紀(jì)翀，杜一豪，姜?jiǎng)俪?/p>

(1.大連理工大學(xué) 船舶工程學(xué)院，遼寧 大連 116024;2.大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116024)

近些年，海上資源開采逐漸向深海發(fā)展，浮式海洋平臺(tái)逐漸受到了越來(lái)越廣泛的關(guān)注，這些平臺(tái)通常由多根大直徑立柱組成，在某些惡劣海況下，波浪上涌對(duì)平臺(tái)下甲板產(chǎn)生沖擊，產(chǎn)生較大的作用力與傾覆力矩。因此，充分考慮波浪作用下立柱作用力及附近自由水面變化是浮式海洋平臺(tái)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。目前在波浪干涉現(xiàn)象領(lǐng)域已經(jīng)有了大量研究，Maniar等[1]對(duì)100根直線排列的圓柱的波浪力進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)在某一頻率作用下，圓柱所受波浪力顯著增大，出現(xiàn)類似準(zhǔn)陷波的現(xiàn)象。Evans等[2]研究了波浪作用下柱群內(nèi)部產(chǎn)生的一階準(zhǔn)陷波現(xiàn)象，并發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)陷波現(xiàn)象發(fā)生頻率與結(jié)構(gòu)的尺寸和布置形式密切相關(guān)，且發(fā)現(xiàn)時(shí)的波面分布具有明顯的對(duì)稱與反對(duì)稱特征。OHL等[3-4]對(duì)規(guī)則波和不規(guī)則波作用下張力腿平臺(tái)附近的波浪場(chǎng)變化進(jìn)行研究。通過(guò)數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)資料的對(duì)比，發(fā)現(xiàn)通過(guò)線性繞射理論獲得的數(shù)值計(jì)算結(jié)果和實(shí)際情況較為擬合。然而，該工作并沒有對(duì)復(fù)雜的準(zhǔn)陷波現(xiàn)象開展深入的研究。文獻(xiàn)[5-9]對(duì)多柱結(jié)構(gòu)準(zhǔn)陷波現(xiàn)象展開了更加深入的研究工作。在水槽中圓柱體繞射研究領(lǐng)域中，Ursell[9]和Masashi[10]分別提出了高效求解圓柱體的二維繞射問(wèn)題和將水槽中的格林函數(shù)分解的方法。Bennet等[11]提出了基于波長(zhǎng)遠(yuǎn)小于水槽寬度的平面波近似方法，可以求解任意形狀的軸對(duì)稱體。寧德志[12]將快速多極子展開的方法用于水波問(wèn)題的計(jì)算，基于非線性時(shí)域理論，對(duì)數(shù)值波浪水槽中圓柱周圍波面與波浪載荷計(jì)算結(jié)果與開敞海域進(jìn)行對(duì)比。趙一帆[13]采用源匯分布法，以滿足水槽邊壁條件的格林函數(shù)建立了數(shù)值模型，以水槽中座底且穿透水面的等截面柱體為研究對(duì)象，并利用波能流守恒關(guān)系驗(yàn)證了計(jì)算方法的正確性。

在對(duì)多柱結(jié)構(gòu)周圍波面分布的研究中，通常會(huì)采用模型實(shí)驗(yàn)的方法，而模型試驗(yàn)往往在水槽中間進(jìn)行。為了探究邊壁效應(yīng)對(duì)準(zhǔn)陷波現(xiàn)象的影響，本文基于理想流體假設(shè)的勢(shì)流理論，借助水動(dòng)力計(jì)算軟件HydroStar對(duì)三維圓柱狀浮體的波浪繞射進(jìn)行分析，研究勢(shì)流對(duì)波浪與四柱結(jié)構(gòu)相互作用問(wèn)題，分別對(duì)有無(wú)邊壁水槽時(shí)四柱結(jié)構(gòu)周圍波面特征進(jìn)行對(duì)比，并著重分析了圓柱半徑對(duì)準(zhǔn)陷波現(xiàn)象的影響規(guī)律。

1 勢(shì)流理論與常數(shù)元方法

在理想不可壓縮流體且運(yùn)動(dòng)無(wú)旋假設(shè)下，流體運(yùn)動(dòng)存在速度勢(shì)Φ(x,t)，其滿足拉普拉斯方程為：

2Φ(x,t)=0

(1)

波陡ε為：

ε=kA

(2)

式中：k為波數(shù)；A為波幅。

對(duì)速度勢(shì)Φ(x,t)按ε進(jìn)行攝動(dòng)展開，取一階近似。當(dāng)入射波頻率為ω時(shí)，將時(shí)間因子e-iωt分離，從而變?yōu)椋?/p>

Φ(x,t)=Re[φ(x)e-iωt]

(3)

式中：φ為空間復(fù)速度勢(shì)，仍然滿足拉普拉斯方程。對(duì)于固定不動(dòng)的物體，可以將空間復(fù)速度勢(shì)進(jìn)一步分解為入射勢(shì)φi與繞射勢(shì)φd，其中，繞射勢(shì)φd應(yīng)滿足自由水面、物面、水底、無(wú)窮遠(yuǎn)以及水槽側(cè)壁邊界條件。

取能同時(shí)滿足條件的格林函數(shù)G(x,x0)，并對(duì)其與繞射勢(shì)應(yīng)用第二格林定理，采用常數(shù)元方法進(jìn)行離散，可建立積分方程為：

(4)

式中n為物面法向量(以指出流體為正)。

開敞水域的情況，采用John推導(dǎo)的滿足自由水面邊界條件格林函數(shù)的形式為：

(5)

對(duì)于考慮水槽邊壁時(shí)的情況，采用源像法消除水槽側(cè)壁積分[13]，引入水槽格林函數(shù)為：

(6)

式中：αm=(m2π2-k2W2)1/2=-i(m2π2-k2W2)1/2；εm是諾依曼符號(hào)：ε0=1；εm=2，m≥1;W是水槽寬度。

對(duì)于規(guī)則波入射的情況，波面為：

ζ=Re[η(x,y)e-iωt]

(7)

其中：

(8)

式中：g為重力加速度，繞射勢(shì)φd可通過(guò)下述方程求出：

(9)

2 數(shù)值試驗(yàn)設(shè)置及網(wǎng)格劃分

對(duì)四柱結(jié)構(gòu)的波浪繞射問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬。數(shù)值模型如圖1所示，以靜水面上各圓柱中心圍成正方形對(duì)角線交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，圓柱中心軸線分別位于(±1.45,0)和(0,±1.45)處，圓柱半徑為r=a，相鄰圓柱軸線間的距離為L(zhǎng)=2.05 m，對(duì)角圓柱軸線間的距離為P=2.9 m，吃水深度T=0.5 m，水深d=3.65 m，規(guī)則波沿x軸正方向入射。

圖1 波浪作用下的四柱結(jié)構(gòu)Fig.1 Four-cylinder structure in regular wave

為了保障數(shù)值計(jì)算精度，本文采用較密的網(wǎng)格剖分形式，如圖2所示。其中，每根圓柱面環(huán)向網(wǎng)格劃分64個(gè)，垂向和柱底徑向均劃分16個(gè)，四根圓柱表面共計(jì)劃分2 048×4個(gè)單元；在進(jìn)行波面計(jì)算時(shí)，自由水面使用10 000個(gè)四邊形結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。為了驗(yàn)證所選網(wǎng)格的收斂性，分別采用前述的遠(yuǎn)場(chǎng)方法和近場(chǎng)方法對(duì)a=0.30 m的四柱結(jié)構(gòu)在x軸方向上的二階漂移力進(jìn)行了計(jì)算，比較結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看出，近場(chǎng)與遠(yuǎn)場(chǎng)方法計(jì)算結(jié)果一致，說(shuō)明本文網(wǎng)格可以獲得收斂結(jié)果。

圖2 四柱結(jié)構(gòu)的物面與自由水面網(wǎng)格劃分Fig.2 Sketch definition of four-cylinder structure and the mesh generation

圖3 遠(yuǎn)場(chǎng)方法和近場(chǎng)方法的二階漂移力比較Fig.3 Comparison of the second order drift force by far field and near field methods

將本文常數(shù)元方法無(wú)因次化計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[6]的高階邊界元方法對(duì)比，取r=a，L=4a布置下的四柱結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值模擬，對(duì)圓柱內(nèi)外2側(cè)測(cè)點(diǎn)處波高變化進(jìn)行研究。從圖4中可以看出，本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[6]的數(shù)值結(jié)果符合較好，說(shuō)明本文數(shù)值模擬的正確性。進(jìn)一步對(duì)本文布置下各圓柱內(nèi)外兩側(cè)關(guān)鍵點(diǎn)波浪爬行情況可以看出，當(dāng)入射波頻率為ka=1.66 時(shí)，圓柱內(nèi)側(cè)測(cè)點(diǎn)A出現(xiàn)明顯的波面升高，而外側(cè)測(cè)點(diǎn)B處波面顯著降低，說(shuō)明波浪能量向圓柱內(nèi)側(cè)集中，該現(xiàn)象稱為準(zhǔn)陷波現(xiàn)象。通過(guò)上述對(duì)比可以看出，本文方法可以對(duì)該現(xiàn)象進(jìn)行正確的模擬，可以應(yīng)用于后文的數(shù)值分析。

圖4 數(shù)值模型的驗(yàn)證Fig.4 Verification of numerical models

3 開敞海域中圓柱半徑對(duì)結(jié)構(gòu)附近波浪分布的影響

為考慮圓柱半徑對(duì)準(zhǔn)陷波現(xiàn)象的影響，分別取a為0.30、0.35和0.40 m 3種情況進(jìn)行研究。如圖1(a)與表1所示，在每根圓柱內(nèi)外2側(cè)距離柱心1.1a處選取共8個(gè)測(cè)點(diǎn)記錄其位置的波高變化，計(jì)算結(jié)果如圖5所示。從圖中可以看出，當(dāng)入射頻率ω為5.3、6.8、7.8 左右時(shí)各圓柱內(nèi)側(cè)測(cè)點(diǎn)處的波高均出現(xiàn)明顯的峰值。對(duì)應(yīng)地，外側(cè)測(cè)點(diǎn)在該頻率波高較低，波能由圓柱外側(cè)向內(nèi)側(cè)集中，發(fā)生準(zhǔn)陷波現(xiàn)象。上述3個(gè)頻率分別對(duì)應(yīng)著一階、二階和三階準(zhǔn)陷波模態(tài)。圓柱半徑的變化對(duì)圓柱內(nèi)側(cè)測(cè)點(diǎn)的波高產(chǎn)生的影響明顯大于外側(cè)測(cè)點(diǎn)，隨著圓柱半徑的增大，圓柱內(nèi)外2側(cè)波面高度分別增大和減小，意味著更多能量從圓柱外側(cè)向內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)移，更多的能量被“俘獲”在四柱結(jié)構(gòu)中。這是由于圓柱半徑的增加會(huì)導(dǎo)致圓柱側(cè)壁間距離的減小，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)內(nèi)外水體接觸部分降低，增大了“俘獲”效果。

表1 四柱結(jié)構(gòu)附近波高測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)值Table 1 Coordinates of measuring points near the structure

圖5 開敞海域中各測(cè)點(diǎn)處無(wú)因次波高隨頻率變化對(duì)比Fig.5 Variation of wave elevations at typical points under regular wave in open sea area

為了更好地觀察準(zhǔn)陷波現(xiàn)象對(duì)整體波面的影響，給出3組工況下各階準(zhǔn)陷波現(xiàn)象發(fā)生時(shí)結(jié)構(gòu)附近無(wú)因次波高分布，如圖6所示。

從圖6中可以看出，各階準(zhǔn)陷波模態(tài)的主要差異在于圓柱間波高的分布情況。一、二、三階準(zhǔn)陷波模態(tài)分別對(duì)應(yīng)相鄰圓柱間存在1、2、3個(gè)波，且最大波浪振幅總是出現(xiàn)在圓柱內(nèi)側(cè)。結(jié)構(gòu)后方出現(xiàn)明顯的低波高區(qū)域，進(jìn)一步說(shuō)明波能被四柱結(jié)構(gòu)所“俘獲”，無(wú)法傳播到結(jié)構(gòu)后方。相對(duì)而言，二階與三階準(zhǔn)陷波模態(tài)后方波高明顯小于一階準(zhǔn)陷波模態(tài)的情況，這主要是由于高階模態(tài)對(duì)應(yīng)頻率較高，波長(zhǎng)較小，因而結(jié)構(gòu)物遮擋效應(yīng)更為明顯。進(jìn)一步對(duì)圖5與圖6中準(zhǔn)陷波模態(tài)發(fā)生時(shí)圓柱內(nèi)側(cè)波面隨圓柱半徑的變化進(jìn)行研究，根據(jù)文獻(xiàn)[1-3]的理論解，準(zhǔn)陷波模態(tài)對(duì)應(yīng)波數(shù)為kL=nπ，(n=0,1,2,…)，即準(zhǔn)陷波現(xiàn)象發(fā)生頻率只與圓柱間距有關(guān)。但是，根據(jù)本文數(shù)值結(jié)果，半徑的增大可以使準(zhǔn)陷波模態(tài)的頻率向高頻移動(dòng)，且對(duì)高階準(zhǔn)陷波模態(tài)影響較為顯著，如表2所示。這主要是由于理論解基于無(wú)窮多個(gè)圓柱平行放置的假設(shè)，并且在推導(dǎo)過(guò)程中，將圓柱間距轉(zhuǎn)化為水槽寬度。實(shí)際上，圓柱半徑對(duì)準(zhǔn)陷波模態(tài)的影響不可忽略，導(dǎo)致準(zhǔn)陷波現(xiàn)象發(fā)生的關(guān)鍵因素實(shí)際為圓柱側(cè)壁間距。為驗(yàn)證這一結(jié)論，表2給出了準(zhǔn)陷波模態(tài)發(fā)生時(shí)圓柱側(cè)壁間距與波長(zhǎng)的變化，可以看出，不同條件下kl可以更好地滿足nπ的關(guān)系，尤其是對(duì)于圓柱半徑較大的情況。進(jìn)一步對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，三階準(zhǔn)陷波模態(tài)所對(duì)應(yīng)的自振頻率與kl=nπ的關(guān)系相比更遠(yuǎn)，這主要是由于三階準(zhǔn)陷波模態(tài)發(fā)生時(shí)，圓柱間形成的駐波并未在相鄰圓柱中心連線附近，而是偏向于結(jié)構(gòu)的外側(cè)，如圖6(c)、(f)、(i)所示。上述對(duì)比說(shuō)明了圓柱半徑對(duì)準(zhǔn)陷波模態(tài)有顯著影響，不僅導(dǎo)致其自振頻率的變化，也會(huì)導(dǎo)致波面分布特征的改變。

表2 四柱結(jié)構(gòu)各階準(zhǔn)陷波模態(tài)的發(fā)生頻率Table 2 Frequency of different order near-trapped modes of a four-cylinder structure

圖6 開敞海域中準(zhǔn)陷波現(xiàn)象發(fā)生時(shí)四柱結(jié)構(gòu)周圍波面分布Fig.6 Wave distribution around four-cylinder structure when near-trapping phenomenon occurs in open sea area

4 水槽邊壁效應(yīng)對(duì)準(zhǔn)陷波現(xiàn)象的影響

在上述分析的基礎(chǔ)上，對(duì)物理模型實(shí)驗(yàn)中水槽邊壁對(duì)準(zhǔn)陷波模態(tài)的影響進(jìn)行研究，模型布置如圖1(b)所示。以開敞海域下半徑a=0.30 m的四柱結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，考慮該結(jié)構(gòu)在W=7 m寬的水槽中心條件下各測(cè)點(diǎn)的波面變化情況。從圖7中可以看出，在考慮邊壁效應(yīng)的影響后，各測(cè)點(diǎn)波面隨波浪頻率的變化曲線呈現(xiàn)更加劇烈的上下振蕩特征，原開敞海域準(zhǔn)陷波現(xiàn)象發(fā)生頻率處的波高顯著增加，說(shuō)明水槽邊壁效應(yīng)對(duì)準(zhǔn)陷波現(xiàn)象具有顯著影響。

圖7 水槽側(cè)壁對(duì)四柱結(jié)構(gòu)內(nèi)外側(cè)測(cè)點(diǎn)波高變化的影響(r=0.30 m)Fig.7 Influence of sidewall on wave elevations at typical measuring points under regular wave (r=0.3 m)

為對(duì)比不同圓柱半徑條件下水槽邊壁效應(yīng)的影響，圖8給出了3種半徑時(shí)后方圓柱內(nèi)外兩側(cè)測(cè)點(diǎn)波高隨頻率的變化情況。水槽邊壁效應(yīng)對(duì)不同半徑圓柱條件下準(zhǔn)陷波模態(tài)的影響基本相似，各測(cè)點(diǎn)波面隨波浪頻率仍呈現(xiàn)劇烈震蕩特征，且峰值個(gè)數(shù)與發(fā)生頻率基本一致。為進(jìn)一步探索上述現(xiàn)象的原因，水槽寬度為波長(zhǎng)整數(shù)倍時(shí)對(duì)應(yīng)頻率即為水槽橫向自振頻率[13]，表3通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)橫向立波自振頻率與圖8中的波高變化峰值基本對(duì)應(yīng)。進(jìn)一步將結(jié)構(gòu)準(zhǔn)陷波模態(tài)頻率與水槽共振頻率進(jìn)行對(duì)比，可以看出，水槽共振頻率與準(zhǔn)陷波頻率存在耦合作用，一、二、三階準(zhǔn)陷波頻率分別與水槽橫向立波自振頻率的二、四、五階模態(tài)接近，2種共振模態(tài)同時(shí)激發(fā)，導(dǎo)致對(duì)應(yīng)頻率下波高峰值的顯著增加，說(shuō)明水槽物理邊壁對(duì)準(zhǔn)陷波現(xiàn)象具有顯著影響。

表3 水槽橫向共振頻率與準(zhǔn)陷波頻率的對(duì)比Table 3 Frequency of horizontal resonance and near-trapping

圖8 不同圓柱半徑時(shí)水槽側(cè)壁對(duì)后方圓柱內(nèi)外兩側(cè)測(cè)點(diǎn)波高的影響Fig.8 The influence of the side wall of the flume on the wave elevation at typical measuring points of the rear cylinder

進(jìn)一步對(duì)比發(fā)現(xiàn)，盡管圓柱半徑對(duì)準(zhǔn)陷波模態(tài)頻率有一定影響，但總是對(duì)應(yīng)于水槽橫向立波二、四、五階自振頻率，因而水槽邊壁效應(yīng)對(duì)圓柱半徑的影響并不敏感。

為進(jìn)一步考慮水槽側(cè)壁對(duì)準(zhǔn)陷波模態(tài)的影響，圖9給出了水槽側(cè)壁影響下準(zhǔn)陷波現(xiàn)象發(fā)生時(shí)結(jié)構(gòu)周圍的波面分布情況。相比而言，圖6中圓柱附近波浪分布多數(shù)沿圓柱結(jié)構(gòu)±60°方向呈現(xiàn)條狀分布，而圖9中圓柱附近波浪呈現(xiàn)出塊狀分布，尤其是對(duì)于二階與三階準(zhǔn)陷波模態(tài)時(shí)短波的情況，這主要是由于波浪作用于圓柱后繞射波作用在水槽側(cè)壁后反射的結(jié)果。通過(guò)與圖6對(duì)比可以看出，結(jié)構(gòu)附近大波高區(qū)域與小波高區(qū)域分布總體上更加清晰，說(shuō)明邊壁效應(yīng)影響下波能向圓柱內(nèi)側(cè)集中的趨勢(shì)更加明顯。但是，圖6與圖9中所給出不同準(zhǔn)陷波模態(tài)時(shí)最大波高分布基本相同。通過(guò)上述對(duì)比可以看出，與開敞海域相比，由于水槽中邊壁的反射作用導(dǎo)致水槽橫向立波自振模態(tài)的產(chǎn)生，更重要的是，波浪在作用于圓柱以后，由于繞射波受到水槽邊壁的反射作用，導(dǎo)致波浪波能無(wú)法輻射到遠(yuǎn)場(chǎng)，而是集中于水槽內(nèi)向下游傳播，導(dǎo)致圓柱附近波浪運(yùn)動(dòng)顯著增大，且波能向圓柱內(nèi)側(cè)集中的趨勢(shì)更加明顯，這也導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)附近最大波高的增加。

圖9 水槽中四柱結(jié)構(gòu)周圍的波面分布Fig.9 Wave distribution around four-cylinder structure in channel

5 結(jié)論

1)圓柱半徑的變化對(duì)圓柱內(nèi)側(cè)測(cè)點(diǎn)的波高產(chǎn)生的影響明顯大于外側(cè)測(cè)點(diǎn)，發(fā)生準(zhǔn)陷波現(xiàn)象時(shí)此差異更為明顯。圓柱側(cè)壁間距的改變不僅導(dǎo)致準(zhǔn)陷波模態(tài)自振頻率的變化，也會(huì)導(dǎo)致波面分布特征的改變。圓柱側(cè)壁間距離的減小導(dǎo)致結(jié)構(gòu)內(nèi)外水體接觸減少，更多的波能集中到結(jié)構(gòu)內(nèi)側(cè)。

2)與開敞海域相比，水槽中邊壁的反射作用會(huì)導(dǎo)致水槽橫向立波自振模態(tài)的產(chǎn)生。水槽邊壁的反射作用，導(dǎo)致波浪波能無(wú)法輻射到遠(yuǎn)場(chǎng)，導(dǎo)致圓柱附近波浪運(yùn)動(dòng)顯著增大，且波能向圓柱內(nèi)側(cè)集中的趨勢(shì)更加明顯，這也導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)附近最大波浪爬高的增加。

本文的研究工作忽略了圓柱壁附近的流體粘性阻尼和能量耗散對(duì)波面的影響，且實(shí)際情況下海洋平臺(tái)并非一直處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以需要借助Navier-Stokes方程數(shù)值求解實(shí)現(xiàn)更深入的工作，并對(duì)水流和波浪共同作用下的多樁柱式結(jié)構(gòu)水動(dòng)力特性進(jìn)行拓展研究。雖然本文的研究工作尚有不足，但對(duì)開展水槽物理模型試驗(yàn)和優(yōu)化多樁柱式海洋平臺(tái)工程設(shè)計(jì)是具有意義的。