經(jīng)來(lái)旺,陳飛宇,經(jīng) 緯,郝朋偉,趙 翔
(安徽理工大學(xué) 力學(xué)與光電物理學(xué)院,安徽 淮南 232001)
巷道圍巖變形分區(qū)的彈塑性分析由來(lái)已久,早期的FENNER和KASTNER將圍巖視作理想彈塑性材料,基于Mohr-Coulomb(M-C)準(zhǔn)則和彈塑性兩分區(qū)模型求得了塑性區(qū)圍巖應(yīng)力及半徑的解析解;張小波、曾錢幫等[1,2]分別基于Drucker-Prager準(zhǔn)則和Hoek-Brown準(zhǔn)則求得了彈塑性兩分區(qū)模型圓形巷道(硐室)圍巖的理想彈塑性解析解。近年來(lái),隨著巷道埋深的增加,圍巖峰后階段的應(yīng)變軟化和擴(kuò)容特性的影響已不容忽視,部分學(xué)者考慮上述因素的影響[3,4],基于彈塑性三分區(qū)模型展開(kāi)研究,取得了若干重要的研究成果。然而在上述及若干相關(guān)研究中所依據(jù)的理論分析模型中圍巖的峰值應(yīng)力常是巖石的瞬時(shí)極限強(qiáng)度[5-11],沒(méi)有考慮巖石材料顯著的蠕變特性的影響。實(shí)際上,在現(xiàn)有的大量的工程軟巖和地質(zhì)軟巖巷道中,圍巖進(jìn)入塑性狀態(tài)后常發(fā)生不同程度的蠕變變形,待巷道穩(wěn)定后圍巖的峰值應(yīng)力將不再是巖石的瞬時(shí)極限強(qiáng)度[12,13]。文獻(xiàn)[12]認(rèn)為巷道變形在巖石的蠕變特性的影響下趨于穩(wěn)定后圍巖的峰值應(yīng)力應(yīng)為對(duì)應(yīng)圍壓下巖石的長(zhǎng)期強(qiáng)度值,并分別以對(duì)應(yīng)圍壓下巖石的穩(wěn)定蠕變上、下閾值和殘余強(qiáng)度作為圍巖各分區(qū)應(yīng)力的臨界值構(gòu)建了4階段應(yīng)變軟化模型,基于M-C準(zhǔn)則求得了各分區(qū)圍巖的彈塑性統(tǒng)一解析解。然而該領(lǐng)域目前存在考慮中間主應(yīng)力和不考慮中間主應(yīng)力的兩大研究體系,文獻(xiàn)[12]的研究是基于M-C準(zhǔn)則展開(kāi)的,屬于不考慮中間主應(yīng)力的研究體系。而工程實(shí)際和理論研究均表明中間主應(yīng)力對(duì)圍巖的應(yīng)力和變形分布規(guī)律有重要影響[7,8,13]。為此,基于統(tǒng)一強(qiáng)度理論討論圍巖變形分區(qū)彈塑性新解,并結(jié)合工程實(shí)例對(duì)比分析蠕變和中間主應(yīng)力對(duì)圍巖應(yīng)力與變形分布規(guī)律的影響。
力學(xué)模型如圖1所示。為便于研究假設(shè)圍巖為連續(xù)、勻質(zhì)、各向同性材料;巷道開(kāi)挖斷面為圓形,開(kāi)挖半徑為Rr;原巖應(yīng)力σ0與支護(hù)阻力Pi均為均布?jí)毫?;?cè)壓系數(shù)λ=1;巷道無(wú)限長(zhǎng)度可按照平面應(yīng)變問(wèn)題對(duì)待。巷道變形穩(wěn)定后,圍巖中出現(xiàn)彈性區(qū)e、塑性軟化區(qū)s和塑性流動(dòng)區(qū)w。圍巖的變形狀態(tài)與該點(diǎn)的切向應(yīng)力和徑向應(yīng)力有關(guān):當(dāng)切向應(yīng)力達(dá)到對(duì)應(yīng)徑向應(yīng)力(圍壓)巖石的長(zhǎng)期強(qiáng)度時(shí),圍巖出現(xiàn)塑性軟化狀態(tài);當(dāng)切向應(yīng)力達(dá)到對(duì)應(yīng)徑向應(yīng)力(圍壓)巖石的殘余強(qiáng)度時(shí)圍巖出現(xiàn)塑性流動(dòng)狀態(tài)[12]。
圖1 力學(xué)模型
董方庭、鄭穎人等[14,15]學(xué)者的研究表明圍巖峰后階段的軟化主要與粘聚力c有關(guān)。粘聚力c的軟化模型如圖2所示。
圖2 粘聚力的變化規(guī)律
cs=c0-Mc[(εθ)r=Rs-εθs]
(1)
求得的相應(yīng)的應(yīng)變的解析解,最終得:
式中,K為比例系數(shù),K=Rs/Rw,Rs和Rw分別為塑性軟化區(qū)和塑性流動(dòng)區(qū)半徑,m;ηs為塑性軟化區(qū)圍巖的擴(kuò)容系數(shù),ηs=(1+sinψ)/(1-sinψ),ψ為塑性軟化區(qū)圍巖的擴(kuò)容角,(°)。本例中圍巖的塑性流動(dòng)遵循關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則,數(shù)值上內(nèi)摩擦角φ與膨脹角ψ相等。
巖石材料在塑性變形階段不適用金屬等材料的體積不變假設(shè)。研究表明可用圖3所示的擴(kuò)容模型反映圍巖塑性階段的變形特性[3-5]。
圖3 擴(kuò)容模型
在塑性軟化區(qū)內(nèi):
在塑性流動(dòng)區(qū)內(nèi):
統(tǒng)一強(qiáng)度理論由雙剪理論發(fā)展而來(lái),考慮了中間主應(yīng)力對(duì)材料破壞的影響,適用于巖石類材料,主應(yīng)力表達(dá)式為[7,16]:
式中,σ1、σ2和σ3分別為第一、第二和第三主應(yīng)力,MPa;b為統(tǒng)一強(qiáng)度理論參數(shù),主要反映中間主應(yīng)力的影響程度,且0≤b≤1;c為巖石的粘聚力,MPa;φ為巖石的內(nèi)摩擦角,(°)。
本例中,切向應(yīng)力σθ為第一主應(yīng)力、徑向應(yīng)力σr為第三主應(yīng)力、第二主應(yīng)力用σz表示。在平面應(yīng)變狀態(tài)下σz=(σθ+σr)/2[7],第一、二、三主應(yīng)力滿足判別式(6),得到適用于本例的統(tǒng)一強(qiáng)度理論的表達(dá)式為:
σθ=Nσr+S
(7)
巷道變形穩(wěn)定后,圍巖應(yīng)力滿足平衡微分方程,變形滿足幾何方程。結(jié)合本例特點(diǎn),求解過(guò)程適宜在極坐標(biāo)系中進(jìn)行。極坐標(biāo)系中,應(yīng)力平衡微分方程為:
dσr/dr+(σr-σθ)/r=0
(8)
幾何方程為:
εr=du/dr;εθ=u/r
(9)
式中,εr和εθ分別徑向應(yīng)變和切向應(yīng)變;u為位移,mm。
本例中側(cè)壓系數(shù)λ=1。力學(xué)模型遠(yuǎn)處受均布原巖應(yīng)力作用,近處受均布支護(hù)壓力作用。參照彈塑性力學(xué)中的厚壁圓筒力學(xué)模型的解析過(guò)程得彈性區(qū)圍巖應(yīng)力、應(yīng)變和位移的解析解為:
{ue=(σ0-σrp)R2sr-1/2G
(12)
式中,σ0為原巖應(yīng)力,MPa;σrp為彈性區(qū)與塑性軟化區(qū)交界處的徑向應(yīng)力,MPa;Rs為塑性軟化區(qū)半徑,m;G為圍巖的剪切模量,GPa。
2.2.1 塑性軟化區(qū)外邊界處應(yīng)力解析
依據(jù)應(yīng)力連續(xù)邊界條件,塑性軟化區(qū)外邊界處圍巖的徑向應(yīng)力大小為σrp,切向應(yīng)力設(shè)為σθp,則σrp=(σre)r=Rs;σθp=(σθe)r=Rs,進(jìn)一步得σrp+σθp=2σ0,同時(shí)如前文所述:σθp為對(duì)應(yīng)徑向應(yīng)力σrp(圍壓)圍巖的長(zhǎng)期強(qiáng)度,即[12]:
σθp=Nσrp+S0
(13)
聯(lián)立式(13)和σθp+σrp=2σ0得:
式中,σθp為彈性區(qū)與塑性軟化區(qū)交界處的切向應(yīng)力,MPa。
2.2.2 塑性軟化區(qū)內(nèi)應(yīng)力解析
塑性軟化區(qū)內(nèi)圍巖的粘聚力滿足式(1),另聯(lián)立統(tǒng)一強(qiáng)度理論式(7)和應(yīng)力平衡微分方程式(8),并結(jié)合應(yīng)力邊界條件:(σrs)r=Rs=σrp,得塑性軟化區(qū)應(yīng)力的解析解為:
2.2.3 塑性軟化區(qū)位移及應(yīng)變解析
塑性軟化區(qū)圍巖的總應(yīng)變由彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變共同組成[8,13],可表示為:
式中,εrs和εθs為塑性軟化區(qū)的徑向和切向總應(yīng)變;(εre)r=Rs和(εθe)r=Rs為塑性軟化區(qū)外邊界處的徑向和切向彈性應(yīng)變。
聯(lián)立應(yīng)變?cè)隽筷P(guān)系式(3)、幾何方程式(9)和彈性應(yīng)變解析式(11)得塑性軟化區(qū)位移協(xié)調(diào)方程為:
dus/dr+ηsus/r=T(ηs-1)
(17)
式中,us為塑性軟化區(qū)位移,mm;T為中間變量且T=(σ0-σrp)/2G。
求解式(17)并結(jié)合位移邊界條件:(us)r=Rs=(ue)r=Rs,得塑性軟化區(qū)圍巖的位移的解析解為:
式中,D1和D2為中間變量,D1=(ηs-1)/(ηs+1);D2=2/(ηs+1)。
另由幾何方程得應(yīng)變的解析解為:
2.3.1 塑性流動(dòng)區(qū)應(yīng)力解析
塑性流動(dòng)區(qū)圍巖的粘聚力為常數(shù),聯(lián)立統(tǒng)一強(qiáng)度理論式(7)和應(yīng)力平衡微分方程式(8),并結(jié)合應(yīng)力邊界條件:(σrw)r=Rr=Pi,得塑性軟化區(qū)應(yīng)力的解析解為:
式中,σrw和σθw分別為塑性流動(dòng)區(qū)的徑向和切向應(yīng)力,MPa;Pi為支護(hù)阻力,MPa;Mw為中間變量,Mw=Sw/(1-N)。
2.3.2 塑性流動(dòng)區(qū)位移及應(yīng)變解析
塑性流動(dòng)區(qū)圍巖的總應(yīng)變主要由塑性應(yīng)變組成[8,9]。聯(lián)立應(yīng)變?cè)隽筷P(guān)系式(4)和幾何方程式(9)得塑性流動(dòng)區(qū)位移協(xié)調(diào)方程為:
duw/dr+ηwuw/r=0
(21)
式中,uw為塑性流動(dòng)區(qū)位移,mm。
求解式(21)并根據(jù)位移邊界條件:(us)r=Rw=(uw)r=Rw,得塑性流動(dòng)區(qū)位移的解析解為:
另由幾何方程得應(yīng)變的解析解為:
式中,εrw和εθw分別為塑性流動(dòng)區(qū)的徑向和切向應(yīng)變。
確定圍巖變形分區(qū)范圍即確定Rw和Rs。塑性軟化區(qū)與流動(dòng)區(qū)交界處圍巖的徑向應(yīng)變和徑向應(yīng)力滿足連續(xù)性條件[10],即:(εrs)r=Rw=(εrw)r=Rw;(σrs)r=Rw=(σrw)r=Rw。聯(lián)立應(yīng)變解析式(19)和式(23)中的第一式得:
聯(lián)立應(yīng)力解析式(15)和式(20)中的第一式得:
將Rw代入式(24)中得:
Rs=KRw
(26)
淮南礦區(qū)潘一東礦-848m充電整流硐室開(kāi)挖半徑Rr=2.95m,初始地應(yīng)力為21.861MPa,距硐室軸線15m范圍內(nèi)為同一巖層,巖層鉆孔窺視儀觀測(cè)顯示距硐室軸線5.5~15m范圍內(nèi)圍巖均質(zhì)完整無(wú)破裂帶,以初始地應(yīng)力作為原巖應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算;室內(nèi)實(shí)驗(yàn)測(cè)得圍巖彈性模量E=4.01GPa,泊松比μ=0.25,內(nèi)摩擦角φ=27.83。圍巖瞬時(shí)極限強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的初始粘聚力為11.753MPa,考慮蠕變時(shí),由圖解法求得圍巖的長(zhǎng)期強(qiáng)度和殘余強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的粘聚力為5.578MPa和0.724MPa。
為了探究蠕變的影響,分別將巷道圍巖的瞬時(shí)極限強(qiáng)度和相應(yīng)的長(zhǎng)期強(qiáng)度作為圍巖的峰值應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算,兩種強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的初始粘聚力分別為11.753MPa和5.578MPa。另取b=0,此時(shí)統(tǒng)一強(qiáng)度退化為M-C準(zhǔn)則;支護(hù)阻力pi=0.25MPa;塑性流動(dòng)區(qū)圍巖的擴(kuò)容系數(shù)ηw=1.3。計(jì)算結(jié)果表明:當(dāng)以瞬時(shí)極限強(qiáng)度作為圍巖的峰值應(yīng)力時(shí),塑性流動(dòng)區(qū)和塑性軟化區(qū)圍巖的半徑分別為2.92m和3.05m,相比于硐室開(kāi)挖半徑2.95m,說(shuō)明圍巖中不存在塑性流動(dòng)區(qū)而塑性軟化區(qū)范圍僅為0.1m,兩者皆與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)結(jié)果相差較大;而當(dāng)考慮蠕變的影響,以相應(yīng)的長(zhǎng)期強(qiáng)度作為圍巖的峰值應(yīng)力時(shí),塑性流動(dòng)區(qū)和軟化區(qū)圍巖的半徑分別為5.21m和5.68m,與距硐室軸線5.5m范圍內(nèi)為松動(dòng)圈的現(xiàn)場(chǎng)探測(cè)結(jié)果基本一致。兩種峰值應(yīng)力條件下圍巖的應(yīng)力和位移分布狀態(tài)對(duì)比分別如圖4、圖5所示。由圖4、圖5可知:當(dāng)忽略蠕變的影響時(shí),距巷道內(nèi)壁一定范圍內(nèi),圍巖的應(yīng)力與位移呈彈性分布狀態(tài),兩種強(qiáng)度條件下,距硐室軸線5.68m范圍外均為彈性區(qū),但當(dāng)忽略蠕變影響時(shí),彈性區(qū)圍巖第三主應(yīng)力(σr)偏大而第一主應(yīng)力(σθ)和位移偏小,此時(shí)圍巖更不容易破壞,一定程度上高估了圍巖巖性。
圖4 巷道圍巖的應(yīng)力分布
圖5 巷道圍巖的位移分布
由式(18)、式(22)、式(25)和式(26)可知,進(jìn)入塑性狀態(tài)的圍巖位移與分布范圍與中間主應(yīng)力影響程度參數(shù)b有重要關(guān)系。圍巖位移與塑性流動(dòng)區(qū)半徑隨b變化的曲線如圖6、圖7所示。其中,當(dāng)b取不同數(shù)值時(shí)圍巖位移均在硐室內(nèi)壁位置(橫軸原點(diǎn)位置)達(dá)到最大值,且沿圍巖深部方向而逐漸減??;實(shí)際中深部圍巖較淺部圍巖受開(kāi)挖、支護(hù)、采動(dòng)等擾動(dòng)影響的程度很小,其位移自然較淺部圍巖位移小得多。同一位置處圍巖的位移除與原巖應(yīng)力和圍巖巖性等影響因素有關(guān)外還與參數(shù)b有密切聯(lián)系,且當(dāng)參數(shù)b較大時(shí)圍巖的位移較小,如圖6所示,正如前文所述,參數(shù)b反映的正是中間主應(yīng)力的影響程度,當(dāng)b取值越大時(shí)表示中間主應(yīng)力影響程度越大。同樣的塑性流動(dòng)區(qū)半徑與參數(shù)b也有類似關(guān)系,如圖7所示。總之,中間主應(yīng)力對(duì)塑性圍巖的位移級(jí)塑性流動(dòng)區(qū)范圍的擴(kuò)展能有明顯的抑制作用[1,13]。
圖6 巷道圍巖的位移變化
圖7 塑性流動(dòng)區(qū)半徑變化
1)巷道圍巖塑性區(qū)的擴(kuò)展與變形受圍巖峰后階段的擴(kuò)容特性、軟化特性、蠕變特性和中間主應(yīng)力等諸多因素的影響,其中以受蠕變特性因素的影響更為顯著,而當(dāng)以一定圍巖下巖石的長(zhǎng)期強(qiáng)度作為圍巖的峰值應(yīng)力時(shí),一定程度上考慮了蠕變因素的影響,并通過(guò)工程實(shí)例驗(yàn)證了其合理性與適用性。
2)中間主應(yīng)力能夠抑制塑性流動(dòng)區(qū)的擴(kuò)展與圍巖的變形,增大中間主應(yīng)力有利于增強(qiáng)支護(hù)效果和提高巷道的長(zhǎng)期穩(wěn)定性,可將其作為一種支護(hù)設(shè)計(jì)思路。