陸一帆，楊錦鈴，洪壯，陳震，陳素芳

（東南大學(xué)成賢學(xué)院，江蘇 南京210088）

0 引言

連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化指基于相應(yīng)的外力以及限制條件下， 尋找到擁有最優(yōu)傳力路徑的結(jié)構(gòu)布局。 根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性、頻率、尺寸和允許離散集等各種約束條件以及結(jié)構(gòu)的類型、形式和工作條件，構(gòu)建出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型、目標(biāo)函數(shù)、約束條件等，通過優(yōu)化設(shè)計(jì)理論和方法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解,即進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析、優(yōu)化設(shè)計(jì),以獲得最佳的靜力或動(dòng)力等性態(tài)特征。 橋梁結(jié)構(gòu)屬于空間稀疏分布的結(jié)構(gòu)， 特別適合于拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)找到結(jié)構(gòu)。

1 拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

變密度法是工程領(lǐng)域中普遍應(yīng)用的連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法之一。 該方法將每個(gè)單元的相對(duì)密度當(dāng)做設(shè)計(jì)變量， 其常見的插值模型包括Hashinshtrikman 模型、 固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)模型(SIMP）和材料屬性的有理近似模型等。

SIMP 材料插值數(shù)學(xué)模型表達(dá)式如式（1）所示。

在基于SIMP 材料插值模型的變密度法中，通常以結(jié)構(gòu)響應(yīng)量最小化或最大化為目標(biāo)，設(shè)定體積比約束。 站在靜力優(yōu)化的層面上，將結(jié)構(gòu)合規(guī)最?。ɑ騽偠茸畲蠡?、 應(yīng)變能量最小） 作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，將結(jié)構(gòu)體積比約束作為優(yōu)化約束函數(shù)。 剛性優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型如式（2）所示：

式中：C 為柔順度值，K、U、F 分別表示總剛度陣、位移列陣、荷載列陣，V0和V 分別表示初結(jié)構(gòu)和優(yōu)化后結(jié)構(gòu)體積，f 是體積比。ρmin是拓?fù)渥兞康南孪?，用于避免有限元分析的奇異性，通長取ρmin=10-3。

在拓?fù)鋬?yōu)化的求解中，通常要求結(jié)構(gòu)對(duì)單位密度變量影響的靈敏度值，其靈敏度如式（3）所示：

由公式（3）可知，由于單元應(yīng)變能具有非負(fù)性，故而柔度靈敏度恒為負(fù)， 其對(duì)應(yīng)的物理意義也很明顯，即刪除任意單元，均會(huì)增大結(jié)構(gòu)的柔順度值。

連續(xù)拓?fù)鋬?yōu)化和離散拓?fù)鋬?yōu)化實(shí)際上均通過有限元方法所決定。 連續(xù)介質(zhì)拓?fù)鋬?yōu)化是將優(yōu)化空間中的材料離散化為有限目的單元（殼單元或體積單元），并根據(jù)算法確定單元設(shè)計(jì)空間內(nèi)的去除或保持。 其余單元構(gòu)成最終的拓?fù)潴w系以實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化。

2 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化過程

運(yùn)用拓?fù)鋬?yōu)化進(jìn)行結(jié)構(gòu)找型時(shí)，首先需要定義設(shè)計(jì)域的范圍，一般采用長方形(或長方體)來限制結(jié)構(gòu)材料可能出現(xiàn)的位置，并將其離散為可用于結(jié)構(gòu)分析的有限元模型。 單元應(yīng)在計(jì)算能力允許的條件下盡可能劃分得小一些，以便得出精細(xì)的優(yōu)化結(jié)果。 其次，需要按照實(shí)際結(jié)構(gòu)情況對(duì)優(yōu)化模型施加相應(yīng)的荷載與約束條件。 然后，定義拓?fù)鋬?yōu)化過程中所需的優(yōu)化參數(shù)，包括保留材料的比例、過濾函數(shù)半徑、收斂準(zhǔn)則的網(wǎng)值等。 最后，采用優(yōu)化算法對(duì)該模型進(jìn)行優(yōu)化。

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題中結(jié)構(gòu)響應(yīng)與設(shè)計(jì)變量之間一般是非線性的隱式關(guān)系，所以采用非線性優(yōu)化算法時(shí)需要通過多個(gè)迭代步對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行逐步更新，以使其逐漸達(dá)到最優(yōu)設(shè)計(jì)。

3 算例

下面三個(gè)例子主要用來反映拓?fù)鋬?yōu)化的科學(xué)性與有效性。 基于拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型，采用有限元分析軟件MSC Patran /NASTRAN 進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化分析。 優(yōu)化分析分為以下步驟：選擇單元類型和材料特性；建立模型并確定優(yōu)化和非優(yōu)化區(qū)域；定義和控制荷載條件；界分并且管控優(yōu)化過程；對(duì)分析進(jìn)行優(yōu)化。 以懸臂梁、拱橋和懸索橋?yàn)槔?，?duì)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化實(shí)施了詳細(xì)而深入的分析。

3.1 懸臂梁拓?fù)鋬?yōu)化

懸臂結(jié)構(gòu)是指一端為固定支撐，無軸向、垂直位移和轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端為自由端的梁（可產(chǎn)生平行于或垂直于軸線的力）。 它是工程力學(xué)分析中一種典型的簡(jiǎn)化模型。 在實(shí)際工程分析中，大多數(shù)受力構(gòu)件都可以簡(jiǎn)化為懸臂梁。

首先創(chuàng)建48 mm×30 mm×4 mm 的短懸臂梁拓?fù)鋬?yōu)化所需的有限元模型，材料參數(shù)滿足：彈性模量 E=2.1×105MPa， 泊松比 v=0.3， 使用參數(shù) Global Edge Length=1.0，對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)劃分，生成5 760 個(gè)實(shí)體單元。 懸臂梁左端固定約束，右下角點(diǎn)受到垂直向下單位荷載作用，其有限元模型如圖1 所示。

圖1 短懸臂梁初始設(shè)計(jì)區(qū)域有限元模型

經(jīng)有限元拓?fù)鋬?yōu)化分析，獲得懸臂梁的合理結(jié)構(gòu)模型，如圖2 所示。

圖2 懸臂梁模型的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

3.2 拱式橋梁拓?fù)鋬?yōu)化

拱橋作為一種古老的橋型，以其跨度大、承載力高、經(jīng)濟(jì)成本低、養(yǎng)護(hù)成本低、造型美觀等獨(dú)特的技術(shù)優(yōu)勢(shì)成為歷史悠久、競(jìng)爭(zhēng)力較強(qiáng)、發(fā)展?jié)摿^大的一種橋梁形式。

首先創(chuàng)建一個(gè) 42 mm×21 mm×7 mm 的梁模型，材料彈性模量為2.1×105MPa，泊松比為0.3，使用參數(shù)Global Edge Length=1.0， 對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)劃分，生成5 760 個(gè)實(shí)體單元。邊界條件為下部?jī)啥斯潭?，所受荷載為均布荷載，分別施加在最上層、中間層、最下層。 其拓?fù)鋬?yōu)化分析結(jié)果如圖3～5 所示。

圖3 上承式橋梁拓?fù)鋬?yōu)化模型

圖4 中承式橋梁拓?fù)鋬?yōu)化模型

圖5 下承式橋梁拓?fù)鋬?yōu)化模型

3.3 上承式懸?guī)蛲負(fù)鋬?yōu)化

工程中，還有一種類似上承式的橋梁——上承式懸?guī)颉?基于該橋梁工程所受荷載情況，采用有限元分析軟件進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化分析，也可得到其優(yōu)化模型[1]，如圖 6 所示。

圖6 頂承式懸索橋拓?fù)鋬?yōu)化模型

4 基于拓?fù)鋬?yōu)化的結(jié)構(gòu)模型設(shè)計(jì)

基于上述橋梁結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化分析結(jié)果，下面以拱式橋梁（上承式、中承式、下承式）為例，進(jìn)行模型初步概念優(yōu)化設(shè)計(jì)。

（1）上承式拱形結(jié)構(gòu)，如圖7 所示。

（2）中承式拱形結(jié)構(gòu)，如圖8 所示。

（3）下承式拱形結(jié)構(gòu)，如圖9 所示。

圖7 上承式橋梁拓?fù)鋬?yōu)化模型

圖8 中承式橋梁拓?fù)鋬?yōu)化模型

圖9 下承式橋梁拓?fù)鋬?yōu)化模型

5 結(jié)語

文章采用 SIMP 拓?fù)鋬?yōu)化方法， 利用 MSC.Patran/Nastran 有限元軟件， 建立了懸臂式橋梁模型、拱式橋梁模型（上承式、中承式、下承式）和上懸式懸?guī)蚰Ｐ屯負(fù)鋬?yōu)化模型，并對(duì)這幾種橋梁模型進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化分析，得到了優(yōu)化后貼近實(shí)際工程應(yīng)用的橋梁模型， 最后通過CAD 將優(yōu)化過后的模型進(jìn)行初步概念化設(shè)計(jì)，并繪制出模型，得到了橋梁設(shè)計(jì)初始階段的結(jié)構(gòu)模型[2]。

對(duì)于實(shí)際橋梁， 應(yīng)充分考慮初始條件和邊界條件， 以保證拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)能夠更加科學(xué)合理的應(yīng)用于實(shí)際工程領(lǐng)域中。 文章給出幾種橋梁拓?fù)鋬?yōu)化的模型可為后續(xù)的結(jié)構(gòu)詳細(xì)設(shè)計(jì)打下基礎(chǔ)，提供方向。