【摘要】在教學中教師通過問題串的設計，讓學生親歷從簡單到復雜、從具體到抽象、從特殊到一般的探索過程，經(jīng)歷概括、歸納、嘗試、猜想、驗證等過程，使其進行充分的思考和自主探究.學生在探究結論的過程中能夠掌握研究問題的一般方法，積累解決數(shù)學問題的經(jīng)驗，提升自主探究能力，發(fā)展直觀想象、數(shù)學抽象等素養(yǎng).

【關鍵詞】函數(shù)的零點;零點存在性定理;自主體驗

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出：“數(shù)學教學要不斷探索新的教學方式，創(chuàng)新教學實踐，不僅要重視如何教，還要重視如何學，教師要深入挖掘數(shù)學學科的育人價值，以發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，將努力激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和引導學生會學、樂學，貫穿于教學活動的全過程.”

數(shù)學課堂不應只是教師傳授知識的場所，它更應該成為學生積累學習經(jīng)驗、學習新知識、提高數(shù)學學習力的場所.學生是學習的主體，教師做教學設計時應該關注：創(chuàng)設何種教學情境能激發(fā)學生的學習熱情，提出何種問題能促進學生深度思考，發(fā)布何種教學任務能驅動學生自主探索，搭建什么平臺給學生提供更多幫助……基于這樣的認識，本節(jié)課程教師提出三個層層遞進的問題引起學生的注意，讓學生思考解決問題該使用何種策略，從而將焦點引到如何用函數(shù)的思想來考慮方程問題，即以形助數(shù).探討零點存在定理的條件時借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)解形，使學生一步步地在探究過程中真正領悟數(shù)形結合的重要價值.

1 創(chuàng)設情境，激發(fā)自主探究欲望

教師以往在講授函數(shù)的零點時，教學流程都是：先針對某個特殊的一元二次方程，讓學生求出它的根，觀察對應二次函數(shù)圖像，再去找根和圖像與x軸交點橫坐標之間的關系，最后再研究一般的一元二次方程.這樣的教學過程中，教師關注的是“教”知識，學生的學習任務只是簡單的觀察與歸納，并未真正讓學生參與到探究新問題的解決策略和一般方法中，學生的自主性受到了忽視.因此筆者在設計本課時，希望能夠通過設置問題引領學生思考解決問題更普遍的方法，引導學生將方程問題函數(shù)化、函數(shù)圖像的特征代數(shù)化，幫助學生從動態(tài)變化的數(shù)據(jù)中去理解方程和函數(shù).

基于此考慮，教師設置了以下問題串，問題1：方程2018x2-8x-1=0有實數(shù)根嗎？你有幾種判斷方法？問題2：方程2x-4=0有實數(shù)根嗎？你有幾種判斷方法？問題3：方程log2x+2x-3=0有實數(shù)根嗎？

對于問題1，學生的一般方法是，計算判別式Δ 的值，根據(jù)判別式判斷方程有無實根.這里教師應再追問有沒有其他方法？引導學生從函數(shù)的角度思考，記f（x）=2018x2-8x-1，根據(jù)函數(shù)f（x）圖像特征，判斷其圖像與x 軸是否有交點，從而確定是否有實數(shù)根.在“如何想到”問題1的解決方法的追問上，筆者試圖挖掘學生對此問題的思維過程： 直接解方程有難度，需要借助Δ來進行判斷，但是Δ的數(shù)據(jù)較大，不易計算.因此從函數(shù)角度入手，根據(jù)函數(shù)圖像得出與y軸交點的坐標為-1，與x軸有兩個交點，所以方程有兩個實數(shù)根.利用函數(shù)思想解決方程問題，不僅為學生探究方程問題提供了更普遍的方法，也為今后研究不等式等內容奠定基礎.此問題串的設計，目的就是讓學生在利用原有的方法解題遇到困難時，能夠嘗試新方法.在嘗試的過程中教師引導學生外顯其思維過程，從而將焦點引到如何用函數(shù)的思想來考慮問題，讓學生在解決問題的過程中，重新梳理了思維過程，本節(jié)課的主題也因此明晰起來.

2 巧設問題，層層追問，搭建自主探究平臺

對于問題3，學生無法再應用前面的經(jīng)驗解題，教師進一步追問： 要判斷函數(shù)是否有零點，必須利用其圖像嗎？此問題一出，學生陷入了思考.思考后有同學提出可以利用列表描點連線的方法來判斷.

師：你認為描點連線后，這條曲線和x軸一定有交點嗎？為什么？圖像為什么一定會穿過x軸？如何用數(shù)學語言描述？

生：因為函數(shù)值由負值變化到正值，所以函數(shù)圖像一定會穿過x軸.

師：觀察在區(qū)間（a，b）有零點的函數(shù)，你發(fā)現(xiàn)它們有什么共同點？

生：端點一上一下，端點函數(shù)值異號.

師：有無零點看端點.函數(shù)在區(qū)間（1，3）上端點值異號一定有零點.

問題3 的提出主要有這樣兩個目的：一是為了辨析概念.對于一般的方程是否可以用“函數(shù)的零點”的概念解決？既是對此概念應用范圍的思考，也是檢驗概念的“合理性”.二是為了引入“零點存在性定理”，點明學習這個定理的必要性.針對問題3，當紙筆難以精確描繪圖像而只能描點作圖時，學生勢必要思考有沒有方法是可以直接通過解析式來判斷零點的呢？引導學生在描點作圖的過程中直觀感受函數(shù)圖像與x軸有交點的條件，為探究零點存在性定理的條件積累直觀經(jīng)驗.

高中階段的數(shù)學并沒有給出函數(shù)連續(xù)的概念，因此我們只能通過圖像直觀——“圖像不間斷”討論零點存在性定理.從認知過程看，學生對此定理的建構還必須經(jīng)歷一個從“形”到“數(shù)”的轉變過程.“直觀感受”是理性認識的基礎，“代數(shù)表示”才是本質，如何從“圖形直觀”想到“代數(shù)表示”以及如何通過數(shù)學抽象將感性認識上升到理性認識，是本節(jié)課的重點也是難點.筆者也做了一些嘗試，設計了問題3，對于不容易得到圖像的函數(shù)，在描點作圖的過程中，分析為何圖像一定會穿過x軸，當存在兩個函數(shù)值一正一負時，教師引導學生回憶“函數(shù)單調性”和“函數(shù)奇偶性”的知識，并思考如何用數(shù)學語言刻畫我們找到的圖像特征，也就是此“圖像特征”的“代數(shù)表示”，再通過教師進一步地追問以及舉反例，零點存在定理條件的雛形就出現(xiàn)了.正如華羅庚先生所言：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事非.”在本節(jié)課開始，我們借助圖像的幾何直觀來闡明數(shù)量間的某種關系（即以形助數(shù)），探討零點存在定理的條件時借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性（即以數(shù)解形），帶領學生在一步步的探究過程中感悟數(shù)形結合的便利，真正領悟數(shù)形結合的重要價值.

3 運用技術巧設學生活動，積累經(jīng)驗

活動一：教師利用教育信息技術軟件做出一些函數(shù)的圖像，讓學生觀察思考：是不是只要圖形連續(xù)就有零點呢？同時引導學生通過觀察函數(shù)圖像舉出一些反例，并將其代數(shù)表述進行不斷的修正，從而得出結論.

發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的前提是有豐富的樣例做支撐，教師借助GGB強大快捷的作圖功能（可以不囿于以往學習過的函數(shù)圖像，隨意選?。?，讓學生有機會在較短的時間內積累足夠多的圖像.在對圖像的左右端點滿足的條件有一定認識的基礎上，形成直觀經(jīng)驗，驗證前面通過描點作圖得到的比較粗糙的結論，再將研究視角聚焦于圖像的其他特征上，通過一些特殊的反例一步步地理清函數(shù)零點存在的充分條件，從而保證學習和研究的深入.

活動二：某地從0時到12時的溫度變化如圖所示.請繪制出盡可能多的不同曲線將其補充成完整的函數(shù)圖像，并思考問題4～6.

在探究定理條件的過程中，我們仍然遵循從簡單到復雜、從直觀到抽象、從特殊到一般的研究順序.但是由于所學函數(shù)模型比較少，學生頭腦中的函數(shù)圖像是非常有限的，通過構造溫度變化圖，一方面可以鍛煉學生的創(chuàng)造能力，讓學生繪制出的各種各樣的圖像，提供了足夠的樣例供分析，為接下來分析定理的條件和結論奠定了基礎;另一方面也能讓學生深刻感受數(shù)學知識與生活的聯(lián)系，依據(jù)生活經(jīng)驗繪制圖像，再用數(shù)學的眼光看世界，用數(shù)學的語言表達世界.

問題4：函數(shù)在區(qū)間（0，3）上是否存在零點？能否確定函數(shù)有幾個零點？你還能畫出其他零點、個數(shù)的情形嗎？

生：當定理條件存在時，函數(shù)在開區(qū)間內一定有零點，但有幾個零點不能確定.

問題5：判斷函數(shù)f（x）=log2x+x-3在區(qū)間（1，3）上的零點個數(shù).這里零點個數(shù)為什么能確定是一個？結合圖像，說出你的發(fā)現(xiàn).

生：該函數(shù)圖像開口向上，函數(shù)單調.根據(jù)定理條件再加上函數(shù)單調，可以判斷函數(shù)零點個數(shù).

問題6：函數(shù)f（x）=x3-6x在區(qū)間（-1，3）上有沒有零點？

師生共同分析：根據(jù)圖像，可知函數(shù)有兩個零點，但是端點值不異號，并不符合定理條件？

師生總結：零點存在性定理的條件是非常充分的，定理條件滿足就一定有零點.但反之不成立，也就是說即使有些函數(shù)不能滿足定理中的所有條件，依然可能有零點.

數(shù)學學習的完整過程是：觀察現(xiàn)象→歸納猜想→驗證猜想→應用拓展.對于函數(shù)零點存在性定理而言，定理的理解與應用當然是非常重要的，但更為重要的是定理的條件是怎么被發(fā)現(xiàn)的.正如南宋詩人陸游所言：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.”我們以繪制圖像為抓手，觀察大量的圖像，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到共同點，猜測零點存在的條件，再進一步的分析中修正我們的結論，這樣習得的知識才是有“根基”的，同時這樣的探究式學習方式才能真正地提高學生的數(shù)學學習能力，提升學生的數(shù)學思維和數(shù)學素養(yǎng).

新課標提倡教師要注重培養(yǎng)學生從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力﹑分析和解決問題的能力.通過提供歸納的樣本，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力;通過鼓勵學生自己提出猜想，培養(yǎng)學生提出問題的能力;在嘗試和選擇解決問題的具體方法時，引導學生自主動手、動腦，經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，提升學生自主探究和自我學習的能力;運用技術的強大作圖功能巧設學生活動，給學生提供足夠多的樣例，積累足夠多的經(jīng)驗，奠定學生解決問題的能力.

【參考文獻】

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