王本宏，王福軍，2，王超越

（1．中國農(nóng)業(yè)大學水利與土木工程學院，北京市 100083；2．北京市供水管網(wǎng)系統(tǒng)安全與節(jié)能工程技術研究中心，北京市 100083）

0 引言

滑動軸承廣泛應用于水泵、水輪機和汽輪機等旋轉機械中，其主要原因在于滑動軸承具有阻尼高、承載力強和摩擦小等特性，另外還可以降低機組噪聲和延長使用壽命，這要歸功于軸頸和軸瓦之間油膜的動力特性[1]。

目前關于滑動軸承油膜動力特性的研究主要包括模型試驗、理論分析和數(shù)值模擬三方面[2-7]，軸承手冊[2-3]推薦了一些典型的試驗數(shù)據(jù)供參考。Lund等[4]和Zheng等[5]提出了運用流體力學的方法求解油膜的Reynolds方程得到油膜壓力分布，進而通過積分得到油膜的各個動力系數(shù)。高慶水等[6]和Gertzos等[7]根據(jù)流體力學方法，采用數(shù)值模擬方法研究了軸承的動力學特性，數(shù)值模擬結果與理論解相近。這些研究為軸承動力特性的研究提供了理論基礎和實踐指導。轉子動力學研究主要包括臨界轉速、不平衡響應和穩(wěn)定性三方面，其中關鍵問題是軸承油膜動力特性參數(shù)的確定[8-10]。宮汝志[11]和溫占營等[12]對水輪機和水泵水輪機軸系振動問題進行了研究，只是提及了軸承剛度對軸系振動的影響，但未進行相關分析。目前，大型水泵的發(fā)展方興未艾，對于大型水泵軸系的研究大多關注于軸系振動、運行狀態(tài)檢測和校中等方面[13-14]，大多將軸承簡化為剛性支撐，未考慮軸系軸承的動力特性影響。

目前關于大型水泵轉子系統(tǒng)動力學特性研究存在以下問題，包括軸承剛度的計算方法以及軸承剛度對轉子系統(tǒng)動力學特性的影響。因此，本文將轉子動力學軸承動力特性理論應用到水泵—油膜—軸系系統(tǒng)中，通過建立水泵軸承油膜剛度的計算方法，進而分析其轉子動力學特性，保證大型水泵運行的安全與穩(wěn)定。

1 滑動軸承油膜工作原理

圖1為一滑動軸承處于工作狀態(tài)時的橫斷面示意圖?？梢钥闯?，滑動軸承由外部軸瓦和內部軸頸組成，兩者之間充滿黏性的潤滑介質，通常為潤滑油。工作時，軸頸以一定角速度Ω在軸瓦中轉動，此時軸頸上承受負荷W，中間潤滑油對軸頸產(chǎn)生油膜力F，對軸頸起到抬升作用，軸頸與軸瓦中間生成油膜。在負荷和油膜力的相互作用下，軸頸中心處于靜態(tài)工作點O，與軸瓦中心O1間距為e，e為偏心距。此時，軸頸與軸瓦在不同方向上形成不同厚度的油膜間隙，最大間隙附近稱為發(fā)散楔，此處潤滑油壓力較小；最小間隙附近稱為收斂楔，此處潤滑油受到壓縮，產(chǎn)生較大壓力，這部分油膜力對軸頸所受負荷W起主要支撐作用。以軸頸中心O建立直角坐標系，對軸頸在動態(tài)平衡狀態(tài)下進行受力分析。其中將軸頸受到的油膜力F分解為徑向分量Fr和切向分量Fτ，φ為偏位角，R和r分別為軸瓦和軸頸半徑?；瑒虞S承在實際工作時，軸承的幾何參數(shù)、物理參數(shù)均為定值，而軸頸在軸瓦中的位置以及油膜的工作狀態(tài)主要取決于軸頸的轉速Ω。

圖1 滑動軸承工作狀態(tài)Figure 1 Working state of sliding bearing

2 滑動軸承油膜剛度計算方法

進行轉子動力學分析，重要的是要確定軸承剛度特性。當軸頸繞著其靜態(tài)工作點O做渦動時，軸頸所受油膜力動態(tài)變化，即為軸承動力學特性問題。LUND[4]通過理論分析，建立了滑動軸承油膜的動力學模型，表明軸頸所受油膜力與其渦動之間的關系為：

式中：Fx、Fy——軸頸所受油膜力在X、Y方向的分量；

x、y、x˙、——軸頸渦動位移和速度在X、Y方向的分量；

kxx、kxy、kyx、kyy——油膜剛度系數(shù) ；

cxx、cxy、cyx、cyy——油膜阻尼系數(shù)，兩者統(tǒng)稱為油膜動力特性系數(shù)。

油膜軸承的動力學模型如圖2所示，其中，用彈簧表示彈性力，用阻尼器表示阻尼力，對于一個確定的軸承來說，油膜的這些動力特性系數(shù)主要和轉子轉速Ω有關。

圖2 油膜軸承力學模型[1]Figure 2 Mechanical model of oil film bearing

滑動軸承油膜剛度系數(shù)的確定基于有限長軸承的Reynolds方程，通過求解油膜壓力分布獲得油膜力，進而通過施加擾動推求得到軸承油膜剛度系數(shù)計算式。其中，Reynolds方程為[3]：

式中：p——油膜壓力；

μ——潤滑油黏度系數(shù)；

vτ——切向速度；

z——滑動軸承縱坐標；

h——油膜厚度。

為了保證方程的有效求解，首先需要給定Reynolds邊界條件，包括軸瓦長度L、軸頸半徑r、旋轉角速度Ω、油膜厚度h以及油膜壓力初始值p0。應用上述條件對式（1）進行求解，首先得到油膜壓力分布，并進一步推導出油膜力計算式為：

通過坐標轉換，軸頸所受油膜力F水平分量Fx和垂直分量Fy分別為：

通過給定微小位移擾動，對軸頸所受油膜力進行展開得到：

式中：Fx0、Fy0——軸頸處于靜態(tài)平衡點時所受油膜力F在X、Y方向的分量。

對比式（1）和式（4），油膜剛度系數(shù)[k]為由單位位移所引起的油膜力增量，其求解方程為：

根據(jù)上述過程，滑動軸承油膜剛度系數(shù)[k]的確定過程如圖3所示。

圖3 油膜剛度求解流程Figure 3 Solving process of oil film stiffness

3 剛度對轉子動力特性影響及分析方法

通過上述建立的軸承油膜剛度的計算方程，得到軸承剛度系數(shù)，為進行轉子動力學的分析提供了重要支撐參數(shù)。進行轉子動力學分析，主要包括有限元模型的建立、臨界轉速的分析以及不平衡響應的分析。

3.1 有限元模型的建立

精確的轉子動力學的分析，離不開對轉子系統(tǒng)模型合理的簡化。圖4和圖5為一軸流泵轉子系統(tǒng)結構圖和細部尺寸圖，該轉子系統(tǒng)由葉輪、泵軸、電機轉子以及上下導軸承組成。由于實體模型細部結構十分復雜，存在相對于整體尺寸很小的結構（如倒角），這些結構雖然對轉子系統(tǒng)動力學特性影響較小，但是對分析的復雜度有直接的影響。一般將其進行簡化處理，不考慮其影響。轉子系統(tǒng)中葉輪和電機轉子由于剛性較好，所以只考慮其質量、極轉動慣量和直徑轉動慣量。采用ANSYS軟件中的MASS21單元模擬轉輪和電機轉子，MASS21單元為點單元，具有x、y、z方向平動和旋轉6個自由度，可以考慮每一個方向的質量和轉動慣量。使用COMBI214單元模擬軸承，COMBI214單元是2D彈簧—阻尼器單元，通過在平面垂直方向上定義軸承剛度和阻尼系數(shù)，表征軸承的力學特性，同時該單元可以承受拉壓，但不能承受彎曲和扭轉。使用BEAM188單元模擬泵軸，BEAM188單元是3D線性有限應變梁單元，主要用于分析中等細長的梁結構，該單元基于鐵摩辛柯梁理論，考慮剪切變形影響，該單元由2個節(jié)點組成，每個節(jié)點具有6～7個自由度[15-16]。最終簡化得到的力學簡圖如圖6所示。

圖4 轉子系統(tǒng)結構圖Figure 4 Rotor system structure drawing

圖5 轉子-軸承系統(tǒng)結構圖（單位：mm）Figure 5 Rotor bearing system structure drawing（unit：mm）

圖6 轉子-軸承系統(tǒng)力學簡圖Figure 6 Mechanical schematic diagram of rotor bearing system

3.2 軸承剛度對臨界轉速的影響

臨界轉速是轉子的一個特殊的模態(tài)頻率。當轉軸旋轉處于臨界轉速狀態(tài)運行時，運行會出現(xiàn)不穩(wěn)定，產(chǎn)生較強烈的反復變形和振動現(xiàn)象，嚴重時會引發(fā)共振，造成結構發(fā)生破壞，因此，判斷轉子運行是否處于臨界轉速狀態(tài)，有效避開臨界轉速運行，對轉子安全穩(wěn)定運行具有重要意義。目前，在水泵轉子系統(tǒng)研究中，主要將軸承簡化為剛性支撐，這會導致油膜剛度無窮大，使得求解得到的臨界轉速值高于實際，進而導致對結構穩(wěn)定性評價過高，因此本文重點考慮彈性支撐相對于剛性支撐對臨界轉速造成的影響。

3.3 不平衡力對轉子動力特性影響

由于水泵葉輪實際運行時，首先由于制作安裝的復雜性，會存在一定的偏心或偏心質量，其次受到重力、離心力以及非定常水壓力的影響，葉輪也存在一定的不平衡力作用。對于大多數(shù)轉子系統(tǒng)，這種不平衡量是很難測量的，一般通過給定一個可能存在的不平衡載荷，研究轉子系統(tǒng)在這個不平衡載荷下的響應，以提前預防轉子系統(tǒng)可能存在的響應過大的問題。

為研究轉子系統(tǒng)實際工作情況，分析葉輪可能存在偏心質量m，偏心距為re，所產(chǎn)生的離心力對轉子系統(tǒng)振動的影響，進而為轉子系統(tǒng)的優(yōu)化設計提供依據(jù)。當轉速為Ω時，此時產(chǎn)生的離心力Fc為：

等同于在葉輪中心垂直方向上作用兩個簡諧力[17]：

進一步通過設定轉子轉速為工作轉速，諧響應分析子步數(shù)N，頻率范圍（0～f）Hz，研究轉子軸承系統(tǒng)在承受不平衡載荷作用下，對葉輪和電機轉子節(jié)點位置振動大小的影響。

4 算例應用

4.1 研究對象和計算模型

研究對象為如圖4所示的軸流泵轉子系統(tǒng)，該轉子軸承系統(tǒng)轉輪質量m1=16550kg，極轉動慣量JP1=12000kg·m2，直徑轉動慣量JD1=10250kg·m2；電機轉子質量m2=14600kg，極轉動慣量JP2=10500kg·m2，直徑轉動慣量JD2=12500kg·m2；上導軸承長度l1=0.48m，軸頸直徑d1=0.42m，軸承間隙c1=0.3mm；下導軸承長度l2=0.62m，軸頸直徑d2=0.45m，軸承間隙c2=0.4mm；轉軸共分5段，粗細不等，最細處轉軸5的直徑為0.40m，最粗處為與葉輪連接處法蘭盤，轉軸1的直徑為1.10m，整個轉子系統(tǒng)長8.90m，額定轉速為101r/min，轉軸的材料為不銹鋼，其密度為ρ=7850kg/m3，彈性模量E=210GPa，泊松比μ=0.27。

構建的有限元模型如圖7所示，整個轉子系統(tǒng)共包含185個節(jié)點，184個梁單元，2個軸承單元。對于該轉子系統(tǒng)，根據(jù)實際工作狀況，軸瓦固定在軸承座上，則對軸承單元與軸瓦連接節(jié)點進行全約束，另一端與泵軸連接處節(jié)點只約束其軸向位移，考慮陀螺效應的影響，采用QR Damped模態(tài)分析方法。

圖7 轉子系統(tǒng)有限元模型Figure 7 Finite element model of rotor system

4.2 轉子系統(tǒng)動力特性分析

4.2.1 油膜剛度系數(shù)分析

為了進行轉子系統(tǒng)動力特性分析，首先需要確定滑動軸承的動力特性系數(shù)。從理論分析可得油膜剛度系數(shù)和轉速具有相關性，根據(jù)上述軸系基本設計參數(shù)和理論分析，采用軸承油膜動力學模型和Reynolds邊界條件，對不同轉速下上下導軸承油膜剛度系數(shù)分別進行迭代計算，得到各個軸承油膜剛度系數(shù)隨轉速的變化曲線，如圖8所示。分析可知，對于上導軸承和下導軸承，各剛度系數(shù)的變化規(guī)律一致，在低轉速區(qū)，下導軸承各剛度系數(shù)明顯高于上導軸承。其中，隨轉速升高，kxx和kyx逐漸下降，kyy和kxy逐漸升高，kxx和kyy逐漸趨于平穩(wěn)，而交叉剛度kxy和kyx的變化幅度較高，且數(shù)值絕對值較大?？芍獙τ谠撧D子系統(tǒng)，交叉剛度對結構穩(wěn)定性影響較大。

圖8 軸承油膜剛度系數(shù)變化曲線Figure 8 Variation curve of bearing oil film stiffness coefficient

4.2.2 臨界轉速分析

在通過上述計算得到不同轉速下軸承剛度系數(shù)后，通過給定不同轉速以及該轉速下對應的剛度系數(shù)，采用集中質量法對上述軸流泵轉子系統(tǒng)進行模態(tài)計算，可得到轉子系統(tǒng)彈性支撐條件下坎貝爾圖。圖9（a）是彈性支撐條件下的坎貝爾圖，圖9（b）是剛性支撐（軸承剛度無窮大）條件下坎貝爾圖。其中，F(xiàn)W代表正向渦動曲線，BW代表反向渦動曲線，激勵直線與渦動曲線的交點下對應的轉速為臨界轉速，如表1所示。

表1 臨界轉速Table 1 Critical speed

轉子在實際工作狀態(tài)下時，由于受到不平衡載荷的影響，轉子做同步正向渦動，因此臨界轉速通常指轉子做正向渦動時的臨界轉速。由圖9（a）可以看出彈性支撐時，第2、4階頻率為正向渦動時的頻率。因此，該軸流泵轉子軸承系統(tǒng)存在兩階臨界轉速，分別為294r/min和414r/min。

若軸承為剛性支撐時，分析圖9（b）可得該轉子系統(tǒng)第1階臨界轉速為396r/min，而實際第1階臨界轉速為294r/min，可知，油膜剛度增大會導致臨界轉速升高，剛性支撐，會導致第1階臨界轉速偏大34.7%，從而會對結構穩(wěn)定性分析造成過高的評價。

圖9 坎貝爾圖Figure 9 Campbell diagram

4.2.3 不平衡響應分析

假定轉輪處一定不平衡力F=15N，轉子轉速為101r/min，設置諧響應分析子步數(shù)為100，頻率范圍為0～100Hz，對轉子系統(tǒng)進行不平衡響應分析，得到葉輪和電機轉子處節(jié)點位移的頻率響應曲線如圖10所示。分析可知，該軸流泵轉子系統(tǒng)在頻率為5Hz（300r/min）處的振動幅值最大，在第1階臨界轉速附近發(fā)生，說明了臨界轉速求解的正確性。也可以看出，轉輪處由于受到不平衡力的作用，振幅幅值明顯高于電機轉子處，但是整體的振動幅值均較小，結構運行安全穩(wěn)定。

圖10 頻率響應曲線Figure 10 Frequency response curve

4.2.4 工作轉速的合理性分析

對于水泵轉子系統(tǒng)，關于工作轉速具有以下規(guī)定，當工作轉速在該范圍內運行時，才能避免共振，不影響運轉的穩(wěn)定性[18]。對于工作轉速小于（大于）第一階臨界轉速的剛性轉子（柔性轉子），工作轉速需分別滿足以下條件：

式中：nc1——第一階臨界轉速；

nc2——第二階臨界轉速。

該軸流泵轉子系統(tǒng)工作轉速為n=101r/min，前兩階臨界轉速分別為nc1=294r/min、nc2=314r/min。由于n＜0.8nc1=235r/min，第一階臨界轉速高出工作轉速191%，可知該轉子系統(tǒng)為剛性轉子，且工作轉速遠小于第一階臨界轉速，運行是穩(wěn)定可靠的，不會發(fā)生共振。

5 結語

本文通過對水泵滑動軸承油膜剛度對轉子系統(tǒng)動力特性影響進行了研究，得到以下結論：

（1）給出了軸承油膜剛度的分析計算方法，發(fā)現(xiàn)交叉剛度kxy和kyx對水泵轉子系統(tǒng)穩(wěn)定性影響較大。

（2）研究了軸承油膜剛度對轉子動力特性的影響，發(fā)現(xiàn)隨軸承油膜剛度系數(shù)增大，轉子系統(tǒng)臨界轉速升高，所研究軸流泵轉子系統(tǒng)剛度支撐較彈性支撐臨界轉速增大34.7%。

（3）分析了葉輪不平衡力對轉子動力特性的影響，給出了不平衡力激勵下葉輪和電機轉子處的位移頻率響應曲線。該研究成果對保證大型水泵轉子系統(tǒng)在設計、制造和運行過程中的穩(wěn)定運行提供了新的科學依據(jù)。