王彥鵬，李 杰

（同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海200092）

近20年來，隨著高速鐵路建設(shè)、機(jī)場建設(shè)、海洋天然氣開采和風(fēng)力發(fā)電等事業(yè)在我國的迅猛發(fā)展，我國各地興建了大量的混凝土基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)設(shè)施。在這些基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)設(shè)施中，有相當(dāng)一部分（如橋梁、機(jī)場道面、海洋平臺、風(fēng)機(jī)基礎(chǔ)等）在服役期間需承受數(shù)以千萬次計(jì)的循環(huán)荷載作用，極有可能發(fā)生疲勞破壞。如何保證這些混凝土結(jié)構(gòu)物的耐疲勞安全，已成為十分突出的問題。

一般認(rèn)為，最早的有關(guān)混凝土疲勞問題的研究可追溯到19世紀(jì)末期Considére和De Joly對混凝土砂漿試件的疲勞加載試驗(yàn)。其后，隨著混凝土在鐵路橋梁、高速公路和機(jī)場道面等建設(shè)中的廣泛應(yīng)用，許多研究者都參與了這一問題的研究。但由于當(dāng)時理論和試驗(yàn)技術(shù)水平相對落后，直至20 世紀(jì)中葉，幾乎沒有產(chǎn)生在現(xiàn)在看來非常有價值的研究成果。Nordby［1］對1958年之前在這一領(lǐng)域的研究工作做了詳盡的報道。自1970年起，對混凝土疲勞問題的近代研究逐漸展開。在之后約50年時間里，科學(xué)家們先后將線彈性斷裂力學(xué)、非線性斷裂力學(xué)和損傷力學(xué)等力學(xué)理論引入到混凝土疲勞失效行為的研究中。這些新的力學(xué)理論，為混凝土疲勞問題的研究注入了新的活力。在此基礎(chǔ)上，混凝土疲勞研究呈現(xiàn)出試驗(yàn)與理論兩個方面同時向前發(fā)展的趨勢，并逐漸形成了4 種不同的混凝土疲勞分析方法，分別是S（施加最大疲勞應(yīng)力水平）?N（臨界荷載循環(huán)數(shù)）曲線法、Paris 公式法、黏聚裂縫模型和損傷本構(gòu)模型。本文將擇要介紹這4 種方法，歸納總結(jié)各方法的代表性研究成果，討論不同方法的優(yōu)缺點(diǎn)。

1 S?N曲線法

Aas-Jakobsen［2］最 早 提 出 了 考 慮 應(yīng) 力 循 環(huán) 比R= σminσmax影響的混凝土S?N曲線表達(dá)式，為

式中：σmax和σmin分別為施加疲勞應(yīng)力的最大、最小值；f0為參考靜力強(qiáng)度；β為材料參數(shù)。Tepfers等［3-4］基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)對β 的取值進(jìn)行了標(biāo)定，標(biāo)定結(jié)果為β=0.068 5。

Aas-Jakobsen 的工作對后續(xù)的研究產(chǎn)生了重要影響。Hsu［5］、Zhang 等［6］和Wang 等［7］在式（1）基礎(chǔ)上，分別考慮了荷載周期、反方向最小應(yīng)力水平和側(cè)限壓應(yīng)力水平對混凝土疲勞強(qiáng)度的影響，提出了不同的修正公式。

歷史上，研究者們還建立了其他類型的混凝土S?N曲線。例如，Cornelissen［8］考慮最小疲勞應(yīng)力水平的影響建立了混凝土受拉S?N 曲線；Kim 等［9］考慮靜力抗壓強(qiáng)度的影響建立了混凝土受壓S?N 曲線；趙東拂［10］考慮側(cè)向壓應(yīng)力水平的影響建立了適用于混凝土雙軸拉?壓加載的S?N 曲線。需要指出的是，隨著考慮變量數(shù)量的增加，基于試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行曲線擬合的難度也在增大，因此，絕大多數(shù)S?N曲線都僅考慮了1～2個試驗(yàn)因素的影響。

在本質(zhì)上，S?N 曲線是對混凝土疲勞壽命試驗(yàn)均值的擬合。為考慮混凝土疲勞壽命的離散性，McCall［11］最早引入如下的S?N?P曲線，在概率意義上描述了混凝土抗彎疲勞壽命的試驗(yàn)結(jié)果：

式中：P為混凝土發(fā)生疲勞失效的概率；a、b和c為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。

其后，Holmen［12］和Do等［13］利用式（2）分別對普通和高強(qiáng)混凝土的受壓疲勞試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了擬合。

2013 年，Saucedo 等［14］將靜力強(qiáng)度的概率分布作為疲勞強(qiáng)度的漸進(jìn)概率分布，提出了可同時考慮疲勞荷載施加頻率f 和應(yīng)力循環(huán)比R 影響的混凝土S?N?P曲線，即）

式中：λ和k為靜力強(qiáng)度的分布參數(shù)；σ?0為獲取靜力強(qiáng)度時施加的應(yīng)力速率；σmin0為界限疲勞強(qiáng)度；b、c和γ為材料參數(shù)。

S?N曲線法概念簡單、使用方便，在實(shí)際工程中發(fā)揮了重要作用。國際上多個工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范［15-17］選用這一方法作為混凝土結(jié)構(gòu)抵抗疲勞荷載的設(shè)計(jì)依據(jù)。然而，該法的缺點(diǎn)在于其對試驗(yàn)研究具有很強(qiáng)的依賴性，在本質(zhì)上是一類現(xiàn)象學(xué)意義上的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀Ｇ矣捎赟?N 曲線描述的是材料屬性，無法基于其直接對結(jié)構(gòu)物的疲勞性能進(jìn)行評估。

2 Paris公式法

20世紀(jì)60年代初，Paris 等［18-19］針對金屬裂紋的疲勞擴(kuò)展問題提出了如下公式：

式中：a為金屬裂紋的長度；ΔK為裂紋尖端處應(yīng)力強(qiáng)度因子的幅值；C和m為材料常數(shù)。

20 多 年 后，Baluch 等［20］和Perdikaris 等［21］將Paris 公式引入到混凝土裂縫疲勞擴(kuò)展問題的研究中。其后，Ba?ant 等［22-23］試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)式（4）中參數(shù)C 的取值依賴于混凝土試件的尺寸，于是基于Ba?ant［24］早先關(guān)于混凝土靜力斷裂尺寸效應(yīng)的研究成果，將式（4）修改為

Le等［25］認(rèn)為式（5）中試件的靜力斷裂韌性Kc不應(yīng)與其疲勞過渡尺寸D0c間存在函數(shù)關(guān)系，因此提出了疲勞斷裂能Uc的概念。在Le 等的工作中，假定，其中Uc，∞是無限大試件的疲勞斷裂能?；诩{?宏觀裂縫擴(kuò)展的能量耗散速率相等條件［26］，Le 等最終給出了式（5）的另一種等效表達(dá)，為

式中：ΔKD=ΔK(1+D0cD)12，為尺寸調(diào)整后的應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值。

在式（6）的推導(dǎo)過程中，Le 等假定了宏觀裂縫尖端包含的納觀裂縫數(shù)目Na是應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值ΔK 的函數(shù)，即Na=f (ΔK)。然而，Kirane 等［27］認(rèn)為更合理的表達(dá)為Na=f(ΔK Kc)，并據(jù)此對式（6）做出了進(jìn)一步改進(jìn)，即

式中：D0m為單調(diào)加載下試件的過渡尺寸。

此外，Slowik 等［28］提出了能同時考慮加載歷史影響和尺寸效應(yīng)的Paris公式；Sain等［29］對Slowik等的工作進(jìn)行了完善，并補(bǔ)充考慮了加載頻率f 的影響；Carpinteri 等［30］從混凝土斷裂表面具有分形特征這一試驗(yàn)觀察出發(fā)，通過定義重整化應(yīng)力強(qiáng)度因子的概念，建立了顯含尺寸參數(shù)的Paris公式表達(dá)；Ray等［31］基于量綱分析提出了能夠同時考慮抗拉強(qiáng)度、斷裂韌性、荷載循環(huán)比和結(jié)構(gòu)尺寸影響的Paris公式。

可以看到，經(jīng)過30 多年的努力，Paris 公式已經(jīng)可以反映較多試驗(yàn)因素（如試件尺寸和加載頻率等）對混凝土疲勞裂縫擴(kuò)展的影響。相比于S?N 曲線，Paris 公式能夠給出關(guān)于裂縫疲勞擴(kuò)展過程的預(yù)測。然而，由于在復(fù)雜或變幅疲勞加載工況下，應(yīng)力強(qiáng)度因子及其幅值的獲取會變得異常困難，因此，一般說來，Paris 公式僅適用于簡單的常幅疲勞加載工況。另一方面，Paris 公式本身無法回答裂縫何以萌生的問題，因而僅可以用于有缺口試件或裂縫擴(kuò)展階段的疲勞分析。

3 黏聚裂縫模型

黏聚裂縫模型起源于20世紀(jì)60年代Dugdale和Barrenblatt 對金屬裂紋尖端非線性區(qū)的研究。1976年，Hillerborg等［32］的工作對該模型的發(fā)展具有里程碑式的意義。Hillerborg等提出：混凝土可見裂縫的前方具有一條虛擬裂縫，虛擬裂縫的界面之間存在黏聚力；隨著虛擬裂縫的張開，黏聚力發(fā)生退化；當(dāng)黏聚力退化到零時，虛擬裂縫轉(zhuǎn)化為可見裂縫。由此，黏聚裂縫模型又稱虛擬裂縫模型。將黏聚裂縫模型用于混凝土疲勞斷裂研究的關(guān)鍵，在于建立適用于混凝土疲勞加載的黏聚力退化準(zhǔn)則，即黏聚力σ和裂縫往復(fù)位移張開δ之間的關(guān)系。Gylltoft［33］最早基于能量分析做了這一方面的嘗試（圖1a），其基本思想是認(rèn)為疲勞循環(huán)加載會導(dǎo)致黏聚裂縫靜力斷裂能的消耗，當(dāng)靜力斷裂能消耗殆盡時，黏聚裂縫發(fā)生失效。其后，Hordijk［34］基于對試驗(yàn)結(jié)果的觀察，提出了所謂的“連續(xù)函數(shù)模型”（圖1b），即用連續(xù)函數(shù)的形式給出了疲勞加載下混凝土黏聚力軟化包絡(luò)、卸載和再加載曲線的表達(dá)式。但需要說明的是，Gylltoft 和Hordijk 兩人的工作僅適用于混凝土低周疲勞加載，因而未對以后的研究產(chǎn)生太多影響。

進(jìn)入21 世紀(jì)，Yang 等［35］引入損傷變量的概念，建立了疲勞荷載下σ?δ關(guān)系的全量表達(dá)（圖1c）。在這一工作中，所采用加載剛度的表達(dá)式為

式中：σd為損傷屈服應(yīng)力；αl為材料參數(shù)；δd為損傷變量，具體演化式為

所采用卸載剛度的表達(dá)式為

式中：σturn和δturn分別為卸載點(diǎn)處的黏聚力和位移張開；βm為材料參數(shù)。

Nguyen 等［36］則提出了以下適用于疲勞加載的σ?δ關(guān)系的增量表達(dá)式（圖1d）：

式中：K-= σmaxδmax為卸載剛度，σmax和δmax分別為卸載點(diǎn)處的黏聚應(yīng)力和位移張開；K+為加載剛度，其演化式為

式中：δc為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。利用該σ?δ 關(guān)系表達(dá)，Eliá?等［37］對單軸受壓加載下準(zhǔn)脆性材料Ⅰ型裂縫的疲勞擴(kuò)展過程進(jìn)行了模擬。

2009年，Xu等［38］建立了能夠考慮疲勞裂縫萌生階段的σ?δ關(guān)系表達(dá)（圖1e）。他們所選用的法向黏聚力軟化包絡(luò)曲線為

式中：δ0為材料參數(shù)；κ=δ0+δn，δn為法向位移張開；δt為切向位移張開；ft=(1-ω) ft0為抗拉（開裂）強(qiáng)度，ft0為初始抗拉強(qiáng)度，ω為損傷變量，具體表達(dá)式為

式中：H(?)為Heaviside 函數(shù)；σu和δu為材料參數(shù)；f0為疲勞界限強(qiáng)度；ω0= f0ft0為疲勞損傷閾值。在疲勞荷載作用下，法向黏聚力與位移張開之間的增量關(guān)系式為

圖1 黏聚裂縫模型圖示Fig.1 Illustration of cohesive crack model

式中：σn，max和δn，max分別為卸載前的最大法向黏聚力和位移張開。

最近，Skar 等［39］基于剩余斷裂能的概念提出了一種較簡易的σ?δ關(guān)系（圖1f），其中第j次循環(huán)開始時剩余斷裂能的計(jì)算公式為式中：kfat為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)；∑W為第i到第j循環(huán)間產(chǎn)生的累積功。對加卸載過程M→A→B，有∑W=

將具有上述σ?δ關(guān)系的黏聚裂縫單元插入體積單元，便可以基于有限元方法進(jìn)行混凝土結(jié)構(gòu)疲勞斷裂過程的數(shù)值模擬。

與Paris公式相比，黏聚裂縫模型對混凝土的斷裂過程區(qū)進(jìn)行了更加細(xì)致的刻畫，且由于擺脫了應(yīng)力強(qiáng)度因子概念的束縛，該模型可以較容易地納入疲勞裂縫萌生階段的分析。相比于下文將要介紹的損傷本構(gòu)模型，黏聚裂縫模型在有限元數(shù)值實(shí)現(xiàn)上通常更加穩(wěn)健和高效，并且不存在網(wǎng)格敏感性問題。然而，該模型的局限性在于真實(shí)混凝土中并不存在理想的黏聚裂縫，取而代之的是斷裂過程區(qū)，而黏聚力僅是對該區(qū)域內(nèi)各種復(fù)雜作用力（如骨料咬合力、界面摩擦力和裂縫間橋力等）的一種綜合表述。因此，黏聚力概念實(shí)際上是缺乏清晰物理圖景的，從而其退化準(zhǔn)則的建立過程必然是經(jīng)驗(yàn)性的。另一方面，由于在有限元數(shù)值模擬中，裂縫僅能沿著體積單元的邊界進(jìn)行擴(kuò)展，因此，采用這一模型分析得到的裂縫擴(kuò)展路徑通常依賴于事先有限元網(wǎng)格的劃分。最后，黏聚裂縫模型僅適用于材料二維裂縫擴(kuò)展問題的描述，難以反映第三方向加載對斷裂過程的影響。

4 損傷本構(gòu)模型

自Kachanov 于20 世紀(jì)50 年代提出損傷的概念以來，損傷力學(xué)逐漸得到越來越多研究者的關(guān)注，迄今，已發(fā)展成一個較為獨(dú)立的分支學(xué)科。與Paris公式和黏聚裂縫模型關(guān)心宏觀裂縫的擴(kuò)展不同，損傷本構(gòu)模型旨在刻畫外部加載下材料細(xì)觀代表體積單元（RVE）力學(xué)性能的退化過程。損傷本構(gòu)模型的核心在于損傷演化準(zhǔn)則的建立。經(jīng)典損傷力學(xué)通常效仿塑性力學(xué)的做法，假定存在一損傷面，當(dāng)材料狀態(tài)點(diǎn)落在該面上并且處于加載狀態(tài)時，發(fā)生損傷演化。這種做法導(dǎo)致的結(jié)果是等幅疲勞加載下將不會有損傷演化發(fā)生。為解決這一問題，Marigo［40］提出了加卸載不可逆的概念，認(rèn)為無論材料狀態(tài)點(diǎn)處于損傷面的何種位置，只要處于加載狀態(tài)，就發(fā)生損傷演化。這一概念對后續(xù)的研究工作產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

Papa等［41］在對混凝土彈性應(yīng)變εe進(jìn)行拉壓分解（εe=εet+εec）的基礎(chǔ)上，基于加卸載不可逆概念，得到疲勞損傷的演化表達(dá)式為

式中：α為Ⅰ、Ⅱ或Ⅲ，代表應(yīng)變的主軸方向；h為t或c，代表受拉或受壓狀態(tài)；gα，h為Yα，h的函數(shù)，Yα，h為損傷能釋放率；n 為材料疲勞參數(shù)；fˉα，h為度規(guī)函數(shù)（實(shí)質(zhì)為損傷加載函數(shù)變換后的結(jié)果），有

Alliche［42］考慮混凝土受拉損傷機(jī)制，基于加卸載不可逆概念，建立的損傷張量D的演化表達(dá)為

式中：h 為硬化參數(shù)；K 和n 為黏性參數(shù)；Y+為受拉損傷能釋放率張量；f (?)為損傷加載函數(shù)，有

同樣基于加卸載不可逆概念，Mai 等［43］提出的疲勞損傷表達(dá)式為

式中：φ(?)為特定函數(shù)；S為損傷能釋放率；n為疲勞參數(shù)；f為度規(guī)函數(shù)，為

式中：m(?)為特定函數(shù)；W為初始損傷閾值。

事實(shí)上，研究者還提出了其他可用于確立疲勞損傷演化法則的方法。例如，Suaris 等［44］類比塑性力學(xué)中的邊界面法，提出在損傷能釋放率空間存在著邊界面、加載面和界限斷裂面3個曲面，基于正交流動法則，加載面上的損傷演化表達(dá)式為

式中：ωi和Ri分別為第i 主拉應(yīng)力方向上的損傷分量和與之對應(yīng)的損傷能釋放率；f為加載函數(shù)；L為加載指標(biāo)。當(dāng)材料狀態(tài)點(diǎn)處于界限斷裂面內(nèi)時，不產(chǎn)生損傷演化；當(dāng)加載面膨脹至與邊界面相接觸時，材料點(diǎn)發(fā)生破壞。

Desmorat 等［45］考慮累積摩擦滑移的影響，在Lemaitre［46］針對金屬疲勞損傷研究的基礎(chǔ)上給出了混凝土疲勞損傷的演化式為

Ding 等［47］通過向經(jīng)典微觀隨機(jī)斷裂模型［48］中引入微彈簧能量耗散機(jī)制，建立了混凝土靜力和疲勞損傷演化的統(tǒng)一表達(dá)式為

式中：H(?)為Heaviside 函數(shù)；Es為微彈簧保有的特征能量；Ef為疲勞加載下微彈簧的累積能量耗散；Y為損傷能釋放率。

與黏聚裂縫模型相比，基于損傷本構(gòu)模型進(jìn)行混凝土結(jié)構(gòu)疲勞失效的數(shù)值模擬在方法上更為統(tǒng)一，在流程上更加簡潔，但往往伴隨有網(wǎng)格敏感性問題。一些研究表明，使用裂縫帶模型［49］或者非局部方法［48］可以有效降低網(wǎng)格敏感性帶來的影響。然而，需要指出的是，在熱力學(xué)框架內(nèi)，人們僅能獲得一些關(guān)于損傷演化的限制性條件，而無法完全通過理論推導(dǎo)獲得損傷演化的具體形式。因此，混凝土損傷演化法則的建立，常常是一維試驗(yàn)結(jié)果的理性外推。本文作者認(rèn)為，混凝土細(xì)觀尺度的疲勞損傷演化，在物理上源于混凝土納微觀底層裂縫的疲勞擴(kuò)展。因此，若能深入研究這些底層裂縫的疲勞擴(kuò)展機(jī)制以及損傷的跨尺度傳播機(jī)制，那么必能在混凝土疲勞損傷演化建模的研究中取得重要進(jìn)展。

5 結(jié)論

迄今為止，混凝土結(jié)構(gòu)的疲勞破壞分析依然是一個非常具有挑戰(zhàn)性的課題。本文回顧了過去半個世紀(jì)以來世界范圍內(nèi)在混凝土疲勞理論研究領(lǐng)域取得的主要成果，梳理總結(jié)了4 種主要的分析方法。在這4種方法當(dāng)中，S?N曲線法最簡單，但卻難以應(yīng)用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的分析；Paris 公式法抓住了混凝土疲勞斷裂的部分特征，但應(yīng)用范圍仍相當(dāng)有限；通過與有限元方法相結(jié)合，黏聚裂縫模型能夠?qū)崿F(xiàn)對復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)疲勞問題的處理，但在本質(zhì)上仍是經(jīng)驗(yàn)性的；損傷本構(gòu)模型具有嚴(yán)格的熱力學(xué)基礎(chǔ)，可以基于物理規(guī)律對其內(nèi)變量演化過程進(jìn)行建模分析，因而最具發(fā)展?jié)摿?。本文作者認(rèn)為，只有堅(jiān)持對混凝土疲勞損傷演化過程中的物理機(jī)制進(jìn)行探討，才有可能最終建立起趨于完善的混凝土結(jié)構(gòu)疲勞分析理論。

作者貢獻(xiàn)說明：

王彥鵬：具體研究工作的開展和論文撰寫。

李 杰：論文的選題、指導(dǎo)及修改。