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        放入式電子測壓器應(yīng)用環(huán)境下動態(tài)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)擬合方法研究

        2021-05-13 05:24:28趙彥凱裴東興石壘張瑜
        關(guān)鍵詞:壓器因變量乘法

        趙彥凱,裴東興,石壘,張瑜

        (1.中北大學(xué) 電子測試技術(shù)國家重點(diǎn)實驗室,山西 太原 030051;2.北京航天控制儀器研究所,北京 100039)

        膛壓作為各類兵器研制和驗收的一項重要性能參數(shù),對其進(jìn)行精確測量一直是改進(jìn)高膛壓火炮發(fā)射技術(shù)[1]不可或缺的步驟。放入式電子測壓器作為一種新型的膛壓測試儀器[2],它有著銅柱測壓器[3]可重復(fù)使用、避免在武器身管打孔的特點(diǎn);又有導(dǎo)線電測儀器精度高和能記錄p-t曲線的特點(diǎn),是火炮膛壓測試非常理想的測試儀器。在膛壓測試的過程中,需要將放入式電子測壓器與發(fā)射藥一起放置到炮彈的藥筒內(nèi),在發(fā)射藥燃燒的高溫、高壓、高沖擊環(huán)境中直接測量膛壓信號??紤]到火炮膛內(nèi)較為惡劣的工作環(huán)境,實驗室條件下的靜態(tài)標(biāo)定設(shè)備無法滿足儀器的校準(zhǔn)需求,所以設(shè)計了一種在應(yīng)用環(huán)境下的動態(tài)校準(zhǔn)系統(tǒng),該系統(tǒng)可以模擬膛內(nèi)惡劣的工作環(huán)境,是現(xiàn)階段最理想的校準(zhǔn)方法。

        在校準(zhǔn)中,需要求取放入式電子測壓器的靈敏度函數(shù),即對校準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合。這里分別采用普通最小二乘法(LS)和整體最小二乘法(TLS)進(jìn)行線性擬合。最小二乘法經(jīng)歷了長時間的發(fā)展和應(yīng)用,已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于諸多工程與試驗中,該擬合方法能夠使觀測值與擬合直線的y值之差的平方和最小,是一種非常實用的線性擬合方法。而整體最小二乘法作為一種新的擬合方法可以同時考慮到自變量與因變量的誤差[4],不會因變量選取不同而產(chǎn)生不同的擬合結(jié)果,所以在滿足一定的使用條件[5]下可以獲得更佳的擬合效果。筆者將結(jié)合放入式電子測壓器在應(yīng)用環(huán)境下動態(tài)校準(zhǔn)實驗,對兩種線性擬合方法進(jìn)行比較,并通過實驗與擬合結(jié)果來闡述二者的差異。

        1 模擬膛壓校準(zhǔn)系統(tǒng)

        1.1 校準(zhǔn)系統(tǒng)的組成及工作原理

        模擬膛壓校準(zhǔn)系統(tǒng)的設(shè)計目的是為了模擬出與火炮身管內(nèi)盡可能相似的工作環(huán)境,用該系統(tǒng)檢測放入式電子測壓器的動態(tài)特性與綜合性能指標(biāo),整個校準(zhǔn)系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中,3支已被校準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)壓力傳感器安裝在整個裝置的底端[6],與被校測壓器相對放置。在校準(zhǔn)時,根據(jù)不同的需求,往發(fā)生器中加入特定量的火藥,并使用點(diǎn)火裝置點(diǎn)燃發(fā)生器中的火藥,在這個類似火炮發(fā)射的過程中,身管內(nèi)產(chǎn)生的高壓通過傳壓孔同時施加在3支標(biāo)準(zhǔn)壓力傳感器和被校測壓器上,再由特定的計算機(jī)讀出存儲在數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)中的壓力信號。最后將計算機(jī)中的3組標(biāo)準(zhǔn)測壓器數(shù)據(jù)與被校測壓器數(shù)據(jù)分別進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。

        1.2 校準(zhǔn)試驗的數(shù)據(jù)處理

        校準(zhǔn)過程采用膛壓曲線上升沿的校準(zhǔn)方法。選取測壓器滿量程的95%~100%的壓力值作為校準(zhǔn)壓力峰值,分別在高溫(55℃)、常溫(25℃)、低溫(-40℃)的環(huán)境下反復(fù)進(jìn)行多次校準(zhǔn)實驗,獲取3種不同溫度環(huán)境下的有效校準(zhǔn)數(shù)據(jù)。以3支標(biāo)準(zhǔn)壓力傳感器的融合壓力曲線[7]為基準(zhǔn),將標(biāo)準(zhǔn)測壓系統(tǒng)的融合壓力曲線與被校測壓器壓力曲線畫在同一個直角坐標(biāo)系下,逐點(diǎn)平移被校測壓器曲線,當(dāng)二者相關(guān)性系數(shù)滿足要求后停止平移;并選取壓力曲線上升沿部分的30%~80%,在這特定的范圍內(nèi)抽取n組數(shù)據(jù)對作為擬合樣本,用整體最小二乘法對n組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合,擬合結(jié)果為測壓器在該溫度條件下的工作特性方程:

        y=kx+b,

        (1)

        式中:y為壓力值,MPa;k是測壓器靈敏度系數(shù),MPa/bit;x為某點(diǎn)的bit值;b為截距,MPa.

        2 兩種線性擬合方法的對比

        2.1 普通最小二乘法線性擬合

        直線方程可表示為

        yi=kxi+b,i=1,2,…,n,

        (2)

        式中:(xi,yi)為觀測點(diǎn)坐標(biāo);k、b為待估計參數(shù)。

        誤差方程矩陣表達(dá)式為

        BδX=l+V,

        (3)

        式中:δX為待估參數(shù)矩陣;B為δX系數(shù)矩陣;l為觀測向量;V為誤差向量。按照最小二乘法的準(zhǔn)則

        其最小二乘解為

        (4)

        因變量殘差為

        (5)

        單位權(quán)中誤差為

        (6)

        2.2 整體最小二乘法線性擬合

        2.2.1 整體最小二乘法解算方法

        整體最小二乘擬合法能同時考慮到兩種變量的誤差,直線條件方程可描述為

        (7)

        由EIV模型,誤差方程可表示為

        (B+EB)δX=l+El,

        (8)

        式中:δX為待估參數(shù)矩陣;EB和El分別表示新構(gòu)造的系數(shù)矩陣B和觀測向量l的誤差。令

        B=[B1B2],

        (9)

        式中:B1=[1,1,…,1]T;B2=[x1,x2,…,xn]T.

        構(gòu)造增廣矩陣:

        A=[Bl],

        (10)

        并對增廣矩陣A進(jìn)行QR分解,其中

        (11)

        可將方程分為兩部分:

        (12)

        (13)

        式中,R11,R12,R1l均為標(biāo)量。

        AR=[R22R2l].

        (14)

        對AR矩陣進(jìn)行奇異值分解:

        AR=UΣNT,

        (15)

        式中:U=[U1U2…Un-1],其中U1,U2,…,Un-1均為(n-1)×1矩陣;N=[N1N2],N1、N2均為2×1矩陣;Σ=diag(σ1,σ2),σ1>σ2.

        (16)

        (17)

        2.2.2 整體最小二乘法擬合精度評定

        最小二乘法與整體最小二乘法數(shù)據(jù)擬合的幾何特性差異如圖2所示,在誤差方程(B+EB)δX=l+El中,EB是數(shù)字量的改正數(shù),El是壓力值的改正數(shù)。整體最小二乘法在坐標(biāo)系x和y方向上的改正數(shù)為vxi、vyi,正交方向上的改正數(shù)為vsi[8].這里用正交方向的改正量來計算擬合結(jié)果的單位權(quán)中誤差。

        增廣矩陣AR的改正量為

        (18)

        R的改正量為

        (19)

        由此可計算系數(shù)矩陣B和觀測向量l的改正數(shù),

        [EBEl]=[EB1EB2El]=QTER.

        (20)

        則x方向,y方向的殘差為

        (21)

        正交距離殘差為

        (22)

        單位權(quán)中誤差為

        (23)

        在自變量與因變量的誤差影響都無法忽略時,整體最小二乘擬合法的數(shù)學(xué)模型可以同時顧及坐標(biāo)系中x方向和y方向上的誤差,而且從x方向或y方向的改正量和正交距離殘差的改正數(shù)來看,都要比最小二乘法的殘差改正數(shù)小,所以單位權(quán)中誤差的計算值要優(yōu)于最小二乘法的計算值[9]。

        3 校準(zhǔn)實驗分析與擬合結(jié)果對比

        選取常溫下1#被校電子測壓器環(huán)境適應(yīng)性校準(zhǔn)實驗數(shù)據(jù),分別采用最小二乘法、整體最小二乘法進(jìn)行線性擬合,主要從誤差模型、單位權(quán)中誤差等幾個方面對各自的擬合結(jié)果進(jìn)行對比[10],擬合結(jié)果為1#被校測壓器在常溫狀態(tài)下的靈敏度函數(shù)(工作特性方程[11])。校準(zhǔn)實驗具體測量數(shù)據(jù)如表1所示,Matlab計算結(jié)果如表2所示。

        表1 1#電子測壓器系統(tǒng)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)

        表2 1#電子測壓器擬合結(jié)果對比

        由表2中單位權(quán)中誤差的計算結(jié)果可知,整體最小二乘法比普通最小二乘法有著更佳的擬合效果,這是因為擬合時同時考慮了自變量與因變量的誤差。但是在傳感器的校準(zhǔn)實驗中,校準(zhǔn)是將標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)所復(fù)現(xiàn)的壓力標(biāo)準(zhǔn)量值賦予被校準(zhǔn)的電子測壓器相應(yīng)的示值,其中示值是自變量(x軸),壓力標(biāo)準(zhǔn)量值是因變量(y軸),并且自變量與因變量有著固定的對應(yīng)關(guān)系。在該情況下,因變量的誤差是可以忽略的,也就是說擬合的真值為校準(zhǔn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的因變量(壓力標(biāo)準(zhǔn)量值)。所以在擬合直線時應(yīng)確保真值與擬合直線的y值之差的平方和最小。而擬合直線上的y值與真值之間差值的平方和,才應(yīng)該用作計算整體最小二乘法的單位權(quán)中誤差。

        表2中整體最小二乘法的單位權(quán)中誤差為8.140 54,是將壓力標(biāo)準(zhǔn)值作為參考值的計算結(jié)果。當(dāng)把壓力標(biāo)準(zhǔn)值作為真值時,其單位權(quán)中誤差為8.237 10.以此類推,對多組放入式電子測壓器校準(zhǔn)數(shù)據(jù)用普通最小二乘法和整體最小二乘法進(jìn)行線性擬合,并同時計算出標(biāo)準(zhǔn)值為真值時TLS的單位權(quán)中誤差,進(jìn)行綜合比較,匯總結(jié)果如表3所示。

        表3 普通最小二乘法(LS)與整體最小二乘法(TLS)擬合對比匯總表

        由表3的匯總結(jié)果可知,在傳感器的校準(zhǔn)工作中,當(dāng)測量標(biāo)準(zhǔn)能夠給出所校物理參量的真值時,普通最小二乘法單位權(quán)中誤差的計算值要小于整體最小二乘法單位權(quán)中誤差的計算值。這是因為從算法上來看,普通最小二乘法的真值在因變量上,而整體最小二乘法的真值在其擬合直線上。由于普通最小二乘法可以實現(xiàn)在一個方向的擬合效果最佳,所以對于放入式電子測壓器的校準(zhǔn)工作還是最為適用的。

        4 結(jié)束語

        筆者結(jié)合放入式電子測壓器在應(yīng)用環(huán)境下的校準(zhǔn)工作分別對普通最小二乘法(LS)和整體最小二乘法(TLS)的線性擬合效果進(jìn)行了對比,并同時對傳感器校準(zhǔn)工作的特殊性進(jìn)行了分析。需要注意的是,由于放入式電子測壓器校準(zhǔn)實驗本身的特殊性,在該過程中使用普通最小二乘法(LS)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合更加合理。只有在無法忽略自變量和因變量誤差的前提下,采用整體最小二乘法(TLS)進(jìn)行直線擬合有望獲得更好的擬合效果。

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