羅 帥 蘇 睿

(紹興文理學院 土木工程學院,浙江 紹興 312000)

0 引言

隨著科學技術不斷地進步,工程建筑也趨于復雜.在設計這類復雜工程建筑時,需要綜合考慮如何提高結構的力學性能、提升材料的利用效率以及降低工程中的各類成本等.因此,優(yōu)化設計便在設計領域占據(jù)重要的地位.目前優(yōu)化設計主要有三種優(yōu)化層次[1]:尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化與拓撲優(yōu)化,三種優(yōu)化形式又對應三個不同的設計階段.尺寸優(yōu)化與形狀優(yōu)化在面對大型復雜結構時,有設計周期長,優(yōu)化效果不明顯等缺點,因此難以保證在限定的時間里得到滿意的設計結果[2].拓撲優(yōu)化是最近幾十年快速發(fā)展的一種新型結構優(yōu)化方法[3].作為一種概念性優(yōu)化方法,其優(yōu)點是設計思路靈活,設計空間廣闊.按結構類型可分為離散體結構的拓撲優(yōu)化和連續(xù)體結構的拓撲優(yōu)化[4].隨著科研工作者的深入研究,均勻化法[5]、變密度法[6]、水平集法[7]、進化結構優(yōu)化法[8]等方法相繼被提出.

在傳統(tǒng)的拓撲優(yōu)化方法中,類似于尺寸、荷載等需要優(yōu)化的參數(shù)一般設計為固定值,而且建立的優(yōu)化模型一般是二維模型.但在實際工程中,這類參數(shù)可能是屬于非正態(tài)分布的隨機變量,需要優(yōu)化的模型一般是三維空間模型.本文基于非正態(tài)分布的三維連續(xù)體結構拓撲優(yōu)化研究,是將結構可靠性理論引入三維結構的拓撲優(yōu)化中[9].將結構的可靠度作為優(yōu)化模型的一個約束條件,得到同時滿足結構可靠性和結構性能最優(yōu)的拓撲優(yōu)化結果[10].該方法不但可以有效地提高相關人員的工作效率,還可以減少各類生產(chǎn)成本,因此應用愈來愈廣,也成為越來越多學者的主要研究內(nèi)容.Kharmanda將可靠性理論引入拓撲優(yōu)化設計中[11],提出一種可以使優(yōu)化結構滿足可靠度要求的拓撲優(yōu)化方法(Reliability-Based Topology Optimization,簡稱RBTO).Meysam Johari[12]使用一階和二階可靠性分析對橋梁結構進行可靠度優(yōu)化,探究結構柔度與不確定參數(shù)數(shù)量的關系. Aditya[13]等將隨機矩陣理論(RMT)與RBTO結合,量化了不確定性并極大地提高可靠度計算的效率.Suwin提出一種基于模糊集方法對多目標可靠度的結構拓撲優(yōu)化方法,滿足結構的質量與強度設計要求[14].

本文選擇將優(yōu)化模型的幾何尺寸和荷載作為非正態(tài)分布的隨機變量,應用當量正態(tài)化法 (又稱JC法,實際為當量正態(tài)化條件下的驗算點法)[15],首先將非正態(tài)分布的隨機變量轉化成正態(tài)分布的隨機變量,再根據(jù)當量正態(tài)化條件,得到當量正態(tài)化變量的均值和標準差,進而得到優(yōu)化后的幾何尺寸以及荷載[16].在此基礎上, 基于變密度法,結合有限元分析,建立八節(jié)點六面體單元連續(xù)體結構優(yōu)化模型.使用SIMP法[17]對優(yōu)化模型進行插值處理,再以結構體積作為約束條件且以柔度最小化為目標進行拓撲優(yōu)化工作,并展現(xiàn)優(yōu)化成果.這種優(yōu)化方法將可靠度優(yōu)化與拓撲優(yōu)化分開進行計算,兩個部分單獨進行循環(huán),這可以有效增加計算效率,避免了兩種優(yōu)化的耦合影響計算速度.通過三維模型結構的算例證明該方法比傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化方法優(yōu)化效果更好,結構更輕,更具有實際工程意義.

1 可靠度分析

1.1 基本概念

傳統(tǒng)的設計方案是設計人員結合自身的設計經(jīng)驗確定設計參數(shù)及區(qū)間,再按需要不斷調(diào)整設計方案,直到其各類參數(shù)均滿足設計要求.這就導致在變量復雜時,例如在結構幾何尺寸和荷載的大小可變的情況下,優(yōu)化結構的可靠性可能不符合預期,影響優(yōu)化質量.當設計參數(shù)含有非正態(tài)分布隨機變量時,如何使結構的拓撲優(yōu)化結果有足夠的可靠度就是當前設計人員主要研究的問題.在RBTO模型里,將變量的類型分成了三種：一是設計變量X,它是固定值;二是隨機變量Y,它用來表示一些由概率分布的不確定變量；三是標準變量u,用來連接設計變量和隨機變量.

在可靠度分析中,由設計變量X和隨機變量Y表示的功能函數(shù)(或失效函數(shù))為[10]：

Z=G(X,Y)

(1)

如圖1所示,當Z>0時,結構為安全狀態(tài),當Z<0時,結構為失效狀態(tài),當Z=0時,結構處于極限狀態(tài).

結構無法達到預期設計性能的概率稱為失效概率,用Pf表示,由失效概率的實際意義可知：

(2)

其中Pr(·)表示概率,fz(z)為概率密度函數(shù).

圖1 功能函數(shù)Z及可靠指標的幾何意義

設隨機變量Y=(Y1,Y2,…，Yn)T,n為隨機變量的個數(shù),那么聯(lián)合概率密度函數(shù)為fY(y)=fY(y1,y2,…,yn),則結構的失效概率為：

(3)

但實際工程中,隨機變量Y可能不是服從正態(tài)分布的,且聯(lián)合概率密度函數(shù)也很難求解,直接計算多重積分更是繁瑣復雜.因此引入可靠性指標β(如圖1所示),β是一個無量綱數(shù),失效概率可以表示為[18]：

Pf=Φ(-β)=1-Φ

(4)

通過式(4)便可快速得到滿足工程精度要求的失效概率的近似值.

1.2 可靠度的一次二階矩方法

為了得到可靠指標β的近似結果,可以將非線性功能函數(shù)Z按Taylor級數(shù)展開并取一次項,這就有一次二階矩(FORM)法,在有非正態(tài)分布的隨機變量時,可以通過當量正態(tài)化法將其轉化為正態(tài)分布的隨機變量,再利用驗算點法便可得到可靠性指標β.

如圖1所示,β的幾何意義就是在標準空間內(nèi),從原點到極限狀態(tài)面的最短距離.則求解β便可轉化成用標準變量u求解以下最優(yōu)化問題：

(5)

式(5)中,βt為給定的可靠度.

(6)

(7)

對式(6)求反函數(shù)得:

(8)

由式(7)解得:

(9)

由式(8)和式(9)便可得變量在當量正態(tài)化后的均值與標準差.

2 優(yōu)化設計

2.1 變密度法

變密度法是一種常用的連續(xù)體拓撲優(yōu)化建模方法,它實際上是在均勻化方法的基礎上改進而來.變密度法的核心思想是讓其材料單元的相對密度在閉區(qū)間[0,1]內(nèi)變化,單元密度為0時優(yōu)化為可以刪除的孔洞單元,單元密度為1時優(yōu)化為必須保留的實體單元[19].但這就會存在相對密度在開區(qū)間(0,1)內(nèi)的單元,這樣的單元很難直接判斷是保留還是刪除,因此Sigmund等提出了一種插值函數(shù)模型—固體各向同性材料懲罰模型(Solid Isotropic Microstructures with Penalization, SIMP)[20]用以減少在優(yōu)化過程中出現(xiàn)的中間密度單元.

在SIMP模型中,經(jīng)過插值函數(shù)優(yōu)化的數(shù)學模型可以表示為：

(10)

式中,E(x)為經(jīng)過插值函數(shù)優(yōu)化后的材料的彈性模量,Emin近似表示為空白的單元的彈性模量,ρx代表第x個單元的相對密度,ρ為懲罰因子,ΔE=E0-Emin為相對密度表現(xiàn)為“1”的實體單元與相對密度表現(xiàn)為“0”的孔洞單元的彈性模量的差,通常取Emin=E/1000.

進而可得SIMP模型的剛度矩陣、柔度函數(shù)和靈敏度函數(shù)為[21]：

(11)

(12)

(13)

式(11)-式(13)中,K(ρ)為整體剛度矩陣,Kx表示第x個單元剛度矩陣除以其彈性模量得到的“單元”剛度陣.U為結構的位移向量,ρ表示設計變量,N為單元數(shù)目,C為結構的柔度,C′為靈敏度.

2.2 優(yōu)化模型建立

2.2.1 拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

基于變密度法,以三維連續(xù)體結構的體積作為約束,以結構柔度最小化為目標的拓撲優(yōu)化模型描述如下[22]：

Find:X={x1,x2,x3,…,xn}T∈Ω

(14)

F=KU

0

式中,C為結構的柔度,F為結構的力向量,U為結構的位移向量,xi為材料單元的相對密度,ui為材料單元的位移列向量,k0為材料密度為“1”的單元剛度矩陣,V(x)為材料體積,V0為設計體積,Vol為結構的容積率,xmin為最小材料單元密度,通常取為0.001.

建立模型后，使用優(yōu)化準則法(Optimality Criterion,OC)求解式(14)的結構柔度最小問題,迭代計算后得出優(yōu)化結果.

2.2.2 可靠度優(yōu)化模型

在式(14)的拓撲優(yōu)化模型中,并沒有把可靠度指標考慮進去,這種優(yōu)化方式在實際工程中難以應用,而且可能導致優(yōu)化結果的可靠度不足.因此在可靠度拓撲優(yōu)化模型中,需要將可靠度加入目標函數(shù),即把式(5)引入式(14)可得：

Find:X={x1,x2,x3,…,xn}T∈Ω

Subjectto:β(u)≥βt

(15)

F=KU

0

對于此模型,在設計的參數(shù)中,要求先對非正態(tài)分布的隨機變量進行當量正態(tài)化,變成正態(tài)分布的隨機變量,然后利用β的幾何意義迭代得到滿足可靠度要求的隨機變量.再繼續(xù)用式(15)進行優(yōu)化工作.這樣的好處是可靠度優(yōu)化和拓撲優(yōu)化的分開進行,避免了兩種優(yōu)化耦合性影響計算速度.

3 計算結果與比較

3.1 算例一

懸臂梁給定的初始設計區(qū)域如圖2所示,彈性模量E,泊松比μ,右下角有垂直向下的拉力F.

圖2 懸臂梁初始設計域

懸臂梁的荷載F、外形尺寸及結構容積率Vol為非正態(tài)分布隨機變量,它們的參數(shù)如表1所示.

表1 懸臂梁及帶孔懸臂梁的幾何參數(shù)

傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化的設計參數(shù)為定值,因此按表1的均值計算,優(yōu)化結果如圖3(a)所示,考慮可靠度指標β=3.8(失效概率為2.9195×10-4)的拓撲優(yōu)化結果如圖3(b)所示.

(a)傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化結果

(b)基于可靠度的優(yōu)化結果

從圖3中可以看出,結構的兩種優(yōu)化結果有很大區(qū)別,經(jīng)過可靠度優(yōu)化后的結構內(nèi)部支撐分布更加合理,用料更加經(jīng)濟.在滿足預定的結構性能要求的情況下,傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化結構的體積為2 675 mm3,基于可靠度設計的結構體積僅為1 568 mm3,這表示考慮可靠度后的拓撲結構自重只有原來的60%,這不僅減少材料用量,還可以極大地降低生產(chǎn)成本.

3.2 算例二

在工程設計中,有時需要在結構上預留一些孔洞,因此在算例一的基礎上,如圖4(a)所示在懸臂梁的(3/X,2/Y,0)處預留一個直徑為3/Y,厚度為Z的圓柱形孔洞,其余參數(shù)見表1,優(yōu)化結果如圖4(b)、4(c)所示:

(a)初始設計域

(b)傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化結果

(c)基于可靠度的優(yōu)化結果

在圖4(b)所示的傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化結果中,固定端多了一個支座用以加固中間孔洞,右上方通過曲面結構過渡到右下角,在實際工程中會增大施工難度.而圖4(c)考慮可靠度指標β=3.8的優(yōu)化結果中,僅用三根連桿對孔洞周圍進行加固,結構分布更加合理,方便施工.在滿足預定的結構性能要求的情況下,圖4(b)的結構的體積為2 715 mm3,圖4(c)結構的體積為2 150 mm3,這表示帶孔懸臂梁考慮可靠度后的優(yōu)化結構減少約20%的自重.在滿足結構性能要求的前提下,結構的可靠度也大大增加,同時降低施工難度,結構設計更加合理.

3.3 算例三

簡支梁的初始設計區(qū)域如圖5所示,彈性模量E,泊松比μ,在結構(X/2,Y,Z/2)處有垂直向下的集中荷載F.

圖5 簡支梁初始設計域

簡支梁的荷載F、外形尺寸以及結構容積率Vol為非正態(tài)分布隨機變量,它們的參數(shù)如表2所示：

表2 簡支梁的幾何參數(shù)

傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化的設計參數(shù)按表2的均值計算,優(yōu)化結果如圖6(a)所示,考慮可靠度指標β=3.8的優(yōu)化結果如圖6(b)所示.

(a)傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化結果

(b)基于可靠度的優(yōu)化結果

從圖6中可以看出簡支梁的可靠度優(yōu)化結果比傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化結果增加更多的桿件結構對內(nèi)側進行支撐,桿件結構分布合理,節(jié)約內(nèi)部空間,也使結構更易于在實際工程中施工.圖6(a)結構的體積為1 272 mm3,圖6(b)結構的體積為1 016 mm3,可靠度優(yōu)化在滿足預計結構條件的同時減輕約20%的自重,減少生產(chǎn)成本,優(yōu)化效果明顯,也更符合在工程實際中應用.

4 結論

本文提出一種在三維結構中將可靠度分析與傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化相結合的結構優(yōu)化方法.建立結合JC法與變密度法的六面體單元可靠度優(yōu)化模型.使用三維結構的幾何尺寸、荷載以及容積率作為待優(yōu)化的參數(shù),并令其為非正態(tài)分布的隨機變量,對三種常見靜定梁結構進行優(yōu)化分析.對比只能處理確定性參數(shù)的傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化方法與可以處理非正態(tài)分布參數(shù)的可靠度優(yōu)化方法的結果,對比結果表明,結合可靠度優(yōu)化的三種常見靜定梁結構的優(yōu)化結果更加合理,擁有更多的桿件結構,易于施工.算例中結合可靠度優(yōu)化的懸臂梁結構比傳統(tǒng)優(yōu)化方法減少40%的自重,帶孔懸臂梁與簡支梁結構均減少20%的自重, 在滿足同樣結構性能要求的前提下增加了結構可靠度,降低生產(chǎn)制造成本,優(yōu)化效果明顯.本文提出的基于結構可靠度的非正態(tài)分布條件下結構三維拓撲優(yōu)化方法為工程結構優(yōu)化提供了一種新的優(yōu)化方法,具備工程應用價值.