龔愛(ài)愛(ài),許友軍,劉柏林

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽(yáng) 421001)

0 引 言

近些年來(lái)，脈沖微分方程的研究受到了許多學(xué)者和專(zhuān)家的關(guān)注[1-3]，同時(shí)，在許多領(lǐng)域中，如控制技術(shù)、藥物管理和生物學(xué)等的閥值中出現(xiàn)了具有時(shí)滯脈沖細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性[4-6]。文獻(xiàn)[7]研究了比例時(shí)滯混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的脈沖控制全局功率率同步問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]應(yīng)用了Lyapunov法和線性矩陣不等式(LMI)方法得時(shí)滯脈沖細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定的條件。文獻(xiàn)[9]通過(guò)非線性變換和非線性測(cè)度方法分析比例時(shí)滯CNNs。文獻(xiàn)[10]利用Lyapunov 函數(shù)和Razumikhin 技巧分析了泛函微分方程解的指數(shù)穩(wěn)定性。

本文通過(guò)構(gòu)造合適的Lyapunov 函數(shù)和Razumikhin 技巧研究了系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定性，并獲得了該系統(tǒng)平衡點(diǎn)全局指數(shù)穩(wěn)定性的一個(gè)時(shí)滯依賴(lài)的充分條件。

1 模型描述和預(yù)備知識(shí)

研究如下比例時(shí)滯脈沖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

(1)

在系統(tǒng)(1)中，假設(shè)滿(mǎn)足下列條件：

A1：存在常數(shù)Li>0，使得|Fi(u)-Fi(v)|≤Li|u-v|，其中u,v∈R，i=1,2,…,n。

A2：系統(tǒng)(1)存在唯一的平衡點(diǎn)y*。

(2)

定義2 設(shè)函數(shù)V:[t0,∞)×Rn→R+，若V(t,x)滿(mǎn)足:

(ii)在x∈Rn上，V(t,x)是局部Lipschitz的，對(duì)于任意的t≥t0滿(mǎn)足V(t,0)≡0；則函數(shù)V∈v0。

定義3 設(shè)函數(shù)V∈v0，V的Dini導(dǎo)數(shù)定義為：

定義4 對(duì)于任意初始值xt0=ψ，存在常數(shù)λ≥0,M≥1，使得：

‖x(t,t0,ψ)‖≤M‖ψ‖e-λ(t-t0),t≥t0,

則稱(chēng)系統(tǒng)(2)的平凡解是指數(shù)穩(wěn)定的。

2 穩(wěn)定性分析

定理1 假設(shè)存在函數(shù)V∈v0，p、c1、c2、λ為大于0的常數(shù)，c2>c1，k=1,2,…,n。滿(mǎn)足下列條件：

(i)c1‖x(t)‖≤V(t,x(t))≤c2‖x(t)‖;

則系統(tǒng)(2)的平凡解是指數(shù)穩(wěn)定的。

證明：設(shè)x(t)=x(t,t0,ψ)為系統(tǒng)(2)的解，V(t)=V(t,x)，下面要證明：

V(t)≤c2‖ψ‖e-λ(t-t0)，t∈[tk-1,tk)其中k=1,2,…,n。

當(dāng)t∈[qt0,t0]時(shí)，由條件(i)得，

V(t)-c2‖ψ‖e-λ(t-t0)≤V(t)-c2‖ψ‖≤0。

建立Q(t)=V(t)-c2‖ψ‖e-λ(t-t0)，t∈[tk-1,tk)其中k=1,2,…,n,只需要證明當(dāng)t≥t0時(shí)，Q(t)≤0。

當(dāng)t∈[t0,t1)時(shí)，假設(shè)Q(t)≤0不成立，則存在t∈[t0,t1)使得Q(t)>0，又因?yàn)楫?dāng)t=t0時(shí)Q(t0)≤0，Q(t)連續(xù)，所以存在t*=inf{t∈[t0,t1]:Q(t)>0}使得Q(t*)=0,D+Q(t*)>0，故有Q(t)≤0,t∈[qt0,t*]，

當(dāng)t=t*時(shí)，V(t)滿(mǎn)足下列等式：

V(t*)=Q(t*)+c2‖ψ‖e-λ(t*-t0)；

所以當(dāng)t=qt*時(shí)可得出：

由條件(ii)得，D+V(t*)≤-h(t*)V(t*) ，可得Q(t)在t=t*處的倒數(shù)：

與D+Q(t*)>0相矛盾，因此Q(t)≤0,t∈[t0,t1)。假設(shè)當(dāng)t∈[t0,tm),m≥1時(shí)，Q(t)≤0，接下來(lái)證明當(dāng)t∈[t0,tm+1),m≥1時(shí)，Q(t)≤0。

由條件(iii)可得出：

接下來(lái)證明當(dāng)t∈(tm,tm+1)時(shí)，Q(t)≤0；假設(shè)該不等式不成立，由Q(tm)≤0和Q(t)的連續(xù)性可知存在t*=inf{t∈[tm,tm+1]:Q(t)>0}使得Q(t*)=0和Q(t)≤0,t∈[t0,t*]。

因?yàn)閂(t*)=Q(t*)+c2‖ψ‖e-λ(t*-t0)，

即可得出：

由條件(ii)得，D+V(t*)≤-h(t*)V(t*)，則有：

與假設(shè)矛盾，因此Q(t)≤0，t∈(tm,tm+1)。由歸納法可知Q(t)≤0，t≥t0。

即得出：

V(t)≤c2‖ψ‖e-λ(t-t0)，t∈[tk-1,tk)其中k=1,2,…,n。

由條件(i)，得c1‖x‖≤V(t)≤c2‖ψ‖e-λ(t-t0)，所以有‖x‖≤M‖ψ‖e-λ(t-t0),t≥t0，其中M=(c1/c2)≥1，因此系統(tǒng)(2)的平凡解是指數(shù)穩(wěn)定的，也就是說(shuō)，系統(tǒng)(1)中的平衡點(diǎn)也是指數(shù)穩(wěn)定的，收斂指數(shù)為λ。