秦 毅

(遼東學(xué)院土木工程系，丹東 118003)

0 引 言

應(yīng)力松弛[1]主要是指材料在恒定應(yīng)變水平作用下，材料應(yīng)力隨時(shí)間推移產(chǎn)生非線性變化的性質(zhì)。該性質(zhì)普遍存在于混凝土結(jié)構(gòu)中，尤其在混凝土材料用于路基、邊坡工程防護(hù)以及巷道支護(hù)時(shí)，混凝土結(jié)構(gòu)處于壓應(yīng)力狀態(tài)，混凝土結(jié)構(gòu)的變形和受力狀態(tài)會(huì)受時(shí)間、環(huán)境等因素影響[2-3]，進(jìn)而產(chǎn)生應(yīng)力松弛破壞而失穩(wěn)，這給防護(hù)工程的安全性帶來(lái)了嚴(yán)重威脅。目前關(guān)于混凝土和巖石等材料的流變特性主要表現(xiàn)在蠕變和應(yīng)力松弛兩個(gè)方面，以往流變研究成果主要集中在混凝土蠕變特性方面，對(duì)于混凝土應(yīng)力松弛研究較少。由于試驗(yàn)條件和試驗(yàn)操作上難度較大，導(dǎo)致混凝土應(yīng)力松弛特性研究以及理論模型不足[4]，現(xiàn)有應(yīng)力松弛模型主要是經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃突A(chǔ)的元件模型，它們雖然可以描述混凝土的應(yīng)力松弛特性，但是模型適用性和精度較差，且經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)沒(méi)有明確的物理意義，使得傳統(tǒng)的應(yīng)力松弛模型無(wú)法真實(shí)反映實(shí)際工程中混凝土應(yīng)力松弛特性的變化規(guī)律[5-7]。因此，需要對(duì)混凝土應(yīng)力松弛模型進(jìn)行深入研究，進(jìn)而解決工程中混凝土結(jié)構(gòu)長(zhǎng)期穩(wěn)定性問(wèn)題。

近些年，學(xué)者們對(duì)于混凝土應(yīng)力松弛特性做出了一些研究。孫鈞[8]對(duì)巖土類材料的流變特性進(jìn)行了系統(tǒng)歸納總結(jié)，闡述了材料的流變?cè)囼?yàn)、理論模型構(gòu)建，以及將數(shù)值計(jì)算與工程實(shí)際相結(jié)合等，為后續(xù)研究巖土類材料在不同條件耦合作用下流變特性奠定了基礎(chǔ)；田洪銘等[9]對(duì)巖石流變過(guò)程中能量耗散進(jìn)行了分析，提出基于耗散能變化的應(yīng)力松弛損傷系數(shù)，并將其引入到西原體模型中，進(jìn)而構(gòu)建了一種改進(jìn)的損傷應(yīng)力松弛模型；于懷昌等[10]通過(guò)將流變理論結(jié)合分?jǐn)?shù)階理論，建立了分?jǐn)?shù)階Poynting-Thomson模型，該模型可較好地描述巖石應(yīng)力松弛特性；唐禮忠等[11]研究了峰值應(yīng)力作用下巖石的松弛特性，發(fā)現(xiàn)巖石的應(yīng)力松弛變化規(guī)律呈現(xiàn)出階梯式遞減趨勢(shì)；牛晟等[12]開(kāi)展了峰前和峰后混凝土應(yīng)力松弛特性試驗(yàn)，并采用廣義 Kelvin模型對(duì)沙漠砂聚苯乙烯混凝土的應(yīng)力松弛變化規(guī)律進(jìn)行了描述。上述研究表明混凝土和巖石應(yīng)力松弛特性與時(shí)間有關(guān)，但是現(xiàn)有應(yīng)力松弛模型并未考慮到時(shí)間效應(yīng)對(duì)混凝土應(yīng)力松弛特性的影響，故構(gòu)建一個(gè)考慮時(shí)間效應(yīng)的應(yīng)力松弛時(shí)效性模型就顯得十分有必要。

本文采用分?jǐn)?shù)階理論將傳統(tǒng)整數(shù)階應(yīng)力松弛模型進(jìn)行分?jǐn)?shù)階化，構(gòu)建損傷變量、時(shí)間與模型參數(shù)之間的關(guān)系，并采用類比法構(gòu)建分?jǐn)?shù)階階數(shù)與損傷變量、時(shí)間的關(guān)系，進(jìn)而建立一個(gè)合理的非定常分?jǐn)?shù)階應(yīng)力松弛模型，這對(duì)后續(xù)研究混凝土的長(zhǎng)期穩(wěn)定性具有指導(dǎo)意義。

1 非定常分?jǐn)?shù)階應(yīng)力松弛模型建立

1.1 非定常分?jǐn)?shù)階黏壺建立

一般常用Riemann-Liouville微積分方法來(lái)定義分?jǐn)?shù)階[13-14]。對(duì)于任意實(shí)數(shù)γ時(shí)，Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階函數(shù)可表示為：

(1)

式中：γ為分?jǐn)?shù)階階數(shù)；t為應(yīng)力松弛時(shí)間；ξ為分?jǐn)?shù)階函數(shù)變量。

Gamma函數(shù)Γ(γ)為：

(2)

對(duì)于傳統(tǒng)的彈簧元件和牛頓黏壺而言，流變方程可分別表示為：

σ(t)=Eε(t)

(3)

(4)

式中：σ為應(yīng)力；ε為應(yīng)變；E為彈性模量；η為黏滯性系數(shù)；t為流變時(shí)間。

基于上述分?jǐn)?shù)階定義，將整數(shù)階黏壺轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)階黏壺，則分?jǐn)?shù)階黏壺的本構(gòu)方程為[15]：

(5)

式中：ξ為類黏滯性系數(shù)；M為階數(shù)γ的分?jǐn)?shù)階算子。

根據(jù)式(5)可知，當(dāng)分?jǐn)?shù)階階數(shù)γ=0時(shí)，令ξ=E，式(5)退化為式(3)，流變方程描述彈性體流變性質(zhì)；當(dāng)分?jǐn)?shù)階階數(shù)γ=1時(shí)，令ξ=η，式(5)退化為式(4)，流變方程描述牛頓黏壺流變性質(zhì)；當(dāng)分?jǐn)?shù)階階數(shù)0<γ<1時(shí)，分?jǐn)?shù)階黏壺流變方程描述介于上述兩元件之間的非線性流變性質(zhì)[16]。

在應(yīng)力松弛試驗(yàn)中混凝土應(yīng)變?chǔ)?t)為恒定不變量，即ε(t)=constant，將式(5)進(jìn)行Laplace正逆變換可得到分?jǐn)?shù)階黏壺應(yīng)力松弛表達(dá)式：

(6)

根據(jù)混凝土應(yīng)力松弛模型參數(shù)劣化規(guī)律，定義在應(yīng)力松弛試驗(yàn)中混凝土分?jǐn)?shù)階黏壺參數(shù)的損傷演化表達(dá)式為[17]：

D=1-exp(-αt)

(7)

式中：D為損傷變量；α為非定常系數(shù)。

聯(lián)立式(5)～式(7)得到非定常分?jǐn)?shù)階黏壺表達(dá)式：

(8)

式中：α1為黏壺非定常系數(shù)。

1.2 一維非定常分?jǐn)?shù)階模型建立

本文采用J體流變模型來(lái)分析混凝土應(yīng)力松弛特性，其由彈性元件和開(kāi)爾文體組成(如圖1所示)。

圖1 流變本構(gòu)模型示意圖(E1為彈性體彈性模量；E2為黏彈性體彈性模量；η1為黏彈性體的黏滯性系數(shù)；η1γ為分?jǐn)?shù)階黏壺黏滯性系數(shù)；σ為應(yīng)力)

根據(jù)流變模型理論可知，J體模型的一維流變方程為：

(9)

經(jīng)過(guò)Laplace正逆變換可得應(yīng)力松弛方程：

(10)

式中：t為應(yīng)力松弛時(shí)間。

將J體模型中牛頓黏壺?fù)Q為分?jǐn)?shù)階黏壺，得到流變方程：

(11)

對(duì)式(11)進(jìn)行Laplace 變換可得:

(12)

式中：k為L(zhǎng)aplace變換系數(shù)。

將式(7)和式(8)代入到式(12)中，得到:

(13)

式中：α0為彈性體的非定常系數(shù)；α1為黏彈性體黏壺的非定常系數(shù)；α2為黏彈性體彈簧元件的非定常系數(shù)。

2 應(yīng)力松弛試驗(yàn)結(jié)果分析與模型驗(yàn)證

2.1 應(yīng)力松弛試驗(yàn)

圖2 應(yīng)力松弛數(shù)據(jù)

本文采用普通硅酸鹽水泥，按照試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)將混凝土試樣制成φ50 mm×100 mm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱試件，經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)養(yǎng)護(hù)之后的混凝土試樣用于應(yīng)力松弛特性試驗(yàn)[18-19]。采用TAW-2000伺服試驗(yàn)機(jī)對(duì)養(yǎng)護(hù)后的混凝土試樣進(jìn)行應(yīng)力松弛試驗(yàn)，具體試驗(yàn)步驟為：(1)采用分級(jí)加載方式，逐級(jí)施加軸向應(yīng)變值；(2)每級(jí)應(yīng)變加載完瞬間，讀取混凝土試樣所對(duì)應(yīng)的軸向應(yīng)力值，并記錄混凝土試樣的應(yīng)力松弛變化曲線；(3)當(dāng)混凝土的軸向應(yīng)力在2 h內(nèi)的變化幅值小于0.001 MPa時(shí)，停止當(dāng)前應(yīng)變等級(jí)作用下的應(yīng)力松弛試驗(yàn)，開(kāi)始施加下一級(jí)軸向應(yīng)變值；(4)當(dāng)試驗(yàn)全部結(jié)束后，將試驗(yàn)數(shù)據(jù)導(dǎo)出后保存。

圖2為應(yīng)力松弛試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)。由圖2可知，試驗(yàn)一共分為6個(gè)等級(jí)，應(yīng)變水平分別為0.30%、0.60%、0.90%、1.20%、1.50%和1.80%。在不同應(yīng)變作用下，混凝土應(yīng)力松弛曲線都呈現(xiàn)先減小后穩(wěn)定的變化趨勢(shì)；隨著應(yīng)變不斷增大，混凝土初始應(yīng)力不斷增大，應(yīng)力松弛量減小幅度也不斷增大。在應(yīng)變作用下，混凝土所受應(yīng)力具有一個(gè)較大初始值，隨著時(shí)間推移，應(yīng)力不斷減小，最后趨于穩(wěn)定值。

2.2 模型參數(shù)識(shí)別與驗(yàn)證

采用Levenberg-Marquardt算法對(duì)J體模型和非定常分?jǐn)?shù)階模型進(jìn)行模型參數(shù)辨識(shí)，得到兩種模型參數(shù)數(shù)值，分別如表1和表2所示[20]。

表1 模型參數(shù)(J體模型)

表2 模型參數(shù)(非定常分?jǐn)?shù)階模型)

根據(jù)上文所建立的非定常性應(yīng)力松弛方程對(duì)各級(jí)應(yīng)力松弛試驗(yàn)曲線反演所獲得的參數(shù)，代入應(yīng)力松弛方程(12)和(13)繪制J體模型和非定常分?jǐn)?shù)階模型應(yīng)力松弛與時(shí)間對(duì)比圖，如圖3所示。

由圖3可知，用該力非定常分?jǐn)?shù)階模型來(lái)反映混凝土應(yīng)力松弛全過(guò)程變形規(guī)律是合適可行的，它可以較好地描述應(yīng)力松弛變化全過(guò)程，總體上該模型擬合度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于J體模型(后者在較大應(yīng)變作用下，模型曲線與試驗(yàn)曲線具有較大偏離度)，能對(duì)三軸應(yīng)力松弛試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行良好的預(yù)測(cè)分析。

圖3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型曲線對(duì)比

3 參數(shù)敏感性分析

本文以應(yīng)變0.90%作用下應(yīng)力松弛模型曲線為例，將E1=326.812 GPa，E2=119.715 GPa，η1=774.601 GPa·h，α0=0.897，α1=0.267，α2=0.449，γ=0.229代入非定常分?jǐn)?shù)階模型應(yīng)力松弛方程中，通過(guò)控制變量法分別分析非定常參數(shù)和分?jǐn)?shù)階階數(shù)對(duì)應(yīng)力松弛曲線變化規(guī)律的影響。首先，保持其他變量不變，改變分?jǐn)?shù)階階數(shù)γ，其對(duì)應(yīng)力松弛曲線的影響如圖4所示。

由圖4可知，在不同分?jǐn)?shù)階階數(shù)下，混凝土應(yīng)力松弛變化曲線都是呈現(xiàn)逐漸減小趨勢(shì)，但是不同分?jǐn)?shù)階階數(shù)的應(yīng)力松弛曲線大約在4.19 h左右出現(xiàn)了重合點(diǎn)。在重合點(diǎn)之前應(yīng)力松弛曲線隨著分?jǐn)?shù)階階數(shù)增大，應(yīng)力減少相同幅度所用時(shí)間逐漸增大，但是在重合點(diǎn)之后應(yīng)力松弛曲線隨著分?jǐn)?shù)階階數(shù)增大，應(yīng)力減少相同幅度所用時(shí)間卻逐漸減小，說(shuō)明重合點(diǎn)處改變了應(yīng)力松弛曲線變化速率，分?jǐn)?shù)階階數(shù)控制了混凝土應(yīng)力松弛速率。

保持其他變量不變，改變彈性體非定常系數(shù)α0，其對(duì)應(yīng)力松弛曲線的影響如圖5所示。

圖4 分?jǐn)?shù)階階數(shù)對(duì)應(yīng)力松弛曲線的影響

圖5 非定常系數(shù)α0對(duì)應(yīng)力松弛曲線的影響

由圖5可知，在不同非定常系數(shù)α0下，混凝土應(yīng)力松弛曲線先急劇下降后趨于穩(wěn)定值。隨著非定常系數(shù)α0增大，應(yīng)力松弛曲線最終趨于穩(wěn)定值越小，這說(shuō)明非定常系數(shù)α0影響了混凝土應(yīng)力松弛曲線應(yīng)力最終值。

保持其他變量不變，改變黏彈性體黏壺的非定常系數(shù)α1，其對(duì)應(yīng)力松弛曲線的影響如圖6所示。

由圖6可知，在不同非定常系數(shù)α1下，混凝土應(yīng)力松弛曲線先急劇下降后趨于穩(wěn)定值，但是前期應(yīng)力松弛曲線基本重合，只是在應(yīng)力接近穩(wěn)定值時(shí)才有較大的偏離度。非定常系數(shù)α1對(duì)于混凝土應(yīng)力松弛曲線影響作用不明顯。

圖6 非定常系數(shù)α1對(duì)應(yīng)力松弛曲線的影響

圖7 非定常系數(shù)α2對(duì)應(yīng)力松弛曲線的影響

保持其他變量不變，改變黏彈性體彈簧元件的非定常系數(shù)α2，其對(duì)應(yīng)力松弛曲線的影響如圖7所示。

由圖7可知，在不同非定常系數(shù)α2下，混凝土應(yīng)力松弛曲線先急劇下降后趨于穩(wěn)定值，但是應(yīng)力松弛曲線基本重合，只是在應(yīng)力接近穩(wěn)定值時(shí)才有較大的偏離度。非定常系數(shù)α2對(duì)于混凝土應(yīng)力松弛曲線影響作用不明顯。

綜上所述，對(duì)于引入非定常系數(shù)和分?jǐn)?shù)階階數(shù)敏感性做出了分析，發(fā)現(xiàn)參數(shù)α0主要影響應(yīng)力松弛曲線應(yīng)力最終值，使得應(yīng)力松弛量隨著參數(shù)增大而增大，分?jǐn)?shù)階階數(shù)γ控制混凝土應(yīng)力松弛速率以及應(yīng)力松弛量?jī)蓚€(gè)指標(biāo)，非定常系數(shù)α1和α2對(duì)于混凝土應(yīng)力松弛曲線影響作用不明顯。

4 結(jié) 論

(1)基于混凝土應(yīng)力松弛參數(shù)劣化性以及分?jǐn)?shù)階階數(shù)受時(shí)間作用的影響，建立損傷積累條件下的非定常黏壺應(yīng)力松弛模型；考慮應(yīng)變水平對(duì)彈簧元件的影響，建立了一個(gè)非定常分?jǐn)?shù)階應(yīng)力松弛時(shí)效性模型。

(2)采用非定常分?jǐn)?shù)階模型來(lái)描述混凝土應(yīng)力松弛全過(guò)程變形規(guī)律是合適可行的，它可以較好地描述應(yīng)力松弛變化全過(guò)程，總體上該模型擬合度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于J體模型(后者在較大應(yīng)變作用下，模型曲線與試驗(yàn)曲線具有較大偏離度)，可以對(duì)三軸應(yīng)力松弛試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行良好的預(yù)測(cè)分析。

(3)參數(shù)α0主要影響應(yīng)力松弛曲線應(yīng)力最終值，使得應(yīng)力松弛量隨著參數(shù)增大而增大，分?jǐn)?shù)階階數(shù)γ控制混凝土應(yīng)力松弛速率以及應(yīng)力松弛量?jī)蓚€(gè)指標(biāo),非定常系數(shù)α1和α2對(duì)于混凝土應(yīng)力松弛曲線影響作用不明顯。