諸潔琪，申屠鎧宇，陳伏虎

(杭州應(yīng)用聲學(xué)研究所，浙江杭州310012)

0 引 言

平面陣聲吶具有廣泛的用途，特別是潛艇舷側(cè)等可布陣面積較大的區(qū)域，采用平面陣方式布陣可充分利用空間，提高聲吶探測(cè)能力，如美國(guó)海狼級(jí)核潛艇、弗吉尼亞級(jí)核潛艇舷側(cè)陣均采用了平面布陣方式。

聲基陣的陣增益是聲吶方程中計(jì)算作用距離的重要參數(shù)，定義為接收的信號(hào)增益與噪聲增益比值的對(duì)數(shù)。由于其依賴于信號(hào)與遍布基陣的噪聲的相干性，所以計(jì)算其具體的值并不容易。當(dāng)信號(hào)為平面波且相干，噪聲為各向同性且不相干時(shí)，聲基陣的陣增益等于其指向性指數(shù)，即從各向同性噪聲場(chǎng)中提取平面波信號(hào)的能力。估算聲吶作用距離時(shí)，一般用指向性指數(shù)代替陣增益計(jì)算，并采用通用的估算公式估計(jì)聲基陣的指向性指數(shù)。但實(shí)際計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)，常用的平面陣指向性指數(shù)估算結(jié)果[1]往往與實(shí)際計(jì)算值有較大偏差，導(dǎo)致估算聲吶性能產(chǎn)生偏差。國(guó)外許多書籍對(duì)平面陣指向性指數(shù)的也存在多種不同估算公式，或未給出詳細(xì)論證過(guò)程，或未給出簡(jiǎn)潔的估算表達(dá)式，且估算偏差各有不同[1-6]。因此本文對(duì)平面陣的指向性指數(shù)估算公式進(jìn)行推導(dǎo)和改進(jìn)，給出了清晰了理論支撐和簡(jiǎn)潔的表達(dá)式，使估算精度相比其他估算公式具備更小的偏差和更大的應(yīng)用范圍。

1 估算公式推導(dǎo)

接收陣的指向性因數(shù)Rθ是在各向同性噪聲場(chǎng)無(wú)指向性接收器輸出，與具有同樣靈敏度的指向性陣輸出的比值：

式中：D表示基陣的指向性函數(shù)；θ、φ分別為俯仰角和方位角。估算聲吶作用距離的指向性指數(shù)與指向性因數(shù)關(guān)系為DI= 1 0lg (Rθ)，平面陣指向性指數(shù)常采用以下公式估算[1]：

式中：m、n分別為平面陣的水平方向和垂直方向陣元數(shù)，陣元間距為λ/ 2 ，N為聲波波長(zhǎng)。式(2)為背部無(wú)遮擋情況下平面陣的估算公式，實(shí)際應(yīng)用中，《實(shí)用聲吶工程》對(duì)背部存在遮擋，任意工作頻率下的平面陣指向性指數(shù)估算公式[1]為

式中： f0表示陣元間距對(duì)應(yīng)的最高工作頻率，f＜f0。式(3)中默認(rèn)平面陣水平、垂直陣元間距相等，實(shí)際中考慮到海洋聲傳播特性，聲入射角一般為小掠射角，即使通過(guò)深海海底反射的入射信號(hào)的垂直俯仰角度也一般不超過(guò)?60°，因此實(shí)際上平面陣垂直俯仰角度無(wú)需到±90°，因而垂直方向陣元間距往往可略大于水平陣元間距。

在水平、垂直陣元間距不同，且滿足小于λ/ 2 的情況下，式(3)可用以下公式表達(dá)：

式中：L、H分別為平面陣的長(zhǎng)和寬。

實(shí)際應(yīng)用時(shí)，發(fā)現(xiàn)式(4)的估算結(jié)果往往與實(shí)際計(jì)算值相差1 dB以上。因此，本文對(duì)平面陣的指向性指數(shù)估算公式進(jìn)行推導(dǎo)，并建立更為準(zhǔn)確的估算公式。

根據(jù)乘法定理，均勻分布的平面陣指向性函數(shù)可看成兩條直線陣指向性函數(shù)的乘積。為方便計(jì)算，現(xiàn)建立如圖1所示坐標(biāo)系。

圖1 指向性函數(shù)計(jì)算坐標(biāo)系Fig.1 The coordinate system for directivity function calculation

令平面陣位于xOy平面內(nèi)，y軸方向和z軸方向陣長(zhǎng)分別為 L、H，d1、d2分別為 y軸方向和 z軸方向陣元間距，m、n為y軸方向和z軸方向陣元數(shù)。根據(jù)乘積定理[4]，平面陣指向性函數(shù)D (θ, φ) 為線陣指向性函數(shù)之積：

在實(shí)際的聲吶設(shè)計(jì)中，離散線陣的指向性函數(shù)可以用式(6)的連續(xù)陣的指向性函數(shù)代替，兩者造成的差異一般不大[6]。

根據(jù)指向性因數(shù)計(jì)算公式，當(dāng)平面陣背部遮擋時(shí)，指向性因數(shù)可轉(zhuǎn)化為

將B的近似值代入式(7)，可得指向性因數(shù)近似公式為

式中：S為平面陣有效面積。則指向性指數(shù)的近似公式為

式(14)即根據(jù)指向性指數(shù)計(jì)算原理推導(dǎo)的近似計(jì)算公式，其推導(dǎo)過(guò)程是基于平面陣的長(zhǎng)和寬遠(yuǎn)大于信號(hào)波長(zhǎng)。主波束寬度較小的基礎(chǔ)上得到的。因此當(dāng)平面陣長(zhǎng)或?qū)捙c信號(hào)波長(zhǎng)相差較小時(shí)，該近似公式計(jì)算值與實(shí)際相差較大。

該公式計(jì)算值比式(4)大近2 dB，可見(jiàn)兩者之間存在很大差別，必有其中一個(gè)近似公式與實(shí)際指向性指數(shù)的誤差較大。因此，需通過(guò)仿真來(lái)分析其具體適用情況。

2 仿真分析

2.1 準(zhǔn)確性分析

為驗(yàn)證指向性指數(shù)估算公式的準(zhǔn)確性，本文對(duì)平面陣指向性指數(shù)進(jìn)行仿真計(jì)算，并與估算公式比較，計(jì)算其誤差。指向性指數(shù)真值根據(jù)式(1)積分公式對(duì)指向性函數(shù)D(θ, φ)進(jìn)行積分計(jì)算，得到指向性因數(shù)Rθ后，根據(jù)DI= 1 0lg (Rθ)算得。

令平面陣的長(zhǎng)、寬分別為8 m和4 m，陣元間距為0.1 m，則最高工作頻率為7.5 kHz。該陣在6 kHz處的水平及垂直波束圖如圖2所示，其中水平和垂直方向波束寬度分別為 1.57°、2.96°，旁瓣級(jí)均為?13.3 dB。通過(guò)積分計(jì)算得指向性指數(shù)真值為38.04 dB，通過(guò)式(4)和式(14)的估算公式得到指向性指數(shù)估算值分別為36.11 dB和38.08 dB，由此可見(jiàn)，式(4)對(duì)平面陣指向性指數(shù)的估計(jì)偏差近2 dB，而采用式(14)進(jìn)行估計(jì)的偏差小于0.1 dB，可認(rèn)為式(14)的指向性指數(shù)估算結(jié)果基本與實(shí)際值相等。

圖2 平面陣波束圖Fig.2 Beam pattern of planar array

2.2 陣元間距影響分析

式(14)的指向性指數(shù)估算公式雖與陣元間距無(wú)關(guān)，但其前提假設(shè)是離散平面陣指向性函數(shù)式(5)近似為連續(xù)平面陣指向性函數(shù)式(6)。這就要求陣元間距不能過(guò)大，否則會(huì)對(duì)估算準(zhǔn)確度產(chǎn)生一定的影響。

實(shí)際上陣元間距大小對(duì)指向性指數(shù)影響是相對(duì)于信號(hào)波長(zhǎng)而言的，即影響參數(shù)為陣元間距相對(duì)信號(hào)波長(zhǎng)的比值。為驗(yàn)證陣元間距波長(zhǎng)比對(duì)指向性指數(shù)估算準(zhǔn)確度的影響，本文對(duì)不同頻率(波長(zhǎng))下的平面陣指向性指數(shù)估算誤差進(jìn)行比較分析。

令平面陣的長(zhǎng)、寬分別為8 m和4 m，陣元間距為0.1 m，信號(hào)頻率為0.5～7.5 kHz，水中參考聲速取1 500 m·s-1，則陣元間距波長(zhǎng)比為0.03～0.5，此時(shí)該陣的波束寬度如圖3所示，水平波束寬度為1.2°～19.1°，垂直波束寬度為 2.3°～38.7°。

圖3 平面陣波束寬度Fig.3 Beamwidth of planar array

指向性指數(shù)計(jì)算值和估算值變化情況如圖4所示，圖中方法一估算值是采用式(4)的估算結(jié)果，方法二估算值是采用式(14)的估算結(jié)果。分析表明，在不同陣元間距波長(zhǎng)比(不同頻率)下，雖然已無(wú)法滿足接近連續(xù)平面陣條件，但采用式(14)的估算結(jié)果依然與實(shí)際值基本相等，估算效果優(yōu)于式(4)。

圖4 不同方法指向性指數(shù)分析Fig.4 Directivity index analyses of different methods

2.3 陣孔徑影響分析

本文指向性指數(shù)估算公式的第二個(gè)假設(shè)是陣的水平、垂直孔徑遠(yuǎn)大于信號(hào)波長(zhǎng)，使陣具有較小的波束寬度，波束圖能量主要集中在主極大方向附近。為驗(yàn)證平面陣孔徑對(duì)指向性指數(shù)估算準(zhǔn)確度的影響，特別是陣孔徑與波長(zhǎng)接近時(shí)估算的準(zhǔn)確度情況，本文對(duì)不同基陣孔徑下的指向性指數(shù)估算誤差進(jìn)行了比較分析。在2.2節(jié)不同頻率下指向性指數(shù)的分析中，信號(hào)頻率低至 500 Hz時(shí)，波長(zhǎng)與平面陣長(zhǎng)、寬比值分別為0.375、0.75，水平、垂直波束寬度分別為19.1°、38.7°，此時(shí)式(14)對(duì)指向性指數(shù)的估計(jì)依然具有較高的準(zhǔn)確性。

在實(shí)際使用時(shí)，如潛艇舷側(cè)布陣，平面陣的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于寬度，一般長(zhǎng)度可達(dá)到幾十米，而寬度在1～3 m左右，此時(shí)長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)，而寬度可能與波長(zhǎng)接近甚至小于波長(zhǎng)，本文對(duì)該情況下，不同平面陣寬度時(shí)指向性指數(shù)估算誤差進(jìn)行比較分析，驗(yàn)證陣孔徑對(duì)估算準(zhǔn)確度的影響。

設(shè)平面陣長(zhǎng)為8 m，陣元間距為0.1 m，信號(hào)頻率為 6 kHz，陣寬度為 0.2～4 m，則波長(zhǎng)與寬度比值為0.0625～1.25，此時(shí)平面陣垂直波束寬度為3.0°～77.2°，如圖5所示。指向性指數(shù)計(jì)算值和估算值變化情況如圖6所示，其中方法一估算值即采用式(4)的估算結(jié)果，方法二估算值即采用式(14)的估算結(jié)果。分析表明，在波長(zhǎng)寬度比小于0.42時(shí)，采用式(14)估算結(jié)果基本與實(shí)際計(jì)算值相等，大于 0.42時(shí)，陣寬度越小，估算誤差越大，寬度為0.2 m時(shí)式(14)估算誤差達(dá)到0.75 dB，但其估算準(zhǔn)確度依然優(yōu)于式(4)。實(shí)際上，工作在非常低的頻率時(shí)，如100 Hz，則平面陣寬度相對(duì)于波長(zhǎng)基本可忽略不計(jì)，此時(shí)以直線陣的指向性進(jìn)行估算準(zhǔn)確性更高。

圖5 平面陣垂直波束寬度隨陣寬度變化曲線Fig.5 Variation of the vertical beamwidth of planar array with array width

圖6 平面陣指向性指數(shù)隨陣寬度變化曲線Fig.6 Variation of the directivity index of planar array with array width

2.4 適用性擴(kuò)展分析

由于其他非規(guī)則陣、曲面陣等陣形的指向性指數(shù)無(wú)法通過(guò)解析計(jì)算方式得到估算公式，因此一般采用平面陣指向性指數(shù)估算公式對(duì)其他面陣、體積陣的指向性指數(shù)進(jìn)行估算。本文通過(guò)仿真分析，驗(yàn)證式(14)對(duì)其他陣形指向性指數(shù)的估算準(zhǔn)確度。

以圓柱陣為例，設(shè)圓柱陣直徑為4 m，高為4 m，陣元間距為0.1 m，波束形成時(shí)采用正對(duì)主極大方向120°扇面的陣元，則不同信號(hào)頻率下指向性指數(shù)計(jì)算值和估算值變化情況如圖8所示，其中估算時(shí)有效面積取 1/3扇面對(duì)應(yīng)的最大投影面積，即

圖8 圓柱陣指向性指數(shù)隨陣直徑變化曲線Fig.8 Variation of the directivity index of cylindrical array with array width

分析表明，采用式(14)估算公式計(jì)算圓柱陣指向性指數(shù)同樣有效，其估算值在較低頻率時(shí)略低于實(shí)際計(jì)算值，在中高頻時(shí)略高于實(shí)際計(jì)算值，1 kHz以上時(shí)估算誤差在0.25 dB以內(nèi)，準(zhǔn)確性優(yōu)于采用式(4)估算結(jié)果。

同樣的，式(14)指向性指數(shù)估算同樣適用于梯形平面陣、球面陣等其他陣形，并具有較高的估算準(zhǔn)確性，本文不再詳細(xì)一一舉例。

3 結(jié) 論

一般估算聲吶作用距離時(shí)，平面陣指向性指數(shù)采用《實(shí)用聲吶工程》的公式進(jìn)行估算，但實(shí)際應(yīng)用時(shí)發(fā)現(xiàn)該估算結(jié)果與實(shí)際計(jì)算值相差較大，導(dǎo)致估算聲吶性能產(chǎn)生偏差。本文在離散平面陣指向性指數(shù)與連續(xù)平面陣指向性指數(shù)近似相等、陣孔徑遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)時(shí)波束能量集中于主極大附近兩個(gè)前提條件下，對(duì)平面陣的指向性指數(shù)估算公式進(jìn)行推導(dǎo)和改進(jìn)。當(dāng)平面陣滿足以上條件時(shí)，改進(jìn)公式計(jì)算的指向性指數(shù)與理論公式計(jì)算的指向性指數(shù)真值相比，僅有很小的偏差。對(duì)偏離假設(shè)條件的情況做了分析，在陣孔徑減小時(shí)指向性指數(shù)估算偏差逐漸增大。最后，本文將該公式在圓柱陣應(yīng)用情況做了分析，證明該公式在圓柱陣上應(yīng)用依然具有較高的準(zhǔn)確度。后續(xù)將繼續(xù)研究該估算公式對(duì)球陣、共形陣等陣形的指向性指數(shù)具體估算的適用性分析，以用于更多的聲吶性能計(jì)算。