程 濤，吳小龍，楊 明

(廣西科技大學(xué)機械與交通工程學(xué)院,廣西 柳州 545006)

0 引言

根據(jù)壓縮感知(compressed sensing, CS)理論可知，如果信號是稀疏的就能以遠低于奈奎斯特(Nyquist)采樣頻率的采樣率采集信號，并能高概率精確恢復(fù)信號[1-4]。但是，電、光、聲、磁、熱和機械等一維、二維或多維信號多非稀疏，可壓縮?？蓧嚎s信號需做稀疏變換，才能滿足壓縮感知的稀疏化要求[4-6]?；诳蓧嚎s信號的壓縮感知數(shù)學(xué)模型如式(1)所示：

min‖α‖0s.t.y=ΦΨTα(x=ΨTα,ΦR=ΦΨT)

(1)

式(1)中：y是測量信號，y∈RM；Φ是測量矩陣，Φ∈RM×N；Ψ是稀疏變換基，Ψ∈RN×N；x是可壓縮信號，x∈RN；α為x的稀疏變換域系數(shù)，α∈RN；ΦR為重構(gòu)矩陣；M是測量矩陣的行數(shù)，N為測量矩陣的列數(shù)[7-8]。壓縮感知主要分為數(shù)據(jù)采集壓縮的測量階段和數(shù)據(jù)解壓恢復(fù)的重構(gòu)階段。在測量階段，通過測量矩陣Φ采集得到測量數(shù)據(jù)y；在重構(gòu)階段，通過式(1)解算得到稀疏變換域系數(shù)α，通過逆變換從而求得信號x[3,8]。

常用的測量矩陣有高斯矩陣、哈達瑪矩陣和伯努利矩陣等。這些矩陣盡管能很好滿足壓縮感知的約束等距性要求，但多為稠密矩陣，元素所需存儲空間大[9-10]；而且由于其非結(jié)構(gòu)化的本質(zhì)導(dǎo)致計算復(fù)雜度高，不利于編程和硬件實現(xiàn)。對于可壓縮信號，重構(gòu)矩陣性能的好壞與稀疏變換基和測量矩陣有關(guān)。文獻[11—12]在稀疏變換基已經(jīng)確定的情況下，以列相關(guān)性最小化或平均化為目標(biāo)來優(yōu)化重構(gòu)矩陣，得到優(yōu)化后的重構(gòu)矩陣。盡管經(jīng)過優(yōu)化的重構(gòu)矩陣有更好的重構(gòu)能力，但是對應(yīng)的測量矩陣已不是原來的測量矩陣，實用價值不高。針對稀疏信號，基于0-1循環(huán)矩陣提出的測量矩陣優(yōu)化算法實現(xiàn)了在測量階段采用事先確定的測量矩陣采集測量數(shù)據(jù)，在重構(gòu)階段采用優(yōu)化后的測量矩陣重構(gòu)稀疏信號，取得了很好的效果[13]。

基于數(shù)字微鏡(digital micromirror device,DMD)的單像素相機采用的0-1隨機矩陣盡管易于硬件實現(xiàn)且所需存儲空間小[4,14-15]，但在利于編程和運算速度方面依然不如0-1循環(huán)矩陣。離散余弦變換(discrete cosine transform, DCT)是影像和視頻壓縮中廣泛使用的通用技術(shù)[8]。DCT除了具有正交變換性，還能很好地描述可壓縮信號的相關(guān)特征。對于可壓縮信號，壓縮感知的重構(gòu)效果不但受到測量矩陣的影響，也取決于稀疏變換基與測量矩陣的相互作用。因此，本文以DCT矩陣作為式(1)的稀疏變換基，以單像素相機的0-1隨機矩陣[4,14]和0-1循環(huán)矩陣作為式(1)的測量矩陣，在驗證檢驗矩陣優(yōu)化算法通用性的同時，開展單像素相機測量矩陣的比較評估。進而理論分析稀疏變換基與測量矩陣的相互作用機理。

為便于與已有文獻對比，測量矩陣大小設(shè)置為128×256。0-1循環(huán)矩陣初始行向量為32個隨機分布的1，每一行向量都是前一行向量各元素右移兩位的結(jié)果。0-1隨機矩陣各行向量包含32個隨機分布的1。

1 基于不同測量矩陣的重構(gòu)矩陣優(yōu)化前后的性能對比

表1 6類矩陣的相關(guān)參數(shù)Tab.1 Parameters of 6 matrices

表1為測量矩陣分別采用0-1循環(huán)矩陣和0-1隨機矩陣，稀疏變換基采用DCT矩陣，n=100次時相應(yīng)重構(gòu)矩陣、優(yōu)化矩陣和近似矩陣的各種統(tǒng)計參數(shù)。Jarque-Bera檢驗這一行“/”左邊的數(shù)據(jù)表示服從高斯分布的列數(shù)；“/”右邊的數(shù)據(jù)表示服從高斯分布的行數(shù)。μcmax表示各列間相關(guān)系數(shù)絕對值的最大值；μrmax表示各行間相關(guān)系數(shù)絕對值的最大值。行模和列模這兩行中“/”左邊表示最小值，“/”右邊表示最大值。

根據(jù)文獻[8,13]可知，經(jīng)過行向量正交規(guī)范化和列向量單位化的優(yōu)化矩陣和近似矩陣的性質(zhì)與高斯矩陣相近，具備高斯矩陣對各類稀疏信號的普適性。本文以此為依據(jù)，通過圖1—圖4比較分析循環(huán)重構(gòu)矩陣和隨機重構(gòu)矩陣在迭代優(yōu)化過程中的優(yōu)化矩陣和近似矩陣的性質(zhì)變化。

圖1 基于循環(huán)重構(gòu)矩陣和隨機重構(gòu)矩陣的優(yōu)化矩陣和近似矩陣的行模極值與迭代次數(shù)的關(guān)系Fig.1 Row norms extreme value of optimization matrix and approximate matrix based on circulant reconstruction matrices and random reconstruction matrices vs. iteration

由圖2(a)可知，隨機優(yōu)化矩陣的列相關(guān)系數(shù)絕對值最大值和行相關(guān)系數(shù)絕對值最大值在第3次迭代后收斂，列相關(guān)系數(shù)絕對值最大值接近于0.26，行相關(guān)系數(shù)絕對值最大值接近于0；循環(huán)優(yōu)化矩陣的列相關(guān)系數(shù)絕對值最大值接近于1，行相關(guān)系數(shù)絕對值最大值接近于0。由圖2(b)可知，隨機近似矩陣的列相關(guān)系數(shù)絕對值的最大值在第3次迭代后收斂，接近于0.27，行相關(guān)系數(shù)絕對值最大值在第62次迭代后收斂，接近于0；循環(huán)近似矩陣的列相關(guān)系數(shù)絕對值的最大值接近于1，行相關(guān)系數(shù)絕對值的最大值在第95次迭代后接近于0.2。隨機優(yōu)化和近似矩陣的不相關(guān)性都好于循環(huán)優(yōu)化和近似矩陣。

圖2 基于循環(huán)重構(gòu)矩陣和隨機重構(gòu)矩陣的優(yōu)化矩陣和近似矩陣的列相關(guān)系數(shù)的絕對值最大值與迭代次數(shù)的關(guān)系Fig.2 Maximum value of absolute value of the row and column correlation coefficient of optimization matrix and approximate matrix based on circulant reconstruction matrices and random reconstruction matrices vs. iteration

由圖3(a)可知，隨機優(yōu)化矩陣服從高斯分布的列和行在第62次迭代后收斂，服從高斯分布的列數(shù)接近于250，服從高斯分布的行數(shù)接近125；循環(huán)優(yōu)化矩陣服從高斯分布的列數(shù)和行數(shù)在第2次迭代后迅速收斂于0。由圖3(b)可知，隨機近似矩陣服從高斯分布的列數(shù)和行數(shù)在第62次迭代后收斂，服從高斯分布的列數(shù)接近250，服從高斯分布的行數(shù)接近125；循環(huán)近似矩陣服從高斯分布的行數(shù)和列數(shù)在第2次迭代后迅速收斂于0。隨機優(yōu)化和近似矩陣服從高斯分布的行列數(shù)都好于循環(huán)隨機和近似矩陣。

由圖4可知，隨機近似矩陣列模的極大值和極小值在第5次迭代后收斂，極大值接近于1.1，極小值接近于0.9；循環(huán)近似矩陣的列模的極大值在第3次迭代后收斂于1.2，最小值收斂于0.15，相差較大。隨機優(yōu)化和近似矩陣的列模的收斂性都好于循環(huán)優(yōu)化和近似矩陣，前者更接近于1。由圖1—圖4可見，隨機優(yōu)化和隨機近似矩陣的性能都好于循環(huán)優(yōu)化和循環(huán)近似矩陣的性能。

圖3 基于循環(huán)重構(gòu)矩陣和隨機重構(gòu)矩陣的優(yōu)化矩陣和近似矩陣的服從高斯分布的行列數(shù)與迭代次數(shù)的關(guān)系Fig.3 Number of row and column which follows the Gaussian distribution of optimization matrix and approximate matrix based on circulant reconstruction matrices and random reconstruction matrices vs. iteration

圖4 循環(huán)和隨機重構(gòu)矩陣的近似矩陣各列模極值與迭代次數(shù)的關(guān)系Fig.4 Column norm extremum value of approximate matrix of circulant and random reconstruction matrices vs. iteration

2 稀疏變換基與測量矩陣的相互作用

圖5是循環(huán)和隨機重構(gòu)矩陣的灰度圖。隨機重構(gòu)矩陣的灰度圖依然保持很好的隨機性；循環(huán)重構(gòu)矩陣的灰度圖呈左右對稱結(jié)構(gòu)。即使只取循環(huán)重構(gòu)矩陣的左半部分或右半部分，甚至各半部分的1/4來研究，其μcmax也達到0.7，各列高度相關(guān)。測量矩陣與稀疏變換基的轉(zhuǎn)置矩陣相乘就可得到重構(gòu)矩陣。DCT是一種空間域的低通濾波器，可將信號從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域。DCT相當(dāng)于長度約是它兩倍的離散傅里葉變換，是特殊的離散傅里葉變換。采用DCT矩陣作為稀疏變換基時，測量矩陣與稀疏變換基的轉(zhuǎn)置矩陣相乘，在物理幾何意義上等價于對測量矩陣各行作一維離散余弦變換。0-1循環(huán)矩陣是確定性矩陣，每一行向量都是前一行向量各元素循環(huán)移位的結(jié)果。各行元素順序結(jié)構(gòu)相似。重構(gòu)矩陣的各行就是測量矩陣各行作離散余弦變換后的稀疏變換域系數(shù)。這些稀疏變換域系數(shù)在不同頻域反映著0-1循環(huán)矩陣各行向量的順序結(jié)構(gòu)信息。從而導(dǎo)致循環(huán)重構(gòu)矩陣各列高度相似。即使對循環(huán)重構(gòu)矩陣做優(yōu)化也不能提高其隨機性，各列依然高度相關(guān)(如表1和圖1—圖4所示)。由此可見，稀疏變換基與測量矩陣的相互作用，對重構(gòu)矩陣的性能有著重大的影響。0-1循環(huán)矩陣不宜和DCT矩陣組合為重構(gòu)矩陣；但0-1隨機矩陣可和DCT矩陣組合為重構(gòu)矩陣。

圖5 循環(huán)和隨機重構(gòu)矩陣的灰度圖Fig.5 Grayscale image of circulant and random reconstruction matrices

3 基于不同測量矩陣的重構(gòu)矩陣優(yōu)化前后的重構(gòu)效果

為進一步驗證循環(huán)重構(gòu)矩陣及其優(yōu)化和近似矩陣的性能，分別用循環(huán)重構(gòu)矩陣和隨機重構(gòu)矩陣及其優(yōu)化和近似矩陣對高斯稀疏信號采用正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit,OMP)算法重構(gòu)。對每個稀疏度的信號在MatlabR2015b中重復(fù)試驗500次，計算準(zhǔn)確重構(gòu)概率，如圖6所示。

當(dāng)測量矩陣為0-1隨機矩陣時，隨機優(yōu)化矩陣和隨機近似矩陣的信號重構(gòu)概率明顯好于隨機重構(gòu)矩陣；當(dāng)測量矩陣為0-1循環(huán)矩陣時，循環(huán)優(yōu)化矩陣和循環(huán)近似矩陣的信號重構(gòu)概率不但不明顯好于循環(huán)重構(gòu)矩陣，而且3個矩陣的重構(gòu)概率都小于1。

圖6 6種矩陣的信號準(zhǔn)確重構(gòu)概率與稀疏度關(guān)系Fig.6 Prob. of exact recovery vs. the sparsity by 6 matrices

4 結(jié)論

基于DMD的0-1循環(huán)矩陣易于編程和硬件實現(xiàn)，但是當(dāng)單像素相機采集可壓縮信號時，測量矩陣與稀疏變換基相互作用，導(dǎo)致重構(gòu)矩陣性能很差，即使使用矩陣優(yōu)化算法也不能有效改善其性能。對比分析了以DCT為稀疏變換基的基于0-1隨機矩陣和0-1循環(huán)矩陣的重構(gòu)矩陣，及其優(yōu)化前后的重構(gòu)效果。研究發(fā)現(xiàn)：單像素相機不能使用0-1循環(huán)矩陣作為測量矩陣，可使用0-1隨機矩陣作為測量矩陣，并能對相應(yīng)重構(gòu)矩陣做有效優(yōu)化。同時給出了測量矩陣和稀疏變換基作用機理的理論解釋。為單像素相機測量矩陣的選型和設(shè)計提供了方向指導(dǎo)，利于設(shè)計制造出性能更優(yōu)的單像素相機。