李冬梅, 劉偉華, 汪 琪, 郭美靜

(1- 哈爾濱理工大學(xué)理學(xué)院，哈爾濱 150080; 2- 黑龍江省醫(yī)院兒科，哈爾濱 150036)

1 引言

乙型病毒(Hepatitis B Virus, HBV)性肝炎，簡(jiǎn)稱乙肝，是由HBV 感染引起的傳染病.母嬰傳播是HBV 傳播的三種方式之一.實(shí)施母嬰傳播阻斷策略能夠顯著降低HBV 感染，且已經(jīng)成為現(xiàn)階段我國乙肝預(yù)防工作的重點(diǎn)[1].應(yīng)用乙肝免疫球蛋白(Hepatitis B Immunoglobulin, HBIG)可有效的阻斷HBV 通過胎盤對(duì)胎兒的感染，進(jìn)一步提高出生人口的健康質(zhì)量[2].

眾多數(shù)學(xué)工作者通過研究HBV 的發(fā)病機(jī)制和治療機(jī)理建立了數(shù)學(xué)模型，并希望通過定量研究HBV 變化規(guī)律對(duì)防治乙肝疾病帶來一定的幫助[3–5].Lewin 和Ribeiro[6]通過數(shù)學(xué)模型進(jìn)一步研究了抗病毒藥物治療對(duì)乙肝疾病的控制問題.Stanca 等人建立了具有抗體免疫反應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，這使得人們更加精確地刻畫了宿主體內(nèi)的HBV 變化規(guī)律[7].實(shí)際上，在臨床醫(yī)學(xué)中是通過觀察母體內(nèi)的體征情況來預(yù)測(cè)胎兒的患病情況.周煜等人[8]運(yùn)用Meta 分析的方法對(duì)臨床檢驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析來評(píng)價(jià)藥物阻斷HBV 母嬰宮內(nèi)免疫策略的可行性，發(fā)現(xiàn)HBV 攜帶孕婦注射HBIG 可降低新生兒的感染率，但目前對(duì)于母嬰之間HBV 傳播的定量模型研究結(jié)果很少.

本文綜合考慮HBV 進(jìn)入母體后的傳播機(jī)理，以及藥物對(duì)病毒的抑制作用，建立了母體懷孕期間的藥物阻斷HBV 在母嬰間傳播的動(dòng)力學(xué)模型，研究了母體接受HBIG 來控制體內(nèi)HBV 的數(shù)量，從而減少HBV 對(duì)胎兒的感染機(jī)率.再根據(jù)臨床用藥量數(shù)據(jù)，運(yùn)用Matlab 模擬胎兒體內(nèi)的病毒數(shù)量變化曲線，從理論上優(yōu)化給藥方案，為指導(dǎo)臨床治療提供了可參考的依據(jù).

2 乙肝免疫球蛋白阻斷乙肝病毒在母嬰間傳播的動(dòng)力學(xué)模型的建立

研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)個(gè)體感染了HBV 后，其作為抗原刺激宿主細(xì)胞的免疫系統(tǒng)產(chǎn)生抗體來阻滯感染HBV.若免疫系統(tǒng)不強(qiáng)無法抵抗HBV 復(fù)制，就會(huì)帶來慢性持續(xù)性感染，從而演變成乙肝患者.乙肝免疫球蛋白(HBIG)是預(yù)防HBV 入侵復(fù)制的被動(dòng)免疫制劑，當(dāng)人體接受這種外源性抗體后，可以在短期內(nèi)中和并清除血清中游離的HBV.臨床上通常采用HBIG 阻斷HBV 在母嬰間的傳播，有關(guān)方面的研究已取得了可觀的結(jié)果[9,10].這為建立數(shù)學(xué)模型提供了可依據(jù)的理論基礎(chǔ).在妊娠初期，由于胎盤的屏障作用，母體與胎兒血液分開，互不干擾，除了可以進(jìn)行選擇性的物質(zhì)交換外，胎盤還可以阻止母體內(nèi)的一部分病毒進(jìn)入胚胎、保障胎兒正常生長(zhǎng)發(fā)育.但在孕婦妊娠20 周后，胎盤開始傳遞母體抗體給胎兒的功能，但胎兒體內(nèi)的抗體不足以抵抗母體傳遞的病毒，為此要控制母體內(nèi)的病毒數(shù)量.通過應(yīng)用HBIG 來降低母體內(nèi)HBV 數(shù)量，可以有效阻斷HBV 感染胎兒[7].由文獻(xiàn)[6]從數(shù)學(xué)和醫(yī)學(xué)角度做出如下假設(shè)：

1) 胎兒體內(nèi)的HBV 主要是來源于母體內(nèi)HBV 輸入；

2) 在胎兒的生長(zhǎng)發(fā)育過程中，其免疫系統(tǒng)尚不完善，不足以抵御外來病毒的入侵.為了降低胎兒的感染可能性，藥物可以減少母體內(nèi)HBV，從而阻斷HBV 在母嬰間的垂直傳播.因而不考慮胎兒免疫系統(tǒng)功能；

3) 每個(gè)個(gè)體乙肝傳播機(jī)理相同；

4) 認(rèn)為HBV 攜帶者與感染者之間存在著臨界值.若個(gè)體的HBV 超過臨界值，可診斷為HBV 感染者.

基于上述原因與假設(shè)，將母體與胎兒看成兩個(gè)個(gè)體，胎盤連接兩個(gè)個(gè)體，胎兒是否感染主要是受母體HBV 量的影響.下面分別討論母體及胎兒體內(nèi)的易感肝細(xì)胞(Ti)、感染肝細(xì)胞(Ii)、HBV(Vi)和免疫抗體(C1)的情況，其中i= 1,2，下角標(biāo)為1 代表母體、下角標(biāo)為2 代表胎兒.考慮到HBIG 對(duì)HBV 的作用機(jī)理，建立了如下的動(dòng)力學(xué)模型

模型(1)中相關(guān)參數(shù)意義，如表1 所示.

表1 模型(1)相關(guān)參數(shù)表

3 主要研究結(jié)果

在臨床實(shí)踐中，對(duì)母體應(yīng)用HBIG 阻斷HBV 在母嬰之間傳播，藥物可以有效控制母親體內(nèi)病毒的數(shù)量，使母體內(nèi)的病毒不傳播給胎兒.因此，先考慮母體在藥物作用下病毒數(shù)量變化趨勢(shì)，再分析胎兒體內(nèi)HBV感染可能性.可將模型(1)分解成如下的母體模型、胎兒模型

將母體模型(2)的第一、二、四方程相加，令m=min{dT1,dI1,dC1}，則由

可知，存在t1，當(dāng)t ≥t1時(shí)，有

再由模型(2)的第三個(gè)方程可求得，存在t2>t1，當(dāng)t ≥t2時(shí)，有

且Γ 是模型(2)的不變集.

3.1 母體模型(2)的穩(wěn)定性

模型(2)在平衡點(diǎn)處滿足如下方程

由式(4)求得

令

將式(5)代入式(4)的第三個(gè)方程，得到

其中

由式(5)、式(6)易求得無病毒平衡點(diǎn)

由二次函數(shù)性質(zhì)知，式(6)確定的函數(shù)為f(V1) = 0.當(dāng)R0> 1 時(shí)，有唯一正根V ?1> 0，使得f(V ?1) = 0.再將V ?1代入式(5)，可計(jì)算出模型(2)有病毒平衡點(diǎn)Q?1=(T1?,I1?,V1?,C1?).

定理1當(dāng)R0< 1 時(shí)，模型(2)存在局部漸近穩(wěn)定的無病毒平衡點(diǎn)Q?0；當(dāng)R0>1 時(shí)，模型(2)無病毒平衡點(diǎn)Q?0是不穩(wěn)定.

證明 模型(2)的Jacobi 矩陣為

模型(2)在Q?0處線性近似方程對(duì)應(yīng)的特征方程為

當(dāng)R0< 1 時(shí)，由Routh-Hurwitz 定理[11]知，式(8)的所有特征根均為負(fù)特征根，無病毒平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定點(diǎn)；當(dāng)R0>1 時(shí)，無病毒平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定點(diǎn).

考慮系統(tǒng)

其中X1∈1, X2∈, X=(X1,X2), X?=(,0)為平衡點(diǎn).假設(shè)下列條件：

H2:·X1=A1(X)(X1?)系統(tǒng)(9)的子系統(tǒng)存在唯一的全局漸近穩(wěn)定點(diǎn)；

H3: 對(duì)任意的X ∈Γ，A2(X)是Metzler 矩陣且不可約；

H4: 定義在Γ 上的A2(X)存在一個(gè)上界矩陣，即存在∈Γ，使得

H5: 矩陣的譜半徑α()<0.

引理1[12]如果系統(tǒng)(9)滿足條件H1–H5，那么平衡點(diǎn)X?是系統(tǒng)(9)的全局漸近穩(wěn)定點(diǎn).

為了研究模型(2)無病毒平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，將模型(2)寫成具有形式(9)的矩陣方程形式.令

定理2當(dāng)R0<1 時(shí)，模型(2)的無病毒平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定點(diǎn).

證明 下面驗(yàn)證引理1 的條件.

H1: 由于Γ 是模型(2)的不變集，因而模型(2)在Γ 內(nèi)是耗散的.

H2: 對(duì)于子系統(tǒng)

·X1=A1(X)(X1?X?1)，即有

顯然

是子系統(tǒng)(10)的全局漸近穩(wěn)定點(diǎn).

H3: 對(duì)于矩陣A2(X)，非主對(duì)角線上元素均為正，故A2(X)是Metzler 矩陣且不可約[13].

H4: 由A2(X)的定義及式(10)的穩(wěn)定性可知，A2(X)在Γ 內(nèi)存在上界矩陣，取=(X?1,0)，可得

H5: ˉA2是常數(shù)矩陣，要證α()<0，等價(jià)于α(D ?CA?1B)<0[11].

由引理1 知，當(dāng)R0<1 時(shí)，模型(2)的無病毒平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定點(diǎn).

定理3當(dāng)R0>1 時(shí)，模型(2)在Γ 內(nèi)是一致持久的.

證明 由定理1 知，當(dāng)R0>1 時(shí)，在區(qū)域Γ 內(nèi)模型(2)存在著兩個(gè)平衡點(diǎn)Q?0和Q?1，且Q?0是不穩(wěn)定點(diǎn).根據(jù)式(8)計(jì)算出模型(2)的特征值知，只有?Γ 上初值(T10,0,0,C10)出發(fā)的軌線最終趨于唯一的平衡點(diǎn)Q?0，其它軌線都將遠(yuǎn)離Q?0.因此Q?0是?Γ 上孤立的最大緊的不變集.因而，存在正的常數(shù)a，對(duì)于從在Γ 的內(nèi)部出發(fā)的模型(2)解有

由此模型(2)的解不會(huì)跑出?Γ，從而，有Ws({})∩?Γ=?，其中

綜上，當(dāng)R0>1 時(shí)，模型(2)在空間區(qū)域Γ 內(nèi)是一致持久的[13].

現(xiàn)考慮系統(tǒng)

其中F為Rn的連續(xù)函數(shù)，D ?Rn是連續(xù)的開集，X ∈Rn.令X(t,X0)是系統(tǒng)(11)的解，初始條件為X(0)=X0，假設(shè)：

1) 系統(tǒng)(11)存在吸引子集K ?D；

2) 系統(tǒng)(11)在D內(nèi)有唯一的平衡點(diǎn)X?.

引理2[14]如果假設(shè)(1)、(2)成立，且存在Lyapunov 函數(shù)L(X)、有界可導(dǎo)函數(shù)G(X)、正常數(shù)a1、g和a2滿足：

(i)a1|X|≤L ≤a2|X|;

(ii)L′(X)≤(G′(X)?g)L(X);

則系統(tǒng)(11)的平衡點(diǎn)X?是全局漸近穩(wěn)定點(diǎn).

定理4當(dāng)R0>1 時(shí)，模型(2)的有病毒平衡點(diǎn)Q?1是全局漸近穩(wěn)定點(diǎn).

證明 由式(7)，可得模型(2)在Q?1處線性近似方程對(duì)應(yīng)的特征方程為

則由式(12)知，模型(2)的所有特征根均為負(fù)特征根.

由Routh-Hurwitz 定理[11]知，當(dāng)R0>1 時(shí)，有病毒平衡點(diǎn)Q?1是局部漸近穩(wěn)定點(diǎn).

再由式(7)可計(jì)算出模型(2)的第三加性復(fù)合矩陣為[15]

其中

a11=?b1V1?dT1?dI1?εC1?dV1, a22=?b1V1?dT1?dI1?kV1?dC1

a33=?b1V1?dT1?εC1?dV1?kV1?dC1, a44=?εC1?dI1?dV1?kV1?dC1.

式(13)對(duì)應(yīng)的線性復(fù)合系統(tǒng)為

構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)

L(t,X,Y,W,Z)=max{C1|X|, V1|Y|, I1|W+Z|, I1|W|, I1|Z|}.

由定理3，在Γ 內(nèi)存在a1>0, a2>0，使得

下面計(jì)算L的導(dǎo)數(shù).

1) 若取L=C1|X|時(shí)，有V1|Y|≤C1|X|，可計(jì)算

其中G1=lnC1, g1=dT1+dI1+dV1.

2) 若取L=V1|Y|時(shí)，有C1|X|≤V1|Y|，則可計(jì)算

其中G2=lnI1+lnV1, g2=dT1+dC1.

3) 若取L=I1|W+Z|時(shí)，有V1|Y|≤I1|W+Z|，則可計(jì)算

其中g(shù)3=dT1+dI1+dC1.

4) 若取L=I1|W|時(shí)，有V1|Y|≤I1|W|，則可計(jì)算

其中g(shù)4=dT1+dC1.

5) 若取L=I1|Z|時(shí)，則可計(jì)算

其中G3=lnI1, g5=dI1+dV1+dC1.

由式(16)–(20)，可有

D+L ≤[G′?g]L,

其中G′=max{G1,G2}, g=min{g1,g2,g3,g4,g5}.

由引理2 知，模型(2)的有病毒平衡點(diǎn)Q?2是全局漸近穩(wěn)定點(diǎn).

3.2 胎兒模型(3)的穩(wěn)定性

在假設(shè)(1)的約定下，通過藥物治療后，母體內(nèi)的HBV 最終趨于V ?1，可以認(rèn)為感染的母體輸入給胎兒的HBV 量為ˉη=ηV ?1，由式(3)可得如下胎兒體內(nèi)HBV 模型

同母體可行域Γ 的分析，可以求得方程(21)可行域?yàn)?/p>

其中

方程(21)的平衡點(diǎn)滿足下列方程

整理得

將式(23)代入式(22)中第二個(gè)方程，得

由二次函數(shù)性質(zhì)知，f(I2)=0 存在唯一正根，使得f()=0.再將代入式(23)中，可得到方程(21)唯一的有病毒平衡點(diǎn).

定理5當(dāng)R0>1 時(shí)，模型(21)存在唯一的有病毒平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明 模型(21)的Jacobi 矩陣為

計(jì)算

顯然有a1> 0, a3> 0，且a1a2?a3> 0.由Routh-Hurwitz 定理[11]知，有病毒平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.

模型(21)對(duì)應(yīng)以ω為周期的任意周期解P(t) = (T2(t),T2(t),V2(t))的二階復(fù)合系統(tǒng)為[15]

做Lyapunove 函數(shù)

由區(qū)域D內(nèi)只含有穩(wěn)定平衡點(diǎn)Q?2，故存在c1，使得L ≥c1sup{|X|,|Y|,|Z|}.

將對(duì)(24)式求右導(dǎo)數(shù)，有

其中α=min{dT2,dI2}.

由式(25)得

其中

再由式(21)可知

由式(26)可得

取

由式(27)知

由此可知，方程(24)零解是穩(wěn)定的.

另一方面，取H= diag(?1,1,?1)可證明的非對(duì)角線元素非正，模型(21)是競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)，即模型(21)滿足Poincare-Bendixson 性質(zhì)，由文獻(xiàn)[11]知，模型(21)有病毒平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定.

4 模型應(yīng)用

目前，用HBIG 阻斷攜帶HBV 的母體感染胎兒的治療方案沒有明確統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，但已取得了階段性的進(jìn)展.臨床實(shí)踐中，通過檢測(cè)治療過程中母體的HBV-DNA 數(shù)據(jù)(其與HBV 存在正相關(guān)關(guān)系)來確定治療效果.并認(rèn)為HBV 攜帶者與感染者之間存在著臨界值，若檢測(cè)結(jié)果沒有超過臨界值，可以視為HBV 轉(zhuǎn)陰，無傳染性可能.因此，用藥原則遵循著母體內(nèi)HBV 不應(yīng)超過臨界[7].根據(jù)檢測(cè)到母體HBV-DNA 數(shù)據(jù)，可以定性推測(cè)胎兒感染HBV 可能性.用數(shù)學(xué)模型可以定量分析母嬰體內(nèi)HBV 數(shù)量變化趨勢(shì)，預(yù)測(cè)胎兒體內(nèi)HBV 數(shù)量的變化情況.并且通過調(diào)整模型的參數(shù)，進(jìn)一步優(yōu)選用藥量使得母體的HBV 控制在臨界值之下.其中HBV-DNA 的臨界值為277，HBV 的臨界值為1000[7].模型(1)中參數(shù)見表2[16].

表2 模型相關(guān)參數(shù)數(shù)值表

下面根據(jù)模型(1)結(jié)果和表2 中乙肝患者的相關(guān)參數(shù)選取，針對(duì)于HBIG 治療HBV 孕婦案例，分析模型結(jié)果的合理性，數(shù)值模擬HBIG 劑量對(duì)母體內(nèi)HBV 的數(shù)量影響，預(yù)測(cè)胎兒感染HBV 數(shù)量的變化情況.

案例：孕婦懷孕第20 周，孕期檢查時(shí)發(fā)現(xiàn)孕婦體內(nèi)攜帶HBV，檢測(cè)HBV-DNA 沒有超過臨界值為277，認(rèn)為還沒有發(fā)病.為避免將病毒傳染給胎兒，在家屬知情的情況下，對(duì)孕婦進(jìn)行注射HBIG 的阻斷治療.治療期間檢測(cè)到母體內(nèi)HBV-DNA 含量如下表3.采取的治療方案是標(biāo)準(zhǔn)用藥方案，即每月注射一針HBIG，每次劑量200 IU，直至分娩[17].

表3 孕婦血清中HBV-DNA 含量

由表3 中數(shù)據(jù)可以繪制出治療期間孕婦血清中HBV-DNA 含量的曲線如下圖1.

由圖1 可以看出，在懷孕20 周時(shí)開始用藥，母體內(nèi)HBV-DNA 含量先增加，到了第22 周左右時(shí)達(dá)到峰值，隨著時(shí)間的推移，母體內(nèi)HBV-DNA 含量逐漸減少，直至40 周后趨于平穩(wěn).

圖1 母體內(nèi)HBV-DNA 含量

4.1 模型的合理性分析

結(jié)合案例數(shù)據(jù)，用模型(1)數(shù)值模擬母體HBV 數(shù)量變化趨勢(shì)，分析模型結(jié)果的合理性.選取母體內(nèi)的HBV 數(shù)量的初值V1(20)<，將表2 中數(shù)據(jù)代入模型(1)，計(jì)算出R0= 1.05> 1，由定理4 知病毒平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定點(diǎn).應(yīng)用Matlab 軟件對(duì)模型(1)分別數(shù)值模擬出母體、胎兒體內(nèi)的HBV 數(shù)量隨時(shí)間變化的曲線圖像如下圖2 和圖3.

圖2 當(dāng)μ2 =200IU 時(shí)，母體內(nèi)V1(t)隨時(shí)間的變化曲線

圖3 當(dāng)μ2 =200IU 時(shí)，胎兒體內(nèi)V2(t)隨時(shí)間的變化曲線

從圖2 可以看出，在20 周時(shí)接受治療，HBV 數(shù)量增加到第22 周時(shí)達(dá)到峰值，隨后逐漸降低.圖2 的HBV 數(shù)量曲線變化趨勢(shì)與圖1 反映的HBV-DNA 含量曲線變化趨勢(shì)基本相同.在治療期間內(nèi)模型給出HBV 數(shù)量變化趨勢(shì)與臨床實(shí)際監(jiān)測(cè)HBV-DNA 含量變化趨勢(shì)一致，說明模型是合理的.同時(shí)，由圖2 的數(shù)據(jù)可知，母體內(nèi)HBV 達(dá)到的峰值數(shù)量900，低于在治療期間(20 周–45 周)平均HBV 數(shù)量為483，HBV 數(shù)量在可控的范圍內(nèi)，降低了胎兒的感染HBV 的風(fēng)險(xiǎn).由圖3 數(shù)據(jù)可計(jì)算出孕期胎兒的HBV 數(shù)量是362.

4.2 藥物劑量對(duì)攜帶HBV 孕婦病毒數(shù)量的影響

當(dāng)孕婦攜帶HBV 的數(shù)量沒有超過臨界值數(shù)量時(shí)，胎兒感染HBV 風(fēng)險(xiǎn)很大.臨床上應(yīng)用HBIG 阻斷HBV 在母嬰間傳播，4.1 中給出了標(biāo)準(zhǔn)用藥方案下孕婦、胎兒體內(nèi)HBV 數(shù)量，能夠有效控制HBV 數(shù)量不超出臨界數(shù)值.在不超出最小中毒劑量下，當(dāng)增加用藥劑量至?xí)r400IU[17]，分析數(shù)值模擬HBV數(shù)量的變化趨勢(shì).選取母體內(nèi)的HBV數(shù)量的初值V1(20) = 600<，其它參數(shù)仍取表2，計(jì)算出R0= 0.64<1.由定理3 知，無病毒平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定點(diǎn).由于孕周期時(shí)間是有限的，在此只考慮45 周之內(nèi)孕婦體內(nèi)HBV 數(shù)量變化情況，用Matlab 數(shù)值模擬出母體、胎兒體內(nèi)HBV 數(shù)量隨時(shí)間變化的曲線圖像如下圖4 和圖5.

由圖4 數(shù)值可知，當(dāng)改變藥物劑量為時(shí)400IU，母體內(nèi)HBV 數(shù)量峰值795 低于1000，平均病毒數(shù)量367.對(duì)比圖2、圖4，發(fā)現(xiàn)在孕期內(nèi)HBV 數(shù)量均下降，說明調(diào)整劑量后的用藥方案能更好的控制體內(nèi)的病毒數(shù)量.由圖5 數(shù)值可以計(jì)算出胎兒體內(nèi)的HBV 的數(shù)量是340.由此說明增加藥劑量可以快速降低母體內(nèi)HBV 數(shù)量，胎兒的感染風(fēng)險(xiǎn)減小，達(dá)到更好的治療效果.

圖4 當(dāng)μ2 =400IU 時(shí)，母體內(nèi)V1(t)隨時(shí)間的變化曲線

圖5 當(dāng)μ2 =400IU 時(shí)，胎兒體內(nèi)V2(t)隨時(shí)間的變化曲線

4.3 藥物劑量對(duì)感染HBV 孕婦病毒數(shù)量的影響

圖6 不同劑量下，母體內(nèi)V1(t)隨時(shí)間的變化曲線

圖7 不同劑量下，胎兒體內(nèi)V2(t)隨時(shí)間的變化曲線

從圖6 可以看出，隨著藥物劑量的增大，母體內(nèi)HBV 的數(shù)量下降的速度越快，且在第12 周時(shí)HBV 數(shù)量分別為1050、830、810，說明給藥劑量為200IU 時(shí)，不能嚴(yán)格的控制母體HBV 傳染給胎兒，不能達(dá)到阻斷的效果，通過劑量為400IU 與500IU 對(duì)比知，500IU 的母體內(nèi)的HBV 數(shù)量下降得更快，則在臨床實(shí)踐中，在患者經(jīng)濟(jì)允許情況下，可適當(dāng)?shù)丶哟笏幬锏闹委焺┝?，做出針?duì)性的治療方案.