胡常青，趙京瑞，孫雪嬌，李清洲，唐軍武

(1.青島海洋科學(xué)與技術(shù)試點國家實驗室，青島266237;2.北京航天控制儀器研究所，北京100039)

0 引言

無人水面艇(Unmanned Surface Vehicle,USV)運動數(shù)學(xué)模型是USV系統(tǒng)分析和設(shè)計的基礎(chǔ),高精度的數(shù)學(xué)模型不僅可以準(zhǔn)確預(yù)報USV的運動狀態(tài),同時對設(shè)計自主控制器也有著重要的意義。在模型結(jié)構(gòu)方面,目前已有分離型[1]、整體型[2]、響應(yīng)型[3]、時間序列[4]等多種模型結(jié)構(gòu)形式。為了辨識其中的參數(shù),已經(jīng)有多種系統(tǒng)辨識方法被提出,如最小二乘法、極大似然估計法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、嶺回歸分析法和遺傳算法等[5]。其中,最小二乘算法以計算簡單、快速、準(zhǔn)確性高、在線易辨識等優(yōu)勢被廣泛使用。

陳霄等[6]針對辨識參數(shù)中的相消問題,提出了分布式最小二乘法,減少了辨識參數(shù)的相互抵消現(xiàn)象,但該算法并未考慮USV所受外部噪聲對模型參數(shù)的影響,因而所辨識的參數(shù)仍會產(chǎn)生攝動。孫功武等[7]提出了一種動態(tài)遺忘因子遞推的最小二乘方法,抑制了外部噪聲對辨識參數(shù)精度的影響,但該方法解決的是大噪聲下的模型參數(shù)攝動問題,對小干擾噪聲的影響仍未解決。Zhu等[8]為提高最小二乘算法的魯棒性,使用自適應(yīng)最小二乘辨識方法,雖然提高了算法在多種環(huán)境下的適應(yīng)性,但USV模型參數(shù)辨識時易受噪聲的影響并未改善。為了提高辨識收斂速度,Xu等[9]使用最小二乘支持向量機(jī)方法提高了在線辨識速度與參數(shù)收斂速度,實驗結(jié)果表明該算法在小噪聲干擾下具有更快的收斂速度與收斂性,但該方法僅在流速緩慢的內(nèi)河流域進(jìn)行了證明,在復(fù)雜海洋環(huán)境下的適應(yīng)性還未進(jìn)行驗證。

本文以USV的時間序列分析模型為辨識對象,考慮USV在海洋環(huán)境下實際運動中所受噪聲為有色噪聲的情況,提出了一種輔助變量最小二乘算法(Recursive Least Squares Algorithm with Auxiliary Variables,RIV)辨識模型參數(shù),并與其他幾種常用的最小二乘算法進(jìn)行對比,通過仿真與多次實船實驗驗證了在有色噪聲干擾下該辨識算法的有效性。

1 USV時間序列分析模型

根據(jù)野本謙作的研究,常用Nomoto模型的二階線性方程為[10]

式(1)中,K為回轉(zhuǎn)性指數(shù),T1、T2、T3為應(yīng)舵指數(shù),r為USV的轉(zhuǎn)艏角速度,δ為舵角,δ0為偏差舵角。由于轉(zhuǎn)艏角速度、角加速度等信息量不易直接獲取,且最小二乘法更適合辨識差分方程形式的模型,因此對式(1)采取后向差分處理,同時對轉(zhuǎn)艏角速度等物理量進(jìn)行積分處理,所對應(yīng)的差分方程為

式(2)中,y(k)=ψ(k)-ψ(k-1),u(k-2)=δ(k-2),c=(b1+b2)δ0。利用方程轉(zhuǎn)換法[10]將式(1)和式(2)做等價轉(zhuǎn)換,得到如下等價關(guān)系

但是,分析式(2)可以看出,模型中并未加入噪聲對模型輸出的影響,所得到的估計值與實際值之間會存在由于噪聲引起的偏差,影響辨識精度。在式(2)的基礎(chǔ)上加入噪聲量后,得到一種時間序列分析模型

式(4)中,ψ為實際航向角,δ為輸入舵角,e為外部噪聲,d為純延遲步數(shù),ai與bj分別為需要辨識的參數(shù)。因此,USV此時的航向角可由之前時刻的航向角與輸入舵角直接計算得出。模型中的相關(guān)參數(shù)將直接影響模型預(yù)測的輸出,因此如何準(zhǔn)確獲取其中的模型參數(shù)成為了準(zhǔn)確構(gòu)建該模型的關(guān)鍵。

2 輔助變量最小二乘算法

最小二乘算法通過尋找一組模型參數(shù)估計值,使各次測量的真實值與由估計參數(shù)所確定的模型輸出之間誤差的平方和最小。由于最小二乘算法的固有缺陷,當(dāng)外部噪聲為有色噪聲時,最小二乘算法最終的計算結(jié)果是 “有偏的”,即參數(shù)辨識值偏離真值,這也將直接影響模型(式(4))的預(yù)測輸出。此外,USV所受外部噪聲無法被直接測量,更無法對噪聲模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行構(gòu)造。因此,本文提出使用輔助變量對最小二乘算法進(jìn)行改進(jìn),在不需要獲取噪聲量的前提下對USV的時間序列模型參數(shù)進(jìn)行辨識,以期獲得參數(shù)的無偏一致估計。

3 仿真驗證

為了驗證有色噪聲對辨識參數(shù)的影響,同時對比輔助變量對最小二乘算法的改進(jìn),本文設(shè)計了如下仿真實驗,設(shè)定需辨識的模型結(jié)構(gòu)為

式(19)中的噪聲模型為

在設(shè)定辨識參數(shù)值時,參數(shù)值的變化主要影響最大超調(diào)量的大小,其最終過程一般都會收斂于所設(shè)定的參數(shù)值。因此,為了體現(xiàn)辨識參數(shù)的變化過程,本文選取小于2的模型參數(shù)進(jìn)行辨識,具體參數(shù)設(shè)置為:a1=-1.5、a2=0.7、b1=1、b2=0.5、c1=0.5、c2=0.2,v為零均值的隨機(jī)噪聲,取計算次數(shù)為150次。仿真實驗中,本文分別采用一次計算最小二乘算法(LS)、遞推最小二乘算法(RLS)以及本文所提出的RIV算法,其仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 辨識結(jié)果對比Fig.1 Comparison of identification results

由于LS屬于一次計算方法,其參數(shù)辨識值僅通過一次計算得出,因而無法在圖1中體現(xiàn)可獲取到辨識值的計算變化過程。圖1中,兩條星型橫線分別代表真實參數(shù)±10%的誤差帶,設(shè)定當(dāng)辨識值進(jìn)入到該誤差帶內(nèi)并且此后參數(shù)變化一直在該誤差帶內(nèi),即視為參數(shù)辨識值辨識收斂,并將最后一次進(jìn)入誤差帶的計算次數(shù)視為收斂次數(shù)。此外,為了衡量辨識算法的穩(wěn)定性,本文使用均方根誤差(RMS)對參數(shù)變化較為緩慢的第50～150次時的辨識偏差進(jìn)行計算,最終計算結(jié)果如表1所示。

表1 辨識計算結(jié)果Table 1 Results of identification calculation

如表1所示,LS的最小辨識誤差為16.7%(a1),而其余三個參數(shù)(a2、b1、b2)的辨識誤差都在20%以上。與其他兩種算法相比,LS的辨識結(jié)果較差。同時,由于該算法涉及到高維矩陣的求逆運算,故計算時間也相對較長。對比 RLS與RIV的計算結(jié)果,由于受到有色噪聲的影響,RLS容易產(chǎn)生辨識值 “有偏”情況,同時對噪聲干擾也更為敏感,導(dǎo)致RLS的辨識誤差更大,最大誤差可達(dá)31.2%。與之相比,RIV的最大辨識誤差僅為4.5%,減小了有色噪聲對辨識參數(shù)的影響。對比RLS和RIV的RMS值與收斂次數(shù),并結(jié)合圖1所示,有色噪聲對RIV所辨識的參數(shù)影響更小,所辨識的參數(shù)基本在80次以內(nèi)實現(xiàn)收斂。并且RLS與RIV的計算時間相差不大,但相比于LS,其計算時間已經(jīng)有了很大提升。

綜上所述,在仿真階段,RIV可以在不考慮外部有色噪聲模型的前提下快速、準(zhǔn)確地完成模型參數(shù)的辨識,并完成辨識參數(shù)的一致性估計,具有一定的實用價值。

4 實驗驗證

在仿真分析的基礎(chǔ)上,為了驗證本文算法對USV時間序列模型的實際辨識效果,本文在威海某海域一級海況條件下進(jìn)行了航行實驗。在實驗過程中保持USV以8kn航速勻速航行,航行軌跡為矩形,設(shè)定采樣時間間隔為0.5s,采集運行時的舵角與航向角信息。根據(jù)式(3)的對應(yīng)關(guān)系,設(shè)na=2、nb=2、nd=1、d=1。實驗過程中,采用LS、RLS與RIV分別對模型參數(shù)進(jìn)行辨識,辨識結(jié)果如圖2所示。

圖2 實船實驗辨識結(jié)果Fig.2 Identification results of real ship experiment

如圖2所示,將RIV與RLS的辨識結(jié)果進(jìn)行對比,可以發(fā)現(xiàn)在實際情況下,RIV可以更加快速、準(zhǔn)確地到達(dá)參數(shù)收斂值附近,且整個過程的參數(shù)波動性更小,其詳細(xì)計算數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 參數(shù)辨識結(jié)果Table 2 Results of parameter identification

如表2所示,除LS辨識值是一次計算得來的以外,RLS與RIV的辨識值都是通過對第50～150次的辨識結(jié)果求和平均得來的,收斂時間則是根據(jù)第3章中10%誤差帶方法計算得出的。與RLS相比,RIV的辨識收斂時間減少約50%。而RLS所辨識的參數(shù)由于對噪聲較為敏感,容易出現(xiàn)較大的抖動以致無法長時間收斂。在計算RMS時,誤差值的來源是將第50～150次辨識結(jié)果與每一次的辨識值做差,代表著參數(shù)較穩(wěn)定時噪聲對辨識結(jié)果產(chǎn)生的影響。通過計算結(jié)果對比可以看出,在實際情況下,RIV對USV所受噪聲干擾的敏感度更低,其參數(shù)收斂性更好。與RLS相比,其整體性能提高約一倍左右,實驗結(jié)果符合第3章的仿真結(jié)果。

為了驗證所辨識參數(shù)的有效性,本文將上述參數(shù)辨識結(jié)果添加到USV時間序列分析模型中,得到

式(21)中,ψLS、ψRLS、ψRIV為由 USV 之前時刻真實舵角信息與航向信息計算得到的下一時刻的航向預(yù)報,ψ為每一時刻真實采集的航向角信息,δ為舵角信息。將USV保持8kn航速在同一海域、同一海況條件下進(jìn)行Z型航跡跟蹤實驗并采集數(shù)據(jù),采集頻率為2Hz。將采集到的數(shù)據(jù)添加至式(21)中計算出每一時刻信息采集后下一時刻的航向角預(yù)報信息,并將預(yù)報信息與實際航向角做差,得到航向角的預(yù)報曲線與誤差曲線,如圖3所示。

圖3 實際航向角預(yù)報曲線Fig.3 Prediction curves of actual heading angle

如圖3(a)所示,LS、RLS與RIV所辨識的參數(shù)都可以較為準(zhǔn)確地完成對航向角的預(yù)報。但在航向角預(yù)報誤差方面,通過圖3(b)所示,RIV辨識參數(shù)所構(gòu)造的模型預(yù)報誤差更小,預(yù)報準(zhǔn)確性更高。通過計算三種算法預(yù)報航向角誤差的RMS,LS、 RLS 和 RIV 分 別為 1.4314°、 1.3800°和0.8424°,證明了RIV的辨識結(jié)果在預(yù)報準(zhǔn)確性方面有了較大提升,準(zhǔn)確度提升約40%。

在實際海上航行時,USV可能會出現(xiàn)一段時間內(nèi)無法獲取實際定位信息的情況,即導(dǎo)航設(shè)備“失效”狀況,進(jìn)而導(dǎo)致USV無法及時準(zhǔn)確獲取自身航向狀態(tài)以致控制 “失效”情況的發(fā)生。若模型可在一段時間內(nèi)保持較高準(zhǔn)確性的航向預(yù)報,則不僅對于USV控制,同時對USV自身安全也有一定的保障。對式(21)進(jìn)行修改得到

式(22)中的大多數(shù)符號含義與式(21)中的保持一致,但與式(21)不同的是,USV下一時刻的航向預(yù)報是由上一時刻的航向預(yù)報計算得來的,即每次計算下一時刻航向角時不再使用真實導(dǎo)航數(shù)據(jù)的信息,舵角信息則繼續(xù)使用實際采集值,最終的計算結(jié)果如圖4所示。

圖4 航向角迭代預(yù)報曲線Fig.4 Iterative prediction curves of heading angle

如圖4(a)所示,在5s內(nèi),三種辨識算法構(gòu)造的模型所預(yù)報的航向角都較為準(zhǔn)確,模型計算結(jié)果與實際航向角結(jié)果基本保持一致。但由于外部有色噪聲對參數(shù)辨識結(jié)果產(chǎn)生的影響,導(dǎo)致LS與RLS所辨識的參數(shù)值與實際值之間會存在一定的偏差,以致該參數(shù)誤差在迭代計算航向角時會出現(xiàn)誤差累積問題,使5s后的模型預(yù)報結(jié)果開始產(chǎn)生較大的偏差,并在5s后有發(fā)散的現(xiàn)象。而RIV可減小外部有色噪聲對辨識參數(shù)的影響,使辨識參數(shù)更為準(zhǔn)確。因此,如圖4(b)所示,RIV最終對航向角的迭代預(yù)報在50s內(nèi)都在±6°的誤差帶內(nèi),準(zhǔn)確預(yù)報時長提升了一個數(shù)量級。通過計算三種算法預(yù)報航向角誤差的RMS,LS、RLS和RIV分別為 15.7977°、 14.4672°和 2.9827°, 航向角預(yù)報整體準(zhǔn)確度也有了較大提升。

綜上,實驗證明了通過RIV所辨識的參數(shù)在對USV做出航向預(yù)報方面,無論是否存在外部信息修正,都可以在更長時間段內(nèi)以更高的準(zhǔn)確度預(yù)報USV下一時刻的航向角信息,也為USV保持自身控制提供了保障。

5 結(jié)論

本文通過對USV時間序列分析模型參數(shù)辨識方法的研究,提出使用了一種輔助變量遞推最小二乘算法。根據(jù)Tally原理對輔助變量進(jìn)行設(shè)計,并對算法的無偏一致性進(jìn)行推導(dǎo)。通過對算法的理論推導(dǎo)和仿真對比,驗證了RIV在不需要辨識噪聲這一前提下對模型參數(shù)辨識的準(zhǔn)確性和有效性,最后通過實船數(shù)據(jù)辨識了USV的模型參數(shù)。實驗結(jié)果表明:采用RIV所辨識的參數(shù)相比一般最小二乘算法更加準(zhǔn)確、有效,在實際應(yīng)用方面具有一定的參考價值。