朱亞萍, 馬朋濤

(中交第一公路勘察設(shè)計研究院有限公司， 陜西 西安 710075)

1 概述

1.1 Python語言

Python語言于1989年由Guido開發(fā)，目前，Python有兩個版本影響最為廣泛，2.x版及3.x版。該文相關(guān)代碼都采用3.7版的Python編寫。

Python語言的核心包含數(shù)字、字符串、列表、字典、文件等常見類型和函數(shù)，同時Python還提供了一個很強(qiáng)大的標(biāo)準(zhǔn)庫，用于實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)管理、網(wǎng)絡(luò)通信、文本處理等額外的功能。而Python更強(qiáng)大之處在于社群為其提供的龐大的第三方模塊。這些第三方模塊的使用方式與標(biāo)準(zhǔn)庫類似，它們的功能覆蓋科學(xué)計算、Web開發(fā)、數(shù)據(jù)庫接口、圖形系統(tǒng)多個領(lǐng)域。由于第三方模塊可以使用Python或者C語言編寫，其他語言也常常將自身的程序庫轉(zhuǎn)化為Python模塊，因而Python常被用做其他語言與工具之間的“膠水”語言。

該文除了使用Python自身的基本核心和標(biāo)準(zhǔn)庫之外，還使用了numpy、pandas、matplotlib等第三方模塊。numpy是Python進(jìn)行科學(xué)計算的基礎(chǔ)軟件包；pandas是一個強(qiáng)大的分析結(jié)構(gòu)化數(shù)據(jù)的工具集，可以與電子表格(excel)進(jìn)行數(shù)據(jù)交換；matplotlib則是一個Python的2D繪圖庫。這些模塊的功能豐富，具體的使用辦法該文不贅述。

1.2 圓形截面配筋公式

圓形截面是橋梁下部結(jié)構(gòu)最常使用的截面形式，比如柱式橋墩的墩柱和樁基礎(chǔ)。

JTG 3362-2018《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計規(guī)范》于2018年11月1日正式實(shí)施，以下簡稱“JTG 3362”。其在第5、6章中對圓形截面承載能力和裂縫驗(yàn)算的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了較大的調(diào)整。

根據(jù)條文說明JTG 3362第5.3.8條，圓形截面的承載能力計算公式盡管進(jìn)行了修改，與JTG D62-2004《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋梁設(shè)計規(guī)范》(簡稱JTG D62)相比，兩者公式推導(dǎo)的基本原理是一致的，不同的簡化處理方法，導(dǎo)致不同的表達(dá)式。

在JTG D62第6.4條中，鋼筋混凝土構(gòu)件裂縫寬度驗(yàn)算公式進(jìn)行了調(diào)整，同時在JTG D62第6.4.4條和6.4.5條中對圓形截面相關(guān)的計算公式進(jìn)行了調(diào)整。

該文對相關(guān)計算公式進(jìn)行分析研究，根據(jù)不同的計算模式將公式進(jìn)行變形，得到相應(yīng)的計算模型，采用Python語言編寫代碼加以實(shí)現(xiàn)，得到最終所需的截面承載力或配筋。

2 計算公式研究及代碼

2.1 圓形截面抗壓承載力計算公式

JTG 3362第5.3.8條，沿周邊均勻配置縱向鋼筋的圓形截面鋼筋混凝土偏心受壓構(gòu)件(圖1)，其正截面抗壓承載力計算應(yīng)符合下列規(guī)定：

(1)

(2)

式中:各參數(shù)意義詳見JTG 3362。

圖1 沿周邊均勻配筋的圓形截面

為了方便求解，避免符號沖突，將式(1)、(2)中圓形截面的面積由“A”改為“A0”。同時，令ρ=As/A0，g=rs/r，令：

(3)

由于式(3)中A、B、C、D4個參數(shù)只與參數(shù)α相關(guān)，均可表示為α的函數(shù)。這里α的意義與規(guī)范一致，對應(yīng)于受壓區(qū)混凝土截面面積的圓心角(rad)與2π的比值。為方便起見，在程序中設(shè)置了函數(shù)A(α)、B(α)、C(α)、D(α)來計算這幾個參數(shù)。

根據(jù)上述定義，式(1)、(2)可以改寫為：

γ0Nd≤Nud=(Afcd+Cfsdρ)A0

(4)

γ0Ndηe0≤Mud=(Bfcd+Dfsdρg)A0r

(5)

令:

(6)

(7)

(8)

則式(4)、(5)中的等式部分可進(jìn)一步改寫為：

nu=A+Cρr

(9)

nuer=B+Dρrg

(10)

觀察式(6)、(7)、(8)可以發(fā)現(xiàn)：nu、ρr、er均為無量綱參數(shù)，這樣式(9)、(10)所表示的圓形截面承載力公式就更具有一般性意義。

2.1.1 豎向承載力計算

對配筋已知的截面，保持豎向荷載偏心距不變，求截面最大的豎向承載力。按式(9)、(10)可描述為已知ρr、er，求nu。

由式(9)、(10)可得：

(11)

由于ρr、er均為已知，則式(11)為關(guān)于α的方程。由于方程中包含關(guān)于α的正弦函數(shù)項(xiàng)，方程無法直接求解，可以通過試算迭代的方法求解。為了確定求解算法，可以將式(11)的右邊看成關(guān)于α的函數(shù)er(α)，分別取ρr為0.30、0.60、0.90、1.20，繪制er(α)的函數(shù)曲線，如圖2所示，圖中曲線均采用Matplotlib進(jìn)行繪制。

圖2 er(α)的函數(shù)曲線

由圖2可以看出：er(α)為類似雙曲函數(shù)的曲線，有兩條漸近線er=0和α=αasym。

當(dāng)α<αasym時，er(α)<0；當(dāng)α>αasym時，er(α)>0。er(α)函數(shù)在兩段定義域內(nèi)都是單調(diào)遞減的，因此可以考慮使用二分法求解?；趀r(α)函數(shù)的特點(diǎn)，考慮到所求的er值必為正值，因此在迭代過程中需要進(jìn)行特別的處理。

JTG 3362附錄F表F.0.1(表1)中的每個數(shù)值均可以采用上述nu()函數(shù)進(jìn)行計算，將計算數(shù)值采用pandas模塊保存于F01.xlsx文件中(表2)。

與表1進(jìn)行對比，表2大部分計算值均與規(guī)范吻合，很少部分?jǐn)?shù)值誤差在萬分之一左右。

表1 JTG 3362表F.0.1

表2 抗壓承載能力nu計算值

2.1.2 彎矩承載力計算

對配筋已知的截面，保持豎向荷載不變，求截面承受的最大彎矩。按式(9)、(10)可描述為已知ρr、nu，求er。

由式(9)可知，由于ρr、nu均為已知，可以將式(9)的右邊看成關(guān)于α的函數(shù)nu(α)，分別取ρr為0.30、0.60、0.90、1.20，繪制nu(α)的函數(shù)曲線，如圖3所示。

圖3 nu(α)的函數(shù)曲線

由圖3可以看出:nu(α)函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，因此可以考慮使用二分法求解。

2.1.3 按承載力計算配筋

作用于圓形截面的軸力和彎矩已知，求截面所需的配筋。按式(9)、(10)可描述為已知nu、er，求ρr。

由式(9)、(10)可知：

(12)

將式(12)代入式(9)得：

(13)

由于er為已知，可以將式(13)的右邊看成關(guān)于α的函數(shù)nu(α)，分別取er為0.01、0.05、0.25、1.25、6.25，繪制nu(α)的函數(shù)曲線，如圖4所示。

圖4 nu(α)的函數(shù)曲線

由圖4可以看出：nu(α)的函數(shù)曲線比較復(fù)雜，局部與雙曲線類似，存在多組漸近線?？紤]nu的取值應(yīng)為正值，關(guān)注nu(α)函數(shù)曲線大于0的部分可發(fā)現(xiàn)，這部分函數(shù)都是單調(diào)遞增的，還是可以采用二分法進(jìn)行求解，遇到負(fù)值的情況需要特殊處理。

將JTG 3362表F.0.1中的nu、er代入rho_r()函數(shù)中，即可驗(yàn)證代碼執(zhí)行的正確性。經(jīng)過測試，rho_r()函數(shù)工作正常，這里不再贅述。

2.2 圓形截面裂縫寬度驗(yàn)算公式

JTG 3362第6.4.3條規(guī)定，鋼筋混凝土構(gòu)件的最大裂縫寬度應(yīng)滿足：

(14)

其中：

(15)

(16)

r1=r-2as

(17)

(18)

由于已知截面荷載及配筋，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入公式求解裂縫寬度即可。

以下討論已知截面荷載、根據(jù)給定的裂縫寬度計算截面配筋的情形。

令：

(19)

(20)

將As=ρπr2以及式(18)、(19)、(20)分別代入式(15)、(16)，整理得：

(21)

(22)

令：

(23)

將式(22)、(23)代入式(14)得：

(24)

將式(24)整理為關(guān)于ρ的方程得：

4.25βrρ3+0.68βrρ2+1.44g(1-g)ρ-4g·(1-g)C0=0

(25)

其中：

求解式(25)關(guān)于ρ的方程即可求得截面配筋率。

根據(jù)JTG 3362要求，縱向受拉鋼筋的有效配筋率ρte，當(dāng)ρte>0.1時，ρte=0.1；當(dāng)ρte<0.01時，ρte=0.01。故應(yīng)對上述計算所得的截面配筋率代入式(22)進(jìn)行驗(yàn)證。若不滿足要求，則可假定ρte=0.1或ρte=0.01，代入式(24)重新計算截面配筋率ρ，直到找到滿足條件的截面配筋率。

3 算例

以某φ200 cm的圓柱形橋墩為例，墩柱計算長度為28.5 m，基本組合Nu=12 000 kN，Mu=9 000 kN·m;頻遇組合Ns=10 000 kN,Ms=8 000 kN·m，計算該截面所需要的縱向主筋面積。墩柱采用C30混凝土，縱向主筋采用直徑28 mm的HRB400鋼筋，主筋中心到混凝土表面距離為9 cm，結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)γ0=1.0，最大裂縫寬度為0.15 mm。

裂縫寬度采用rho_()函數(shù)計算，求解方程6.114 726 8ρ3+0.978 356 3ρ2+0.117 936 0ρ-0.001 345 484=0，得ρ=0.010 445，配筋面積As=328.13 cm2，0.01<ρte=0.019 5<0.1，設(shè)計配筋采用54根直徑28 mm的鋼筋，配筋面積為332.51 cm2。按裂縫寬度計算公式對計算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)算，鋼筋應(yīng)力σss=110.6 MPa，Wcr=0.148 mm<0.15 mm，滿足要求。

4 結(jié)語

Python作為目前最受歡迎的編程語言之一，入門簡單，功能強(qiáng)大。該文采用Python實(shí)現(xiàn)了一種解決圓形截面配筋的計算方法，能夠按承載能力的相關(guān)公式計算截面的承載力及配筋，也可以按裂縫寬度驗(yàn)算的相關(guān)公式計算截面的配筋。采用Python語言實(shí)現(xiàn)的計算方法代碼簡潔易讀，還可以結(jié)合圖形實(shí)現(xiàn)算法優(yōu)化，非常方便。