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        一般勻強(qiáng)電磁場中電荷的相對論性運動

        2021-05-14 09:02:20姜志鋒
        物理通報 2021年5期
        關(guān)鍵詞:電磁場磁場

        姜志鋒

        (鄱陽縣第一中學(xué) 江西 上饒 333100)

        黃亦斌

        (江西師范大學(xué)物理與通信電子學(xué)院 江西 南昌 330000)

        勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場同時存在時帶電粒子的運動一直是大家感興趣的話題.其討論可分為兩類:非相對論性的和相對論性的.對于前者,最早是文獻(xiàn)[1]給出了一種漂亮的處理方式,后來大家從理論、軌跡、數(shù)值計算等幾方面進(jìn)行了詳盡的討論[2~6].在相對論情形,討論較多的是電場與磁場正交這一有趣的特例[7,8].此時,只要|B|c≠|(zhì)E|,就一定可以找到一個慣性系,使得其中只有電場或只有磁場,于是可以在新慣性系中求解問題,再利用洛倫茲變換得到原慣性系中想要的結(jié)果.這一思路具有鮮明的物理特色.

        本文試對一般的勻強(qiáng)恒定電磁場討論帶電粒子的一般相對論性運動.當(dāng)然,不能期望此時仍能找到類似的、物理特色鮮明的思路.

        1 一般討論

        在自然單位制(c=1)下,相對論粒子的動量p和能量W分別為

        (1)

        其中m為固有質(zhì)量,也就是牛頓力學(xué)中的質(zhì)量.動量和能量滿足質(zhì)殼條件

        W2-p2=m2

        (2)

        在電磁場中,帶電粒子的動力學(xué)方程為

        (3)

        根據(jù)式(1),這是關(guān)于速度v=v(t)的非線性微分方程組,即使在電磁場正交時也不好處理.所幸,我們可以將其改為另一形式.式(3)點乘v,得到

        (4)

        改用固有時(或原時)τ作為自變量

        dt=γdτ

        (5)

        將式(5)代入式(3)、(4),并利用式(1),即得到一組關(guān)于四維矢量(W,p)的、協(xié)變形式的方程組

        (6)

        不失一般性,可設(shè)電磁場為

        B=(0,0,B)E=(0,Ey,Ez)

        (7)

        且不妨設(shè)k,B,Ey,Ez≥0,因為其中任何一個反號都不難額外處理.于是方程組(6)寫為

        (8)

        茲用微分算子法解之,將其寫為

        (9)

        (10)

        [Δ4+k2(B2-E2)Δ2-

        (11)

        其對應(yīng)特征方程的4個特征根為

        λ1=-ikαλ2=ikα

        λ3=-kβλ4=kβ

        (12)

        其中

        且它們滿足α2-β2=B2-E2.于是px的通解為e-ikατ,eikατ,e-kβτ,ekβτ的線性組合,或為cos(kατ),sin(kατ),cosh(kβτ),sinh(kβτ)的線性組合.于是有

        px=Acos(kατ+φ)+Ccosh(kβτ+ψ)

        (13)

        將式(13)代入式(8),可以得到其他量

        (14)

        將式(13)和(14)代入質(zhì)殼關(guān)系式(2),得到

        (15)

        Cα(B2+β2)sinh(kβτ+ψ)]+t1

        (16)

        其中t1為常數(shù),可要求τ=0時t=0而確定.若已知t=0時的初速度(vx0,vy0,vz0),可由此得到初能量W0和初動量(px0,py0,pz0).結(jié)合式(13)和(14),可以解出A,φ,C,ψ這4個數(shù).

        (17)

        其中C1,C2,C3為積分常數(shù),由初始坐標(biāo)決定.于是,問題得到完全解決.

        2 特例分析

        我們看一個具體例子:設(shè)勻強(qiáng)電磁場[見式(7)]中帶電粒子初始時靜止于原點,求其運動學(xué)方程.此時,把τ=0時px0=py0=pz0=0,W0=m代入式(13)、(14),即可得積分常數(shù)為

        于是,式(13)、(14)給出

        (18)

        而式(16)、(17)給出

        (19)

        不難看出,式(18)、(19)對k,B,Ey,Ez的一切正負(fù)可能性都成立.此外,式(19)可視為參數(shù)化形式的運動學(xué)方程和軌道方程,只不過現(xiàn)在所取的參數(shù)是原時.

        3 具體討論

        作為一般解,應(yīng)該在各種條件下回到相應(yīng)的特殊結(jié)果.以下著重分析粒子的運動學(xué)方程.

        (20)

        (21)

        此時,可在式(20)中令α→0,或在式(21)中令β→0,都可得到

        (22)

        討論4:Ey=0

        此時,電場與磁場平行,且α=|B|,β=|E|,式(19)給出

        (23)

        結(jié)果跟磁場無關(guān).這符合預(yù)期,因為此時速度方向與磁場平行,洛倫茲力為零.

        討論5:非相對論情形——短時間近似(kατ,kβτ?1)

        下面考慮非相對論近似.非相對論情形下的嚴(yán)格解為

        (24)

        在一般情形(如電場較大),隨著時間推移,粒子速度會變大,相對論效應(yīng)變明顯,此時牛頓解只在短時間內(nèi)才可靠.故考慮相對論解式(19)和牛頓解式(24)的短時間近似,二者應(yīng)該接近.

        將式(19)做小量展開,可得到t,x,y,z關(guān)于τ的冪級數(shù).反解出τ用t表示的級數(shù),代入x,y,z的級數(shù)中,即得到它們關(guān)于坐標(biāo)時t的級數(shù)

        (25)

        而牛頓解式(24)在近似kBt?1下的展開式為

        (26)

        可見,二者在最低兩階的行為相同,但再高時開始有不同預(yù)言.

        討論6:非相對論情形——弱電場近似

        如果電場足夠弱,那么粒子速度緩慢增長,使得牛頓解式(24)在長時間內(nèi)是足夠可靠的.在近似Ey,Ez?B下,式(19)給出

        (27)

        其中各式的第一項(將τ換為t)正好給出牛頓解式(24),而后面的項是最低階的非零相對論修正.

        進(jìn)一步,當(dāng)Ez=0時,弱電場條件應(yīng)該會使得牛頓解永遠(yuǎn)足夠可靠,因為速度一直都不大.而從式(27)容易看出當(dāng)Ez=0時,y作為τ的函數(shù)是有界的,符合預(yù)期.當(dāng)然,此時的結(jié)果也可以從式(20)中令E?B而得到.

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