竇彩云

【摘要】立體幾何既是高中數(shù)學的主干知識，也是高考的重要考點，本文基于當前新高考過渡時期的背景，分析近幾年高考三套全國試卷中的立體幾何試題，把握立體幾何命題方向，結(jié)合學生立體幾何復習中存在的問題，探尋有效的備考策略：深入研讀課標，明確新高考和新課程改革趨勢;聚焦內(nèi)容主線，匯總重點題型形成知識系統(tǒng);重視基本圖形，多措并舉發(fā)展直觀想象能力;凸顯思想方法，培養(yǎng)理性思維提高解決問題能力;注重規(guī)范表達，補償性訓練掃清復習盲點.以期提高學生立體幾何專題的復習效率，形成教學與考試的良性互動，實現(xiàn)全面育人的教育目標.

【關(guān)鍵詞】新高考過渡時期;立體幾何;命題趨勢;備考策略

【基金項目】該論文是甘肅省教育科學“十三五”規(guī)劃2019年度一般規(guī)劃課題《基于數(shù)學核心素養(yǎng)的問題式教學法應用研究——以貧困地區(qū)高中立體幾何教學為例》的階段性研究成果，課題立項GS[2019]GHB1037

一、問題的提出

2014年，國務院出臺的《國務院關(guān)于深化考試招生制度改革的實施意見》，明確提出了深化高考內(nèi)容改革的要求，因此新一輪的課程改革也陸續(xù)進入實施階段.這一時期是新舊教材并用、新舊課程并舉、新舊高考并存的過渡時期.立體幾何既是高中數(shù)學的主干知識，也是高考的重要考點，更是學生“跳一跳”就能夠得著、學得會的模塊，它承載著提升學生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)的育人功能.因此，高三數(shù)學教師需要深入研究新高考過渡時期立體幾何的命題趨勢，結(jié)合學生立體幾何復習的現(xiàn)狀和問題，探尋有效的備考策略，以考促教，以教促學，以期形成教學與考試的良性互動，實現(xiàn)全面育人的教育目標.

二、新高考過渡時期立體幾何命題趨勢分析

2020年1月，教育部考試中心發(fā)布了《中國高考評價體系》，它是新高考數(shù)學命題框架的建構(gòu)基礎(chǔ)，通過其核心功能、四層考查內(nèi)容和四翼考查要求，全面銜接高中新課程改革.下面將結(jié)合《中國高考評價體系》和《普通高中數(shù)學課程標準》（2017年版），通過分析2019年3套高考數(shù)學全國卷的立體幾何的試題結(jié)構(gòu)及考點分布，把握命題趨勢.

試題以選填題和解答題的形式呈現(xiàn)，題量和難度相對穩(wěn)定，重點突出，有一定的規(guī)律性.Ⅰ卷是一大一小，占17分，Ⅱ卷和Ⅲ卷均是一大兩小，占22分.選填題在中等難度或壓軸位置，主要考查點、線、面位置關(guān)系的判定、多面體的外接球、以真實背景為情境的多面體結(jié)構(gòu)或體積問題，未考查三視圖，文理科一致性較強.其中Ⅱ卷的16題是一道一題兩空的填空題，第一空2分、第二空3分，體現(xiàn)了高考要創(chuàng)新試題呈現(xiàn)方式和設問方式的要求，加大了試題的區(qū)分度，該題融入中國歷史悠久的金石文化，賦予幾何體真實的背景，考查與正方體有關(guān)的新幾何體的結(jié)構(gòu)特征，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，并讓學生感受這種美對于解決問題的真實力量;Ⅲ卷的16題源于實際的科學教育實踐內(nèi)容，以勞動實踐過程中的3D打印為背景，考查幾何體拆分合并問題，彰顯數(shù)學新課程標準的要求和育人導向.這兩道題雖然都在填空題的壓軸位置，但是難度并不大，要求學生具有較強的閱讀理解能力，體現(xiàn)了高考試題“新題不難、難題不怪”的特點以及從“解題”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖鉀Q問題”的命題方向.解答題則在中等難度位置（17題或19題），以棱柱或棱錐為載體，設置“一證一算”兩問，第一問文理科都以證平行、垂直為主，對于第二問，理科試題主要考查二面角的計算，文科試題主要考查點到平面的距離、體積、側(cè)面積等計算問題.

通過分析發(fā)現(xiàn)，高考中立體幾何的考查立足于必備知識和關(guān)鍵能力，突出理性思維、數(shù)學應用、數(shù)學探索和數(shù)學文化，多想少算，區(qū)分度好，充分體現(xiàn)了“五育并舉”的教育方針，具有較強的基礎(chǔ)性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性，符合高考選拔人才的要求.

三、學生在立體幾何復習中存在的問題

通過課堂教學和試卷答題情況，教師發(fā)現(xiàn)學生在高三立體幾何復習中存在以下問題：

（一）概念不清

對常見幾何體結(jié)構(gòu)的認識不清，如直棱柱、正棱錐、正四面體等，導致學生無法利用幾何體中的位置關(guān)系和長度關(guān)系有效解決問題;空間角的概念模糊，三類空間角的解決都是把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想方法，概念模糊導致學生忽略定義的本質(zhì)，不會用降維思想來轉(zhuǎn)化條件;向量夾角與空間角關(guān)系不清楚，理科生易混淆“兩平面法向量的夾角”和“二面角”的概念，誤認為“直線方向向量的夾角”就是“兩條異面直線所成的角”，搞不清“線的方向向量與法向量的夾角”與“線面角”的關(guān)系.這些問題都會使學生在用向量法求空間角的過程中陷入盲目計算.

（二）直觀想象能力薄弱

直觀想象能力是學生學好立體幾何的必備能力，部分學生對知識的理解停留在文字語言的層面上，在腦海中并未形成直觀的幾何模型，因此解題時找不到方向.對于有些沒有給出圖的題，學生不能根據(jù)條件作出正確的直觀圖，或輔助線作圖不規(guī)范等，這些都會導致失分較多.

（三）邏輯思維能力欠佳

由于知識方法零散沒有形成系統(tǒng)化，對定理的理解不透徹，因此學生無法體會將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的化歸思想，故在做題時不能有效地利用符號語言進行推理論證，邏輯欠嚴密，在利用定理時，條件羅列不全，表述不規(guī)范，如證明線面平行時忘寫線不在面內(nèi)的條件、直線和平面的關(guān)系用∈表示等.理科立體幾何解答題的第二問一般是二面角、線面角的求解，方法多樣，學生大多偏向于利用向量法解決，但其前提是要建立一個恰當?shù)淖鴺讼担季S不嚴密的學生就常出現(xiàn)“不證明三條直線兩兩垂直”就盲目建系的錯誤;文科立體幾何解答題的第二問一般為與面積、體積或距離有關(guān)的問題，這些問題往往需要“先證后算”，邏輯思維能力的欠缺將造成“會而不全”的現(xiàn)象，導致不必要的失分.

（四）運算求解能力弱

數(shù)學運算核心素養(yǎng)是立體幾何考查的重點，學生運算時出現(xiàn)的錯誤主要體現(xiàn)在：記錯幾何體的表面積、體積公式;向量法中不會寫或無法合理設出點的坐標;帶參數(shù)的運算變形出錯;錯用求空間角的向量公式;向量法運算中因步驟多而算錯等.

四、立體幾何備考策略

基于新高考過渡時期立體幾何的命題趨勢和學生在立體幾何復習中存在的問題，提出以下備考建議：

（一）深入研讀課標，明確新高考和新課程改革趨勢

只要研究新課標要求，將立體幾何知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，將主要脈絡搞清楚，抓住數(shù)學的核心思想之間的關(guān)系“網(wǎng)”，就可以更好地把握數(shù)學課程的實質(zhì)，提高教學效率.研究高考命題改革的相關(guān)文獻，如《中國高考評價體系》《基于高考評價體系的數(shù)學科考試內(nèi)容改革實施路徑》等，對于把握新高考過渡時期的數(shù)學備考工作，有著十分重要的、積極的意義.新高考改革不可能一蹴而就，高考試題也必定是穩(wěn)中有變、穩(wěn)中求新，研究近幾年高考真題，可以理解并把握高考命題趨勢.比如2019年全國Ⅱ卷和Ⅲ卷的16題，釋放出明顯的信號是：創(chuàng)新題型體現(xiàn)區(qū)分度;問題情境展示數(shù)學文化、數(shù)學之美和社會發(fā)展新成就;強調(diào)數(shù)學的工具性，考查學生有效解決實際問題的方法和能力，引導學生學會用數(shù)學思維思考世界.

（二）聚焦內(nèi)容主線，匯總重點題型形成知識系統(tǒng)

華羅庚說：“學習數(shù)學一定要經(jīng)歷‘由薄到厚和‘由厚到薄的過程.”這里的“由厚到薄”就是指將分散的知識方法系統(tǒng)化，有序地納入整體數(shù)學知識框架中，這樣學生才能融會貫通，舉一反三.高考立體幾何的考查熱點包括：點線面位置關(guān)系的證明、多面體與球體的切接問題、幾何體體積和表面積、空間角和距離的度量問題.教師要從整體上設計教學，精選例題，突出內(nèi)容主線，夯實基礎(chǔ)，強調(diào)知識的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，關(guān)注重點題型的通性通法，一題多解，多題一源.比如引導學生匯總證明平行和垂直的常用結(jié)論、整理利用向量法求空間角的一般步驟并進行對比區(qū)分、常見幾何體的外接球問題等.

（三）重視基本圖形，多措并舉發(fā)展直觀想象能力

對于學生來說，幾何元素的位置關(guān)系錯綜復雜，教師在平時的教學中，要借助基本的幾何體，如長方體（教室模型）、正方體來講授點、線、面的位置關(guān)系，特別是歸納關(guān)于平行和垂直的定理;教師也可以借助實物道具和Cabri-3D、幾何畫板等軟件，使學生全方位認識幾何體的空間結(jié)構(gòu)，提煉本質(zhì)，進而突破軌跡、翻折等動態(tài)問題的難點，實現(xiàn)理性思維和形象思維的轉(zhuǎn)化.教師要舍得花時間教學生怎么畫圖，講清作圖的原理，培養(yǎng)學生識圖、作圖、用圖的能力，發(fā)展其直觀想象核心素養(yǎng).

（四）凸顯思想方法，培養(yǎng)理性思維提高解決問題能力

數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸是解決立體幾何問題的重要思想方法.如2019年全國Ⅰ卷理科12題，在得到三條側(cè)棱兩兩垂直后轉(zhuǎn)化為正方體的外接球問題，教師要引導學生關(guān)注整體嵌套的解題思路;2019年全國Ⅱ卷16題，將計算半正多面體的棱長通過作截面轉(zhuǎn)化為求正八邊形的邊長問題;2019年全國Ⅲ卷理科8題，選取兩個平面為背景設計題目，考查直線與直線的位置關(guān)系，實際上需要通過推理論證后構(gòu)造平面來解決.引導學生體會空間中平面背后的降維思想是解題的關(guān)鍵，缺失了對原理和思想的理解，單純的計算將無用武之地.

（五）注重規(guī)范表達，補償性訓練掃清復習盲點

立體幾何的證明表述基本上都是使用符號語言的，符號語言的表達能力可以體現(xiàn)出學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展水平.試卷是考生和閱卷教師“對話”的橋梁，書寫時的合理布局，推理過程的嚴密性和完整性，運算節(jié)奏的把握和正確率都是學生得分的關(guān)鍵.在教學中，教師要幫助學生尋求解題方向，選擇恰當?shù)乃憷硭惴ǖ龋@時板演就顯得尤為重要.到了專題復習階段，教師要指導學生多反思，這樣可以提高學生的自我監(jiān)控能力，教師還要對限時訓練出現(xiàn)的問題分類整理，選取典型題、易錯題、高考真題作為補償性訓練，著力解決“會而不對、對而不全”問題，掃清學生在立體幾何復習中的盲點，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

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