趙 君

(1- 天津外國(guó)語(yǔ)大學(xué)英語(yǔ)學(xué)院，天津 300204; 2- “一帶一路”天津戰(zhàn)略研究院，天津 300204)

1 引言

在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中，主要經(jīng)濟(jì)指數(shù)呈現(xiàn)擴(kuò)張和收縮交替變化的周期性現(xiàn)象，稱為經(jīng)濟(jì)周期[1].自18 世紀(jì)以來(lái)，世界各國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展出現(xiàn)繁榮、衰退、蕭條、復(fù)蘇等螺旋式上升的運(yùn)行態(tài)勢(shì).這表明經(jīng)濟(jì)活動(dòng)存在可以探索的一些重要性規(guī)律，引起了眾多相關(guān)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域?qū)W者的關(guān)注，已形成了頗為豐富的經(jīng)濟(jì)周期理論，是主流宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一.通過(guò)探求市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行中存在的經(jīng)濟(jì)循環(huán)變化的內(nèi)在固有規(guī)律，確定對(duì)經(jīng)濟(jì)周期變化影響較大的控制因素，提出有效的應(yīng)對(duì)措施，避免劇烈的經(jīng)濟(jì)震蕩對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)造成負(fù)面影響，保障市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)平穩(wěn)起伏向前推進(jìn)，有力支持國(guó)民經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展和人民生活質(zhì)量的改善.

20 世紀(jì)80 年代以來(lái)，非線性動(dòng)力學(xué)在宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用[2,3]，在經(jīng)濟(jì)周期研究中，非線性動(dòng)力學(xué)也成為其研究的重要手段之一.經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜體系，具有開(kāi)放性，并不間斷的與外界交換物質(zhì)、能量與信息，在此過(guò)程中存在大量的不確定性因素，增加了經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的復(fù)雜性.受這些因素的不斷沖擊，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中呈現(xiàn)出復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.因此，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的總供給與總需求、生產(chǎn)與貿(mào)易等活動(dòng)也相應(yīng)的具有非常復(fù)雜的非線性和隨機(jī)性特征，它們可以采用復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)加以描述與研究.近年來(lái)，有相當(dāng)多的學(xué)者通過(guò)引入隨機(jī)非線性動(dòng)力系統(tǒng)來(lái)建立經(jīng)濟(jì)周期模型，開(kāi)展經(jīng)濟(jì)周期模型的非線性響應(yīng)相關(guān)研究工作，借以分析經(jīng)濟(jì)周期非線性響應(yīng)的演變規(guī)律與控制因素[4].1940 年，Kaldor[5]將儲(chǔ)蓄和投資對(duì)收入水平的影響采用非線性函數(shù)進(jìn)行描述，并將它們引入到凱恩斯的收入–支出模型，使所建立的經(jīng)濟(jì)周期模型具有非線性特征.繼Kaldor 研究之后，Chang 和Smyth[6]兩位學(xué)者進(jìn)一步發(fā)展了他的研究，運(yùn)用二維微分方程來(lái)描述收入和資本的變化，獲得了一類連續(xù)型非線性動(dòng)力經(jīng)濟(jì)周期模型.之后，一批學(xué)者也先后研究和發(fā)展了Kaldor 的模型，開(kāi)展了經(jīng)濟(jì)周期模型及其動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律研究[4].1951 年，Goodwin[7]發(fā)展了?？怂瓜M(fèi)函數(shù)理論，在非線性經(jīng)濟(jì)周期模型中引入消費(fèi)函數(shù)和投資函數(shù)，并通過(guò)它們恒等關(guān)系建立聯(lián)系.在Goodwin 模型提出之后，許多學(xué)者對(duì)該模型進(jìn)行了改進(jìn)與發(fā)展，以期利用改進(jìn)的Goodwin 模型，從理論角度解釋和預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)周期演變現(xiàn)象，其各自改進(jìn)模型中的自發(fā)函數(shù)分別采用常數(shù)、周期函數(shù)和隨機(jī)函數(shù)來(lái)模擬經(jīng)濟(jì)周期的驅(qū)動(dòng)力[1].Puu 和Sushko[8]通過(guò)引入經(jīng)濟(jì)指標(biāo)三次方形式的非線性誘發(fā)投資函數(shù)，發(fā)展了薩繆爾森–?？怂菇?jīng)濟(jì)周期模型，采用他們提出的新經(jīng)濟(jì)周期模型研究其非線性動(dòng)力響應(yīng).李偉等[9]借鑒Goodwin 和Puu 的經(jīng)濟(jì)周期模型研究成果，考察了具有自發(fā)投資函數(shù)的新經(jīng)濟(jì)周期模型非線性動(dòng)力響應(yīng).與李偉等研究思路相似，Li 和Li[10]研究了在周期力和隨機(jī)噪聲共同作用下經(jīng)濟(jì)周期模型的非線性響應(yīng)變化規(guī)律.相似地，方文軒[11]以三角周期函數(shù)作為自發(fā)函數(shù)，分析了該類型經(jīng)濟(jì)周期模型的隨機(jī)穩(wěn)定性與分岔.另外，通過(guò)利用范德波爾系統(tǒng)描述經(jīng)濟(jì)周期模型[12]，孫濤[13]開(kāi)展了該類型非線性經(jīng)濟(jì)周期模型動(dòng)力響應(yīng)的研究.孫學(xué)英和李佼瑞[14]運(yùn)用路徑積分法，結(jié)合Goodwin 和Puu 的研究成果，開(kāi)展了非線性經(jīng)濟(jì)周期模型動(dòng)力響應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率密度的參數(shù)研究.針對(duì)在有色噪聲激勵(lì)條件下非線性隨機(jī)經(jīng)濟(jì)周期模型動(dòng)力穩(wěn)定問(wèn)題，嚴(yán)惠云等[15]探討了噪聲的自相關(guān)時(shí)間、邊際消費(fèi)率及噪聲強(qiáng)度對(duì)經(jīng)濟(jì)周期穩(wěn)定性的影響.Jungeilges 和Ryazanova[16]通過(guò)研究考慮隨機(jī)因素的Goodwin 經(jīng)濟(jì)周期模型，分析了儲(chǔ)蓄率的變化對(duì)收入動(dòng)力響應(yīng)的影響，得出經(jīng)濟(jì)周期模型隨機(jī)性的增加會(huì)導(dǎo)致高收入狀態(tài)的不確定性增加.Saijo[17]研究了經(jīng)濟(jì)周期模型的不確定性乘數(shù)效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)總和不確定性會(huì)降低經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，放大經(jīng)濟(jì)周期模型的波動(dòng).Bashkirtseva 等人[18]分析了在外部與參數(shù)隨機(jī)激勵(lì)下Kaldor 經(jīng)濟(jì)周期模型的穩(wěn)定性與混沌問(wèn)題，獲得了參數(shù)隨機(jī)激勵(lì)對(duì)經(jīng)濟(jì)周期模型穩(wěn)定性的影響規(guī)律.Zhao[19]結(jié)合Goodwin 和Puu 的經(jīng)濟(jì)周期模型研究成果，考慮相關(guān)收入隨機(jī)干擾對(duì)非線性經(jīng)濟(jì)周期模型動(dòng)力響應(yīng)的影響問(wèn)題.研究表明：隨機(jī)因素相關(guān)性的增加會(huì)導(dǎo)致收入與收入變化率的概率分布呈現(xiàn)非對(duì)稱性，這使得收入更加難愈預(yù)測(cè)與控制.林子飛和徐偉[20]在經(jīng)濟(jì)周期模型引入經(jīng)濟(jì)指標(biāo)存在記憶性質(zhì)與時(shí)間滯后性，分析了隨機(jī)周期作用對(duì)Goodwin 模型的隨機(jī)響應(yīng)的影響，研究了投資函數(shù)和消費(fèi)函數(shù)存在非線性時(shí)，經(jīng)濟(jì)周期波動(dòng)受記憶性質(zhì)與時(shí)間滯后性的影響規(guī)律，以及隨機(jī)周期作用引發(fā)經(jīng)濟(jì)周期模型穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)分布出現(xiàn)的分岔現(xiàn)象.

綜上所述，通過(guò)研究經(jīng)濟(jì)周期模型的非線性響應(yīng)，可以掌握經(jīng)濟(jì)周期起伏波動(dòng)的變化規(guī)律，明確經(jīng)濟(jì)指標(biāo)變化的控制因素，是近年來(lái)經(jīng)濟(jì)相關(guān)領(lǐng)域研究熱點(diǎn).本文基于Goodwin 和Puu 的經(jīng)濟(jì)周期模型的研究工作，以高斯白噪聲隨機(jī)函數(shù)作為模型的自發(fā)函數(shù)，并將收入隨機(jī)干擾因素模擬參數(shù)隨機(jī)函數(shù)形式，模擬眾多隨機(jī)因素對(duì)收入的一個(gè)綜合隨機(jī)干擾，提出了一類收入隨機(jī)干擾下非線性經(jīng)濟(jì)周期模型，研究收入受到隨機(jī)干擾下對(duì)經(jīng)濟(jì)周期模型非線性響應(yīng)演變的影響規(guī)律.采用路徑積分法求解該類型模型經(jīng)濟(jì)指標(biāo)概率密度，研究經(jīng)濟(jì)指標(biāo)概率密度隨自發(fā)函數(shù)的演變規(guī)律.研究表明：在隨機(jī)干擾下，收入與收入變化率聯(lián)合概率密度早期變化較為快速，后期逐漸趨于平穩(wěn)；收入隨機(jī)干擾顯著增加了收入的隨機(jī)性；提高補(bǔ)充儲(chǔ)蓄率會(huì)降低獲得高收入的概率.

2 收入隨機(jī)干擾下經(jīng)濟(jì)周期模型

根據(jù)Goodwin 經(jīng)濟(jì)周期模型與Puu 非線性經(jīng)濟(jì)周期模型[1,7,8]，投資函數(shù)可表示為

其中It為現(xiàn)期投資；I0t為自發(fā)投資；Yt, Yt?1, Yt?2分為現(xiàn)期、前期和再前期收入；ν為資本–產(chǎn)出率，一般情況考慮ν> 0 的情況.Puu 提出采用前兩個(gè)時(shí)期收入差一次與三次方形式，可以模擬政府對(duì)公共基礎(chǔ)設(shè)施投資的反周期性，用以抵抗經(jīng)濟(jì)蕭條，并在大幅下跌時(shí)期以較低投入獲益.

另一方面，消費(fèi)函數(shù)表示為[8]

其中Ct為現(xiàn)期消費(fèi)；C0t為自發(fā)消費(fèi)；s為補(bǔ)充儲(chǔ)蓄率(0≤s ≤1)；ε為再前期儲(chǔ)蓄使用率(0≤ε ≤1).在公式(2)中引入補(bǔ)充儲(chǔ)蓄率s，主要考慮如下：在最初的無(wú)補(bǔ)充儲(chǔ)蓄率的設(shè)定下，用于儲(chǔ)蓄的收入被假定為從消費(fèi)中永久性地扣除.然而，通過(guò)設(shè)置補(bǔ)充儲(chǔ)蓄率，按公式(2)計(jì)算，用于儲(chǔ)蓄的收入被假定為只保留一段時(shí)間，并在一段時(shí)間后完全用于消費(fèi).因此，采用補(bǔ)充儲(chǔ)蓄率作用于前期收入和再前期收入，來(lái)考慮這兩期對(duì)消費(fèi)的貢獻(xiàn)是滯后的.此外，采用再前期儲(chǔ)蓄使用率ε，用以表示假定在儲(chǔ)蓄一段時(shí)間后被花掉的比例.采用補(bǔ)充儲(chǔ)蓄率s和再前期儲(chǔ)蓄使用率ε，使消費(fèi)函數(shù)更加符合實(shí)際.

考慮到封閉經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的收入全部用于投資與消費(fèi)，則有

其中O?(t)=I0t+C0t表示自發(fā)投資與自發(fā)消費(fèi)的總和，僅是一個(gè)時(shí)間變量，不隨Yt的下標(biāo)變化.

本文采用李佼瑞方法將差分方程轉(zhuǎn)換為微分方程進(jìn)行研究經(jīng)濟(jì)周期的動(dòng)力響應(yīng)，將上式表示為

用連續(xù)微分方程代替上述差分方程來(lái)描述描述其動(dòng)力響應(yīng)，可得自發(fā)函數(shù)O?(t)主要有三種形式：常數(shù)、周期函數(shù)和隨機(jī)函數(shù)，通過(guò)采用不同形式自發(fā)函數(shù)可以模擬不同的經(jīng)濟(jì)環(huán)境影響[1]，例如采用隨機(jī)函數(shù)可以模擬政府干預(yù)、戰(zhàn)爭(zhēng)、天災(zāi)等隨機(jī)因素對(duì)經(jīng)濟(jì)變量的影響，使其具有隨機(jī)特性.目前經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)隨機(jī)性影響因素眾多，相關(guān)研究通常針對(duì)一些典型隨機(jī)因素情況展開(kāi)研究，建立各自特定的隨機(jī)模擬模型.因此，本文采用高斯白噪聲模擬自發(fā)函數(shù)O?(t)，模擬一種考慮經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)自發(fā)函數(shù)隨機(jī)性的典型情況.另外，本文也采用一個(gè)高斯白噪聲隨機(jī)函數(shù)作用于收入Y，模擬眾多隨機(jī)因素對(duì)收入的一個(gè)綜合隨機(jī)干擾，研究收入受到隨機(jī)干擾下對(duì)非線性經(jīng)濟(jì)周期模型演變的影響情況.因此，本文研究的自發(fā)函數(shù)O?(t)為兩個(gè)互相獨(dú)立的高斯白噪聲隨機(jī)函數(shù)形式，其收入隨機(jī)干擾下非線性經(jīng)濟(jì)周期模型微分方程為

其中E[ξi(t)]=0, E[ξi(t)ξi(t)]=Di, E[ξ1(t)ξ2(t)]=0，γ為收入隨機(jī)干擾系數(shù).

3 路徑積分法

在宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，采用非線性動(dòng)力學(xué)研究經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象范圍很廣，提出了很多有針對(duì)性的非線性動(dòng)力學(xué)分析方法，文獻(xiàn)[2,3]進(jìn)行了較為全面的論述.本文針對(duì)收入隨機(jī)干擾下非線性經(jīng)濟(jì)周期模型，提出采用路徑積分法對(duì)式(6)的收入概率密度進(jìn)行計(jì)算分析，研究該類型非線性經(jīng)濟(jì)周期模型收入轉(zhuǎn)移概率密度平穩(wěn)解與非平穩(wěn)解，討論收入轉(zhuǎn)移概率密度隨自發(fā)函數(shù)的變化規(guī)律，進(jìn)而提出通過(guò)控制收入隨機(jī)干擾實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性經(jīng)濟(jì)周期模型經(jīng)濟(jì)指標(biāo)加以控制的原則.運(yùn)用路徑積分法，通過(guò)在空間和時(shí)間上將連續(xù)積分進(jìn)行離散化處理，進(jìn)而以路徑求和代替連續(xù)積分進(jìn)行計(jì)算[21].在求解非線性經(jīng)濟(jì)周期模型收入與收入變化率的概率密度時(shí)，設(shè)定0 時(shí)刻的已知概率密度為初始解，相鄰時(shí)刻之間短時(shí)轉(zhuǎn)移概率密度假定為高斯概率分布進(jìn)行演化[22]，依次增加時(shí)間步，從而得到收入與收入變化率的概率密度函數(shù)分布隨時(shí)間變化規(guī)律.

設(shè)x(t)為動(dòng)力系統(tǒng)狀態(tài)向量，維數(shù)為n，向量的概率密度用以下函數(shù)表示

其中p(·)為聯(lián)合概率密度函數(shù).

采用離散化再求和的方式進(jìn)行積分，首先采用Gauss-Legendre 積分方法離散化式(7)，并假定短時(shí)轉(zhuǎn)移概率為高斯概率分布，其二維路徑積分法表達(dá)式為

其中n, m分別為x, y軸方向上的子區(qū)間數(shù)，?x,?y分別為各個(gè)子區(qū)間長(zhǎng)度，并選取每個(gè)子區(qū)間的高斯積分點(diǎn)作為(xr,ys).對(duì)于子區(qū)間(xR,xL)及(yR,yL)，當(dāng)高斯積分點(diǎn)數(shù)為2 時(shí)，其各點(diǎn)坐標(biāo)為

時(shí)間步長(zhǎng)dt=ti ?ti?1，假定短時(shí)轉(zhuǎn)移概率密度為高斯概率分布[22]，即

其中

令x=Y, y=，將式(6)轉(zhuǎn)化為一階微分方程組

其對(duì)應(yīng)的FPK(Fokker-Plank-Kolmogorov)方程為

其中p=p(x,y,t)為聯(lián)合概率密度函數(shù)；D1, D2分別為ξ1(t), ξ2(t)隨機(jī)激勵(lì)能量強(qiáng)度.

式(14)形式復(fù)雜，很難獲得解析解，尤其非平穩(wěn)解析解更難以獲得.本文采用基于短時(shí)高斯近似的路徑積分法數(shù)值求解非線性經(jīng)濟(jì)周期模型的概率密度函數(shù)解.

首先，利用高斯截?cái)嗑胤ㄇ蠼庀到y(tǒng)變量的一階矩和二階矩，其響應(yīng)矩方程可表示為

其中M=xiyj，i, j依次取0,1,2.

將式(13)的表達(dá)式，按式(15)的形式代入，建立相應(yīng)一階矩方程和二階矩方程

其中mij=E[xiyj]， ˙mij表示mij對(duì)時(shí)間求導(dǎo).

方程組(16)因包含高于二階矩的項(xiàng)而無(wú)法閉合，不能進(jìn)行直接求解.本文運(yùn)用高斯截?cái)嗑胤?，假設(shè)高于二階的累積量為零，用一階矩和二階矩的組合代替高于二階矩的項(xiàng)，即

將方程組(17)帶入方程組(16)，高斯截?cái)嗑胤ㄊ罐D(zhuǎn)化后的方程組閉合，具體表達(dá)式為

設(shè)定閉合方程組的初始條件，利用四階龍格–庫(kù)塔方法求解一矩和二階矩，再根據(jù)式(11)可獲得短時(shí)高斯轉(zhuǎn)移概率密度，進(jìn)而運(yùn)用Gauss-Legendre 積分求解式(8)，獲得非線性經(jīng)濟(jì)周期模型收入與收入變化率的聯(lián)合概率密度式(8)及邊緣概率密度的數(shù)值解.

4 數(shù)值分析

為研究收入隨機(jī)干擾下非線性經(jīng)濟(jì)周期模型收入演變特點(diǎn)，并考慮不失一般性，本文參考文獻(xiàn)[1]參數(shù)數(shù)值大小關(guān)系，選擇一組參數(shù)進(jìn)行數(shù)值分析，驗(yàn)證方法的有效性.在式(6)中，s=0.1, ν=0.1, ε=0.1, γ=0.1, D1=0.2 和D2=0.2，初始概率分布為

其中mx=0.5, my=0.2, σx=0.1, σy=0.1.

采用路徑積分法計(jì)算隨機(jī)干擾下非線性經(jīng)濟(jì)周期模型收入和收入變化率的平穩(wěn)概率密度與非平穩(wěn)概率密度的數(shù)值解.首先，根據(jù)轉(zhuǎn)移概率密度式(11)，選擇時(shí)間步長(zhǎng)為1，選取響應(yīng)點(diǎn)(x= 0.5, y= 0.5)為檢驗(yàn)點(diǎn)，與蒙特卡羅模擬值進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證轉(zhuǎn)移概率密度步長(zhǎng)選取的準(zhǔn)確性.圖1 給出了分別由高斯截?cái)嗑胤ㄇ蟮玫亩虝r(shí)高斯轉(zhuǎn)移概率密度分布和蒙特卡羅模擬求得轉(zhuǎn)移概率密度分布比較.結(jié)果表明，兩種方法獲得的轉(zhuǎn)移概率密度符合良好.因此，本文的路徑積分法所采用的短時(shí)高斯轉(zhuǎn)移概率密度的時(shí)間步長(zhǎng)為1.

圖1 響應(yīng)點(diǎn)(x=0.5,y =0.5)的轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)比較

其次，采用Gauss-Legendre 積分方法和時(shí)間步長(zhǎng)為1 的短時(shí)高斯轉(zhuǎn)移概率密度，利用路徑積分法進(jìn)行了非線性經(jīng)濟(jì)周期模型收入與收入變化率的平穩(wěn)概率密度計(jì)算，如圖2 所示.積分區(qū)間選取[?8.1,8.1]×[?6,6]，各劃分40 個(gè)格.計(jì)算分析顯示：總時(shí)長(zhǎng)T= 50 時(shí)，路徑積分法所求的平穩(wěn)概率密度已穩(wěn)定，再增加計(jì)算時(shí)長(zhǎng)，所求的平穩(wěn)概率密度值改變非常小.因此，可以認(rèn)為非線性經(jīng)濟(jì)周期模型的收入和收入變化率在T= 50 達(dá)到平穩(wěn).圖2(a)顯示分別采用路徑積分法與蒙特卡羅模擬計(jì)算的收入平穩(wěn)概率密度符合良好.如圖2(b)所示，取概率密度以10 為底的對(duì)數(shù)值比較，概率密度尾部符合也很好.從經(jīng)濟(jì)指標(biāo)平穩(wěn)概率密度分布可以看出，在隨機(jī)干擾下非線性經(jīng)濟(jì)周期模型收入在0 點(diǎn)概率值最大，并以0 點(diǎn)為對(duì)稱軸.相同幅值的增長(zhǎng)與降低具有相同的概率密度值，這說(shuō)明隨機(jī)干擾可以顯著影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展，即可以促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，也可能對(duì)經(jīng)濟(jì)造成負(fù)面影響，對(duì)經(jīng)濟(jì)周期中隨機(jī)干擾因素應(yīng)當(dāng)引起足夠重視.

圖3 展示了非線性經(jīng)濟(jì)周期模型的收入與收入變化率聯(lián)合概率密度由初始時(shí)刻T=0 到T= 50 的演化過(guò)程.考察時(shí)刻分別取0,5,10,30,40 和50.圖3(a)顯示初始時(shí)刻非線性經(jīng)濟(jì)周期模型收入僅在較小的區(qū)域分布，概率密度分布較為集中，可模擬為政府經(jīng)濟(jì)政策緊縮.當(dāng)受到隨機(jī)干擾后，隨著時(shí)間的推移，收入與收入變化率聯(lián)合概率密度峰值快速下降，如圖3(b)所示.當(dāng)T= 10，聯(lián)合概率密度趨于平穩(wěn)發(fā)展.當(dāng)T= 30,40 和50 后，動(dòng)力響應(yīng)概率密度分布趨于穩(wěn)定.這表明：非線性經(jīng)濟(jì)周期模型中收入與收入變化率在隨機(jī)干擾下，在早期變化較為快速，隨著不斷的演化，收入與收入變化率聯(lián)合概率密度逐漸趨于平穩(wěn)，后期非線性經(jīng)濟(jì)周期模型收入與收入變化率聯(lián)合概率密度分布變化不大.所以，對(duì)于隨機(jī)干擾下的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，早期經(jīng)濟(jì)指標(biāo)變化程度顯著，后期趨于穩(wěn)定.

圖2 非線性經(jīng)濟(jì)周期模型動(dòng)力響應(yīng)的平穩(wěn)概率密度(T =50)

隨后，本文考慮了收入隨機(jī)干擾的影響，將γ增大(γ= 0.5).圖4 給出了隨機(jī)干擾影響增大后的收入與收入變化率平穩(wěn)概率分布.積分區(qū)間選取[?8.5,8.5]×[?6.3,6.3]，各劃分40 個(gè)格.路徑積分法與蒙特卡羅模擬法獲得的平穩(wěn)概率分布符合仍然良好，說(shuō)明路徑積分法在收入隨機(jī)干擾下非線性經(jīng)濟(jì)周期模型隨機(jī)分析是有效的.與圖2 對(duì)應(yīng)比較顯示：加大收入隨機(jī)干擾一方面使收入概率密度在0 點(diǎn)處峰值增加，另一方面使非線性經(jīng)濟(jì)周期模型收入變化范圍明顯擴(kuò)大.這說(shuō)明增大隨機(jī)干擾顯著增加了收入的隨機(jī)性，使得收入更加難于預(yù)測(cè)與控制.同時(shí)，收入變化率概率密度分布也向大幅度發(fā)展，由圖4(d)可以看出在橫軸邊界處的概率與圖2(d)相比顯著增加，這也說(shuō)明加大收入隨機(jī)干擾也增加了收入變化率的隨機(jī)性，經(jīng)濟(jì)管理措施應(yīng)該同時(shí)控制經(jīng)濟(jì)指標(biāo)本身和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的變化率.

圖3 收入與收入變化率聯(lián)合概率密度非平穩(wěn)演化

圖4 強(qiáng)收入隨機(jī)干擾下的非線性經(jīng)濟(jì)周期模型收入與收入變化率的平穩(wěn)概率密度(T =50)

最后，本文考慮了補(bǔ)充儲(chǔ)蓄率s對(duì)非線性經(jīng)濟(jì)周期模型的影響.保持非線性經(jīng)濟(jì)周期模型的其它參數(shù)值不變(γ仍取0.1)，將s提高到0.3.計(jì)算設(shè)置的時(shí)間步長(zhǎng)、積分區(qū)間、網(wǎng)格劃分和總時(shí)間與圖2 算例相同.圖5 給出了補(bǔ)充儲(chǔ)蓄率s的增加對(duì)隨機(jī)收入與收入變化率平穩(wěn)概率分布.與圖2 比較可知，提高補(bǔ)充儲(chǔ)蓄率使得收入概率密度在0 點(diǎn)處峰值顯著增加，并且縮小了非線性經(jīng)濟(jì)周期模型收入變化范圍.這說(shuō)明提高補(bǔ)充儲(chǔ)蓄率，增大了低收入的出現(xiàn)概率，并縮小了收入變化范圍.同時(shí)，圖5(c)和圖5(d)顯示：提高補(bǔ)充儲(chǔ)蓄率既使低收入變化率出現(xiàn)的概率增加，也縮小了收入變化率的變化范圍.總體來(lái)看，提高補(bǔ)充儲(chǔ)蓄率降低了獲得高收入的概率，并縮小了收入的變化范圍，這一結(jié)論與經(jīng)濟(jì)投資理論是相一致的.

值得注意的是，本文方法的穩(wěn)健性既受系統(tǒng)參數(shù)的數(shù)值組合影響，也受路徑積分法區(qū)間、網(wǎng)格數(shù)及時(shí)間步長(zhǎng)的影響，無(wú)法采用不同數(shù)值下的概率圖完全確定.通常做法是，設(shè)定幾個(gè)特定時(shí)刻點(diǎn)與該時(shí)刻的蒙特卡洛數(shù)值模擬解進(jìn)行比較分析，驗(yàn)證該方法的穩(wěn)健性后，可以進(jìn)一步開(kāi)展每個(gè)時(shí)刻非線性經(jīng)濟(jì)周期模型響應(yīng)的計(jì)算分析.

圖5 高補(bǔ)充儲(chǔ)蓄率的非線性經(jīng)濟(jì)周期模型收入與收入變化率的平穩(wěn)概率密度(T =50)

5 結(jié)論

本文結(jié)合Goodwin 經(jīng)濟(jì)周期模型與Puu 非線性經(jīng)濟(jì)周期模型，以高斯白噪聲隨機(jī)函數(shù)作為模型的自發(fā)函數(shù)，并將收入隨機(jī)干擾因素模擬參數(shù)隨機(jī)函數(shù)形式，運(yùn)用路徑積分法分析了該類型非線性經(jīng)濟(jì)周期模型經(jīng)濟(jì)指標(biāo)概率密度.本文采用基于Gauss-Legendre 積分方法和短時(shí)高斯轉(zhuǎn)移概率密度的路徑積分法，研究收入隨機(jī)干擾下非線性經(jīng)濟(jì)周期模型的收入與收入變化率的概率密度數(shù)值解，其優(yōu)越性主要表現(xiàn)在以下兩點(diǎn)：第一，在每個(gè)時(shí)刻將響應(yīng)每個(gè)區(qū)間采用兩個(gè)Gauss-Legendre 積分點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的積分求和表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算，即能獲得較高精度，又能極大地減少計(jì)算量；第二，短時(shí)高斯轉(zhuǎn)移概率密度作為轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)，其可以通過(guò)高斯截?cái)嗑胤ù_定，并且對(duì)于常系數(shù)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，可以只計(jì)算一次，每個(gè)時(shí)間間隔可以重復(fù)使用，計(jì)算方法簡(jiǎn)單，計(jì)算量也大大減少.

同時(shí)，進(jìn)一步研究表明：在收入早期變化較為快速，隨著不斷的演化，收入與收入變化率聯(lián)合概率密度逐漸趨于平穩(wěn)，后期非線性經(jīng)濟(jì)周期模型收入與收入變化率的概率密度分布變化不大.所以，對(duì)隨機(jī)干擾下的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，早期經(jīng)濟(jì)指標(biāo)變化程度顯著，后期趨于穩(wěn)定.收入隨機(jī)干擾顯著增加了收入的隨機(jī)性，使得收入更加難于預(yù)測(cè)與控制，同時(shí)它也顯著影響經(jīng)濟(jì)指標(biāo)變化率.此外，提高補(bǔ)充儲(chǔ)蓄率會(huì)降低獲得高收入的概率.經(jīng)濟(jì)管理措施應(yīng)該同時(shí)控制經(jīng)濟(jì)指標(biāo)本身和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的變化率.