.2, 0.5.

另外, 隨著外力F增大的過程中, 噪聲的引入會加速系統(tǒng)的運動(如當外力F=0.6 時, 噪聲強度越大, 系統(tǒng)機動性能越大).進一步, 對于確定性系統(tǒng)(D=0 )時, 當外力F≈0.8 , 此后隨著外力F的增大, 系統(tǒng)的機動性能B不再隨外力的增大而改變, 達到飽和狀態(tài)(稱機動性能為B=1 為飽和狀態(tài)).

隨著噪聲強度的增大, 加速了原子的運動, 使得系統(tǒng)的機動性能更早的達到飽和狀態(tài) (如當噪聲強度D=0.005 , 外力F≈0.75 ; 當噪聲強度D=0.01 , 外力F≈0.7 ), 此后系統(tǒng)的機動性能達到飽和狀態(tài), 不隨噪聲強度以及外力的增大而改變.此時, 隨機激勵下系統(tǒng)的機動性能與確定性系統(tǒng)下機動性能是一致的(B=1 ), 表明飽和狀態(tài)下的機動性能是系統(tǒng)固有的屬性.

隨著噪聲強度進一步增大, 如圖2 所示, 系統(tǒng)滯回現(xiàn)象消失, 也產(chǎn)生了超滑現(xiàn)象.驗證了噪聲的引入對減小滯回, 減小系統(tǒng)摩擦, 產(chǎn)生超滑有積極的影響.另外, 隨著噪聲強度的增大, 系統(tǒng)的平均機動性能有明顯增大的趨勢, 更早地達到飽和狀態(tài)(B=1 ), 但當系統(tǒng)達到飽和狀態(tài)后(如當外力F≥0.8時), 系統(tǒng)的機動性能不受噪聲的影響.進一步驗證噪聲使得原子更易脫離基底的束縛, 做同步運動, 但噪聲并不改變系統(tǒng)的飽和狀態(tài)下的機動性能.

圖3 則從整體上考察了, 系統(tǒng)的最大靜摩擦力Fs受噪聲強度D影響的變化規(guī)律.也驗證了圖1和圖2 的結(jié)論.結(jié)果表明, 隨著噪聲強度的增大,最大靜摩擦力有減小的趨勢, 當噪聲強度D ≈0.1時, 系統(tǒng)將產(chǎn)生超滑現(xiàn)象.

綜上, 由圖1—3 可得, 在非公度情形下, 當系統(tǒng)的機動性能未到飽和狀態(tài)時, 噪聲的引入加速了原子脫離基底的束縛, 改變了系統(tǒng)的滯回區(qū)域的面積以及最大靜摩擦力的大小, 噪聲強度越大, 系統(tǒng)的機動性能越早地到達飽和狀態(tài).但當系統(tǒng)機動性能達到飽和狀態(tài)后, 隨著外力的改變, 噪聲強度并不改變系統(tǒng)的機動性能.因此為減小摩擦, 產(chǎn)生超滑, 適度的噪聲激勵即可.

圖3 非公度情形下最大靜摩擦力 Fs 隨噪聲強度D 的改變的變化規(guī)律Fig.3.Noise effects on maximum static friction for the incommensurate case.

3.2 公度( b /a=1 )情形

為驗證噪聲對系統(tǒng)納米摩擦現(xiàn)象的影響.此部分將在公度情形下, 研究隨機因素影響下, 系統(tǒng)的納米摩擦現(xiàn)象隨著噪聲強度的增大而變化的規(guī)律.其中a=1,c=a/β=30/24 , 此時, 鏈長L=140 ,原子個數(shù)N=140[8,12].圖4 和圖5 描述的是系統(tǒng)的機動性能B隨著外力F絕熱增大和減小而發(fā)生變化的過程.

圖4 D = 0, 0.005, 0.010 時, 公度情形下系統(tǒng)機動性能B 隨外力F 的改變的變化規(guī)律(圖中三角形和原點分別表示外力F 絕熱增加和減小的過程)Fig.4.Noise effects on static friction and hysteresis of the B(F)characteristics for the commensurate case when D =0, 0.005, 0.010.Triangles and circles denote, respectively,the adiabatic increasing and decreasing process of F.

如圖4 所示, 當無隨機激勵(D=0 )時, 系統(tǒng)有明顯的滯回現(xiàn)象, 隨著噪聲強度的增大, 滯回區(qū)域的面積有明顯減小的趨勢直至消失.此過程系統(tǒng)的最大靜摩擦力Fs也隨著噪聲強度的增大而減小.印證了非公度的相關(guān)結(jié)論.

圖5 D = 0.1, 0.2, 0.5 時公度情形下系統(tǒng)機動性能B 隨外力F 的改變的變化規(guī)律Fig.5.Noise effects on static friction and hysteresis of the B(F)characteristics for the commensurate case when D =0.1, 0.2, 0.5.

另一方面, 當系統(tǒng)機動性能未達到飽和狀態(tài)時, 隨著外力F的增大, 噪聲加速了原子的運動,使得系統(tǒng)的機動性能更早地達到飽和狀態(tài)(D=0, F ≈0.93 ;D=0.005 ,F ≈0.90;D=0.01, F ≈0.79).之后, 系統(tǒng)的機動性能B不受外力以及隨機因素的影響.

對比圖1 和圖4.非公度情形下, 鏈長L=144 ,

原子個數(shù)為N=233.公度情形下, 鏈長L=140 ,而原子個數(shù)為N=140.當鏈長相差不大的情況下,公度情形下, 原子個數(shù)相對較少, 但當噪聲強度D=0時(此時為確定性FK 系統(tǒng)), 公度情形下的滯回區(qū)域卻明顯大于非公度情形下的滯回區(qū)域[12].公度情形下, 最大靜摩擦力也大于非公度情形.與非公度相比(如圖1 所示), 公度情形下, 系統(tǒng)滯回受隨機因素的影響變化更為明顯, 系統(tǒng)的最大靜摩擦力改變也更為明顯(如圖6 所示).公度和非公度的區(qū)別在于: 公度情形下, 要移動原子鏈, 就必須使原子爬上并越過外勢的頂部, 從而克服一個勢壘[29].噪聲的引入, 使得這種束縛變得極不穩(wěn)定,此時原子也會逃離勢阱做同步運動.因此, 公度情形下, 系統(tǒng)受到的耦合作用更為強烈.從而噪聲對公度情形的影響也更為明顯.

圖6 公度與非公度情形下最大靜摩擦力 Fs 隨噪聲強度D 的改變的變化規(guī)律Fig.6.Noise effects on maximum static friction for the incommensurate case (blue) and the commensurate case (red).

如圖5 所示, 進一步增大噪聲強度, 系統(tǒng)的滯回消失, 產(chǎn)生超滑現(xiàn)象.當外力F<0.8 時, 隨著噪聲強度的增大, 系統(tǒng)的機動性能B隨著噪聲強度的增大而增大, 表明噪聲的引入, 使得原子更容易脫離基底勢的束縛而運動.但當外力F≥0.8 , 系統(tǒng)的機動性能不受噪聲強度以及外力的影響.驗證了噪聲容易使得原子脫離束縛, 但并不改變系統(tǒng)飽和狀態(tài)時的機動性能.

進一步, 圖6 從總體上描述了最大靜摩擦力Fs隨噪聲強度D的改變的變化規(guī)律.在非公度和公度狀態(tài)下, 隨著噪聲強度的增大, 最大靜摩擦力都有減小的趨勢, 當噪聲強度D≈0.1 , 系統(tǒng)將產(chǎn)生超滑現(xiàn)象.不同之處在于, 由于公度情形下, 原子受到基底勢更強的耦合作用, 所以噪聲的引入, 使得這種束縛變得極不穩(wěn)定, 此時原子也會逃離勢阱做同步運動, 所以對公度情形下(如滯回, 最大靜摩擦力)的影響更為明顯.

4 結(jié) 論

本文從非公度和公度兩方面, 研究了高斯白噪聲激勵下的一維隨機FK 模型.討論了系統(tǒng)納米摩擦現(xiàn)象受噪聲強度影響的變化規(guī)律.結(jié)果表明: 在非公度和公度情形下, 隨著噪聲強度的增大, 對減小系統(tǒng)的滯回和減小摩擦有積極影響, 當噪聲強度選擇恰當, 系統(tǒng)將產(chǎn)生超滑.另一方面, 噪聲的引入, 加速原子運動, 使得系統(tǒng)更快地進入飽和狀態(tài),但當系統(tǒng)達到飽和狀態(tài)后, 系統(tǒng)的機動性能并不受噪聲的影響.因此, 為減小滯回, 產(chǎn)生超滑, 適當?shù)脑肼晱姸燃纯?

非公度和公度的區(qū)別在于: 受噪聲影響, 公度情影響更為明顯.表明相同前提下, 公度情形由于受到基底勢更為強烈的耦合作用[8,29]從而具有更為復雜的動力學行為.通過對高斯白噪聲激勵下的FK 模型的研究, 對其他有色噪聲激勵下的FK 模型有更好的借鑒意義.對于人們設計出超潤滑材料, 以及制造出具有工程應用價值的新材料有一定的借鑒作用.