李 雪,王海龍，胡 敏，賈召賽，曹 鑫

（曲阜師范大學(xué)，山東 曲阜 273165）

0 引言

近年來，隨著低維半導(dǎo)體材料的發(fā)展以及分子束外延（MBE）、金屬有機(jī)化合物氣相沉積（MOCVD）等技術(shù)的成熟，人們對低維半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)的制備和表征進(jìn)行了大量的工作。低維半導(dǎo)體材料所具有的獨(dú)特的電、磁、光、力學(xué)等物理特性[1-6]使其在光電器件的制備和應(yīng)用方面展現(xiàn)出很大的潛力[7-20]。其中，Ⅲ-Ⅴ族窄帶隙半導(dǎo)體材料InAs具有電子遷移率高、有效質(zhì)量小和自旋軌道耦合強(qiáng)等特點(diǎn)，是制備高速低功耗電子器件、紅外電子器件和自旋電子器件的理想材料。其異質(zhì)結(jié)構(gòu)InAs/InAlAs系統(tǒng)的導(dǎo)帶不連續(xù)性大，電子有效質(zhì)量小，有利于提高電子量子化程度和電子相干性，適合制備高速、微波甚至毫米波場效應(yīng)器件。

激子效應(yīng)對于半導(dǎo)體光電器件的設(shè)計(jì)與制備有重要影響，因此有不少學(xué)者對激子進(jìn)行了相關(guān)研究[21-25]。與體材料相比，一維量子線中的載流子在二維空間中受限，在三維空間中可以自由移動，即載流子被限制在納米尺度的線性區(qū)域內(nèi)，激子效應(yīng)更強(qiáng)，在半導(dǎo)體激光器、紅外光探測器等器件的制備方面得到了實(shí)際應(yīng)用，引起了研究人員的廣泛關(guān)注。

在之前的工作中，采用變分法已經(jīng)研究了InGaAsP/InP不同結(jié)構(gòu)中的激子態(tài)[26-28]，在此基礎(chǔ)上，本文主要研究InAs/InAlAs圓形截面量子線中的激子態(tài)，并且重點(diǎn)計(jì)算了組分、量子線半徑、電場強(qiáng)度對激子結(jié)合能和發(fā)射能的影響，為InAs/InAlAs光電器件的設(shè)計(jì)提供一定的理論依據(jù)。

1 理論方法

定義量子線長和電場方向沿著z軸，圖1給出了量子線在x-y平面的截面圖。在有效質(zhì)量包絡(luò)函數(shù)近似下，激子體系的哈密頓量可以表示為：

圖1 x-y平面內(nèi)InAs/InAlAs量子線的橫截面

式中，He(h)代表電場作用下的電子（空穴）的哈密頓量，這兩項(xiàng)的具體形式為：

式中，R是量子線半徑。

He-h是電子-空穴的相互作用項(xiàng)（包括電子和空穴在x-y平面內(nèi)相對運(yùn)動的動能和電子與空穴之間的庫侖勢能），即：

式中，P⊥表示相對運(yùn)動平面上的動量算符，μ是x-y平面的約化質(zhì)量，ε為材料的介電常數(shù)，r是電子和空穴之間的距離，可分別寫為：

試探波函數(shù)采用如下形式[29]：

式中，ψe(re)和ψh(rh)是電子和空穴的本征函數(shù)，滿足方程：

ψr是一種類氫波函數(shù)，代表電子與空穴的相互作用，表達(dá)式為：

式中，λ是波爾半徑，作為變分參數(shù)來最小化系統(tǒng)的總能量，r′代表相對運(yùn)動，形式為：

激子體系滿足薛定諤方程：

綜上，總的激子能量的期望值為：

2 結(jié)果與討論

研究對象為InAs/InxAl1-xAs量子線中的重空穴激子，計(jì)算過程中帶階取為67:33，其他物理參數(shù)與In組分x的關(guān)系為[30]：

圖2 不同電場強(qiáng)度下InAs/In0.95Al0.05As量子線中量子限制勢和波函數(shù)隨位置的變化

圖2所示為不同電場強(qiáng)度下InAs/In0.95Al0.05As量子線中量子限制勢和波函數(shù)的變化，可以看出，加入電場后，量子限制勢的對稱性被破壞，并且這種變化是線性的，與式（2）和式（3）中項(xiàng)有關(guān)。還可以看出，電場的存在使波函數(shù)發(fā)生了右移，這表示電子更容易向右穿透勢壘。此外，電場強(qiáng)度越大，量子限制勢和波函數(shù)的變化越明顯。

圖3顯示了不同量子線半徑下電子和空穴分離的非相關(guān)概率的變化情況。非相關(guān)概率是指沿著生長軸找到間隔為一定距離的電子和空穴的不相關(guān)概率（也就是在計(jì)算過程中可以忽略電子-空穴庫侖相互作用）。可以看出，隨著量子線半徑的增大，非相關(guān)逐漸減小，并且電子與空穴之間的距離越小，非相關(guān)概率的變化越快。這是因?yàn)殡娮雍涂昭ㄖg的距離越大，庫侖相互作用就越弱，非相關(guān)概率變小。此外，由于庫侖相互作用與粒子間距離的平方成反比，因此距離越小，非相關(guān)概率變化得越快。

圖3 不同半徑下InAs/In0.95Al0.05As量子線中非相關(guān)概率隨距離的變化

圖4顯示了電場為0 kV/cm和5 kV/cm時(shí)，不同Al組分下的激子結(jié)合能與量子線半徑的變化關(guān)系。從圖4（a）中可以看出，激子結(jié)合能隨量子線半徑的減小呈現(xiàn)先增大后減小的變化趨勢，在4 nm左右出現(xiàn)最大值。這是因?yàn)榘霃綇妮^大值開始減小時(shí)，波函數(shù)被壓縮，量子線對粒子的限制作用變強(qiáng)，導(dǎo)致電子和空穴之間的距離變小，從而激子結(jié)合能開始增大。當(dāng)半徑減小到4 nm左右時(shí)，電子和空穴之間的庫侖相互作用和量子限制作用最強(qiáng)，因此激子結(jié)合能出現(xiàn)最大值。隨著半徑的繼續(xù)減小，量子線對粒子的限制作用開始減弱，系統(tǒng)的波函數(shù)開始向勢壘中滲透，使得電子和空穴之間的庫侖相互作用變?nèi)?，激子結(jié)合能逐漸減小。此外，從圖4（a）中還可以看出，Al組分含量越高，激子結(jié)合能越大，這是因?yàn)锳l組分含量的增加導(dǎo)致了更大的帶隙，提高了量子限制效應(yīng)。圖4（b）與圖4（a）的變化趨勢基本一致，5 kV/cm的電場對激子結(jié)合能的影響不是很大。為了更明顯地看到二者的差別，圖4（c）給出了二者的差值，可以看到激子結(jié)合能的變化為0～0.75 meV，并且只有在量子線半徑過小或過大時(shí)，這種差異才較為明顯，這是因?yàn)楫?dāng)量子線半徑很小或很大時(shí)，電場效應(yīng)占主導(dǎo)地位。

圖5給出了不同電場強(qiáng)度下InAs/In0.95Al0.05As量子線中激子結(jié)合能與半徑的關(guān)系。可以看出，當(dāng)F取0 kV/cm、5 kV/cm以及10 kV/cm時(shí)，激子結(jié)合能隨量子線半徑的減小都呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，這是因?yàn)橥饧与妶鲚^小時(shí)對量子限制勢和波函數(shù)影響較小，所以電子和空穴受到的影響也較小，激子結(jié)合能變化趨勢一致。而當(dāng)F取50 kV/cm時(shí)，激子結(jié)合能不再隨半徑的變化而變化，這是因?yàn)殡妶鲈酱?，電子和空穴之間的庫侖相互作用越弱，激子效應(yīng)被破壞，激子結(jié)合能變得非常小，并且電場對激子的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過量子線半徑對激子的影響。

圖4 不同Al組分下激子結(jié)合能隨量子線半徑的變化和激子結(jié)合能的差值

圖5 不同電場強(qiáng)度下InAs/In0.95AL0.05As量子線中激子結(jié)合能隨量子線半徑的變化

圖6為InAs/In0.95Al0.05As量子線取不同半徑時(shí)激子結(jié)合能隨電場強(qiáng)度的變化情況?？梢钥闯?，激子結(jié)合能隨電場強(qiáng)度的增加呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢，并且量子線的半徑越大，這種變化越明顯。這是因?yàn)榱孔泳€半徑越大，對載流子的約束作用越小，電子和空穴之間的庫侖相互作用越弱，因此激子更容易受到外加電場的影響。然而在量子線半徑較小的情況下，電子和空穴之間的庫侖相互作用較強(qiáng)，在一定程度上克服了電場的影響，激子結(jié)合能變化不大。

圖6 不同InAs/In0.95Al0.05As量子線半徑下激子結(jié)合能隨電場強(qiáng)度的變化

圖7給出了發(fā)射能與量子線半徑以及外加電場強(qiáng)度的關(guān)系。從圖中可以清楚地看到，發(fā)射能隨著量子線半徑和電場強(qiáng)度的增加而減小，這是因?yàn)楫?dāng)量子線半徑或電場強(qiáng)度增加時(shí)，粒子的能級變低，有效帶隙減小，所以發(fā)射能減小。

圖7 InAs/In0.95Al0.05As量子線中發(fā)射能隨電場強(qiáng)度和量子線半徑的變化

3 結(jié)語

本文在有效質(zhì)量近似下采用變分法計(jì)算了InAs/InxAl1-xAs量子線中的激子結(jié)合能和發(fā)射能，考慮了組分和量子線半徑取不同值的情況，同時(shí)也討論了外加電場對激子結(jié)合能、發(fā)射能的影響。從計(jì)算結(jié)果可以看出,由于庫侖相互作用和量子限制作用的變化,激子結(jié)合能隨量子線半徑的減小呈現(xiàn)先增加后減小的趨勢，在4 nm左右出現(xiàn)最大值；Al組分的增加引起帶隙的增加，從而導(dǎo)致激子結(jié)合能增加；較小的電場對激子結(jié)合能的影響不大，然而當(dāng)電場較大時(shí)會破壞激子效應(yīng)，降低激子結(jié)合能；量子線半徑或電場強(qiáng)度的增大都會使發(fā)射能減小。計(jì)算結(jié)果可以為InAs/InAlAs光電器件的設(shè)計(jì)提供一定的理論依據(jù)。