王凱宇 龐祥龍 李曉光

(西北工業(yè)大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 西安 710129)

超疏水表面液滴的振動(dòng)特性與接觸線(xiàn)的移動(dòng)、液滴體積、基底振幅等因素密切相關(guān).本文在基底振幅較小且恒定的條件下, 研究了超疏水表面液滴的共振振幅、模式區(qū)間、共振頻率等振動(dòng)特性及其與液滴體積(20—500 μL)的關(guān)系.此外, 將基于一般性疏水表面建立的Noblin 共振頻率計(jì)算模型應(yīng)用于超疏水表面, 并提出“虛駐點(diǎn)”的概念, 借此對(duì)模型進(jìn)行了誤差分析和修正.研究表明: 1)共振時(shí), 液滴高度變化率即比振幅隨體積增大而增大, 隨階數(shù)增大而減小; 2)各模式區(qū)間的起止頻率首尾相接, 其范圍隨體積增大而減小; 3)液滴體積越大, 共振頻率越小, 隨著階數(shù)增大, 共振頻率f 與體積V 的關(guān)系趨于f -V–0.4, 不同于一般性疏水表面上的f -V–0.5; 4)直接應(yīng)用Noblin 模型計(jì)算共振頻率會(huì)產(chǎn)生較大誤差, 主要原因在于液滴表面波波段數(shù)量統(tǒng)計(jì)存在較大偏差, 而修正后的模型可以準(zhǔn)確計(jì)算超疏水表面大體積液滴的共振頻率.

1 引 言

液滴振動(dòng)是一種常見(jiàn)且容易調(diào)控的動(dòng)態(tài)行為,在液滴霧化[1]、微流控制[2]、物質(zhì)結(jié)晶[3,4]等諸多領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用.此外, 利用液滴振動(dòng), 還可以實(shí)現(xiàn)平衡態(tài)接觸角、表面張力、粘度等物理量的測(cè)量[5?9], 促進(jìn)內(nèi)部物質(zhì)混合[10?13], 增大細(xì)胞球尺寸[14], 等等.

對(duì)液滴振動(dòng)物理特性的研究由來(lái)己久.早在1879 年, Rayleigh[15]就從理論上研究了非黏性自由液滴的振動(dòng).此后, 人們逐步研究了自由液滴[16],以及親水、一般性疏水[3?5,17?27]和超疏水表面上液滴/座滴[28?32]的振動(dòng)行為.確定不同條件、不同振蕩模式下座滴的共振頻率具有重要意義.2004 年,Noblin 等[26]將座滴等效成水池中的液體, 結(jié)合水池一維表面波的本征頻率公式, 給出了一般性疏水表面上大體積液滴的共振頻率公式, 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為吻合.2006 年, Lyubimov 等[27]報(bào)導(dǎo)了半球形液滴的受迫振動(dòng)行為, 在忽略黏性耗散的情況下給出了相應(yīng)的共振頻率計(jì)算公式.2009 年, Ilyukhina等[28]建立了適用于描述任意浸潤(rùn)性表面的接觸線(xiàn)固著的小體積液滴振動(dòng)模型, 理論上可以計(jì)算超疏水表面上液滴的共振頻率.但實(shí)際上, 由于超疏水表面粘滯力很小, 液滴的接觸線(xiàn)常處于移動(dòng)狀態(tài), 與模型假定的接觸線(xiàn)固著并不相符.2012 年,Mettu 和Chaudhury[32]報(bào)導(dǎo)了超疏水表面小體積(1—20 μL)液滴的振動(dòng)行為, 他們采用白噪聲混頻信號(hào)來(lái)驅(qū)動(dòng)液滴振動(dòng), 利用傅里葉轉(zhuǎn)換同時(shí)獲取液滴在各個(gè)頻率下的振幅, 通過(guò)這種間接測(cè)量手段來(lái)確定共振頻率, 其實(shí)驗(yàn)結(jié)果與基于一般性疏水表面建立的Noblin 模型[26]理論值較為符合.2014 年,周建臣等[31]在保持基底振幅恒定的情況下, 通過(guò)調(diào)節(jié)頻率變化直接測(cè)量了超疏水表面小體積(9 μL)液滴的共振頻率, 發(fā)現(xiàn)測(cè)量結(jié)果滿(mǎn)足Rayleigh 公式, 這與之前Ramos 等[36]得出的超疏水表面球形液滴可近似看作自由液滴的結(jié)論相一致.然而, 作者沒(méi)有對(duì)大體積液滴的振動(dòng)行為, 及其共振頻率是否滿(mǎn)足Noblin 模型進(jìn)行研究.

總體而言, 目前對(duì)超疏水表面液滴的振動(dòng)特性認(rèn)識(shí)還不充分, 尤其是大體積液滴(大于20 μL)的共振頻率、振幅變化等問(wèn)題還未見(jiàn)報(bào)導(dǎo).此外, 以往的研究總是忽略了振動(dòng)模式(階數(shù))對(duì)應(yīng)的頻率區(qū)間問(wèn)題.液滴會(huì)隨頻率變化做不同階數(shù)的振動(dòng), 而每種振動(dòng)階數(shù)都不只對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率點(diǎn), 而是一個(gè)頻率區(qū)間, 這里我們稱(chēng)其為“模式區(qū)間”.處于不同振動(dòng)階數(shù)的液滴的某些性質(zhì), 如內(nèi)部流場(chǎng)特征[33,34], 會(huì)存在明顯差異, 因此, 了解模式區(qū)間的變化規(guī)律具有重要意義, 而這方面的內(nèi)容目前也未見(jiàn)報(bào)導(dǎo).

基于以上背景, 本文在保持基底振幅恒定的條件下, 研究了超疏水表面液滴的振動(dòng)特性及其與液滴體積(20—500 μL)的關(guān)系.首先對(duì)不同體積液滴的幅頻關(guān)系進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)量, 從中提煉出了共振振幅、模式區(qū)間、共振頻率等參量的變化規(guī)律;繼而針對(duì)共振頻率進(jìn)行了理論研究, 重點(diǎn)研究了Noblin 模型的適用性和修正問(wèn)題.通過(guò)引入“虛駐點(diǎn)”對(duì)液滴的幾何特征進(jìn)行分析, 闡明了Noblin 模型誤差產(chǎn)生的原因及其隨液滴體積變化的機(jī)制, 并在此基礎(chǔ)上建立了修正模型.實(shí)驗(yàn)證明, 使用修正模型可以準(zhǔn)確計(jì)算超疏水表面大液滴的共振頻率.

2 研究方法

如圖1 所示, 采用美瑞克RK1212BL(20 W)音頻信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生正弦信號(hào), 將信號(hào)輸出至揚(yáng)聲器以產(chǎn)生簡(jiǎn)諧振動(dòng), 通過(guò)調(diào)節(jié)輸出電壓來(lái)調(diào)節(jié)揚(yáng)聲器振幅.實(shí)驗(yàn)中, 頻率調(diào)節(jié)范圍為30—350 Hz.利用烷基化二氧化硅溶膠, 結(jié)合提拉和水洗工藝在單凹玻片基底上制備超疏水二氧化硅薄膜[35], 其表面水接觸角為162° ± 2°, 滾動(dòng)角為5° ± 2°.將鍍膜后的玻璃片固定在揚(yáng)聲器振膜上, 再將水滴置于凹面中間使其做受迫振動(dòng).與Noblin 等[26]的實(shí)驗(yàn)一樣, 本研究采用帶凹面的基底, 目的是防止液滴在振動(dòng)過(guò)程中滾落.所用單凹玻片凹面處的曲率很小, 曲率半徑高達(dá)106.8 mm, 而本研究中最大液滴(500 μL)的寬度僅為12.6 mm, 因此, 液滴可近似看作是在平面基底上振動(dòng).采用高速攝像機(jī)以每秒2000 幀的速度拍攝液滴的振動(dòng)行為; 使用Adobe Photoshop 軟件對(duì)振動(dòng)瞬態(tài)圖像進(jìn)行疊加,判斷振動(dòng)階數(shù); 使用Adobe Illustrator 軟件測(cè)量液滴的輪廓長(zhǎng)度.

3 結(jié)果與討論

3.1 模式區(qū)間和共振振幅

如果液滴振動(dòng)劇烈, 引起了接觸線(xiàn)的大幅振蕩, 那么在接觸線(xiàn)滯后阻力等因素的影響下, 液滴振動(dòng)頻率會(huì)趨于基底振動(dòng)頻率的一半[5,17,19,31],在這種情況下, 液滴有時(shí)會(huì)做非軸對(duì)稱(chēng)的星形振動(dòng)[5,17,19].如果振動(dòng)比較輕微, 接觸線(xiàn)保持固著或者僅輕微振蕩, 液滴則會(huì)做與基底同頻的軸對(duì)稱(chēng)振動(dòng).本研究發(fā)現(xiàn), 超疏水表面的大體積液滴很容易在劇烈振動(dòng)下失穩(wěn), 因此, 通過(guò)調(diào)節(jié)電壓使得基底處于小幅振動(dòng), 并觀(guān)測(cè)到在這種情況下, 不同體積(20—500 μL)液滴皆與基底同頻振動(dòng), 且始終呈現(xiàn)為軸對(duì)稱(chēng)的形態(tài).由于振動(dòng)的軸對(duì)稱(chēng)性, 只考察液滴在側(cè)視平面內(nèi)的振動(dòng).

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖, 圖中玻片凹面處的曲率大小與實(shí)際情況相同.Fig.1.Sketch of experiment set, with the curvature of the concave area equal to that of the real substrate.

在振動(dòng)中, 液滴表面有些點(diǎn)的位置不隨時(shí)間變化, 被稱(chēng)作“駐點(diǎn)”.駐點(diǎn)數(shù)量會(huì)隨頻率增加, 如圖2所示.一般把駐點(diǎn)數(shù)量的一半定義為振動(dòng)階數(shù), 并用于劃分振動(dòng)模式.本研究對(duì)階數(shù)的定義略有不同, 下面以圖3 為例進(jìn)行說(shuō)明.若接觸線(xiàn)固著, 液滴底部會(huì)存在兩個(gè)駐點(diǎn), 如同左邊液滴的情形.而本實(shí)驗(yàn)中可以觀(guān)察到接觸線(xiàn)的小幅移動(dòng), 如同右邊液滴的情形.后者相對(duì)于前者, 底部駐點(diǎn)消失, 按照通常的定義, 振動(dòng)模式由3 階降為2 階.然而,由于接觸線(xiàn)位移很小, 兩個(gè)液滴的形態(tài)差異并不明顯, 因此, 為便于比較, 仍將右邊液滴的振動(dòng)稱(chēng)為3 階振動(dòng).換言之, 本文在討論實(shí)驗(yàn)中的液滴振動(dòng),以及接觸線(xiàn)移動(dòng)的Noblin 模型時(shí), 設(shè)定振動(dòng)階數(shù)n與駐點(diǎn)數(shù)k的關(guān)系為n=k/2 + 1, 而在討論接觸線(xiàn)固著的Noblin 模型時(shí), 仍然沿用階數(shù)的一般定義(n=k/2).

圖2 500 μL 液滴在不同頻率下的振動(dòng)瞬態(tài)圖像疊加(接觸線(xiàn)位移非常小, 近似認(rèn)為三相線(xiàn)處為駐點(diǎn)) (a) 30 Hz;(b) 50 Hz; (c) 70 Hz; (d) 100 HzFig.2.Snapshot-superimposed images of an oscillated droplet (500 μL) under different frequencies: (a) 30 Hz; (b) 50 Hz;(c) 70 Hz; (d) 100 Hz.

圖3 接觸線(xiàn)固著(左)和移動(dòng)(右)模式下駐點(diǎn)數(shù)分別為6 和4 的液滴振動(dòng)示意圖Fig.3.Schematics of droplet oscillations under pinned (left)and moving (right) contact lines, with the quantity of stationary points being 6 and 4, respectively.

為描述液滴振動(dòng)的劇烈程度, 引入一個(gè)無(wú)量綱參量—液滴比振幅, 定義為液滴在振動(dòng)過(guò)程中最大和最小高度之差 ?h與液滴靜止時(shí)的高度h之比.根據(jù)揚(yáng)聲器在不同頻率下的響應(yīng)選擇合適的輸入電壓(0.004—1.441 V), 來(lái)確?；渍穹?約16 μm)不隨頻率變化, 排除基底振幅變化對(duì)結(jié)果的影響.圖4(a)—4(d)展示了4 種不同體積液滴的比振幅隨頻率的變化, 可以看出, 整體上, 振動(dòng)階數(shù)隨振動(dòng)頻率增大而增大, 而每種模式的振動(dòng)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)頻率區(qū)間(模式區(qū)間), 區(qū)間的兩端大致位于幅頻曲線(xiàn)的極小值處, 也就是說(shuō), 液滴剛進(jìn)入或離開(kāi)某個(gè)模式區(qū)間時(shí), 振幅最小.圖4(e)總結(jié)了不同體積液滴的3—5 階振動(dòng)模式區(qū)間, 可以看出,各階振動(dòng)模式區(qū)間首尾相接, 起止頻率隨體積增大而減小, 區(qū)間范圍也隨體積而減小.

在圖4(a)—4(d)中, 每個(gè)模式區(qū)間內(nèi)都有一個(gè)比振幅極大值, 對(duì)應(yīng)的頻率即為該振動(dòng)模式中的共振頻率.對(duì)于同一體積, 液滴的共振比振幅隨階數(shù)增大而減小; 對(duì)于同一階數(shù), 共振比振幅隨體積增大而增大, 如圖4(f)所示.前人在針對(duì)親水表面液滴以及超疏水表面小體積液滴的研究中也發(fā)現(xiàn)了類(lèi)似規(guī)律[8,26,32], 然而, 有些研究忽視了基底本身振幅隨頻率的變化[26,32], 因此所得到的結(jié)果難以準(zhǔn)確反映出液滴振幅隨頻率和階數(shù)的變化規(guī)律.相比之下, 本文通過(guò)調(diào)節(jié)電壓使基底振幅在各個(gè)頻率下保持恒定, 排除了基底振幅變化的干擾, 從而使得具體結(jié)果和相關(guān)規(guī)律具有較高的準(zhǔn)確性和可靠性.

3.2 理論和實(shí)驗(yàn)共振頻率

超疏水表面的球形微液滴可以近似看作自由液滴, 它們的本征頻率可以用Rayleigh 公式來(lái)估算[31,36].而本研究涉及的液滴體積較大, 受到較強(qiáng)的重力作用, 這些液滴明顯偏離球形, 不能再視為自由液滴, 因此Rayleigh 公式不再適用.而Noblin 等提出的共振頻率計(jì)算模型適用于大體積液滴[26],因此采用這種模型用于共振頻率的理論計(jì)算.

Noblin 模型描述的是球冠/半球形液滴, 即一般性疏水表面上的液滴.該模型將靜止液滴輪廓弧長(zhǎng)p設(shè)定為表面波總長(zhǎng)度, 相鄰兩駐點(diǎn)包含1/2 個(gè)波段, 并根據(jù)接觸線(xiàn)移動(dòng)與否, 將液滴振動(dòng)分為兩種類(lèi)型: 接觸線(xiàn)固著型和接觸線(xiàn)移動(dòng)型, 如圖5 所示.在此基礎(chǔ)上, 根據(jù)駐點(diǎn)數(shù)量確定表面波的波段數(shù)量N, 再利用表面波總長(zhǎng)p求出波段平均長(zhǎng)度,并將其定義為表面波的平均波長(zhǎng)

圖4 不同體積液滴的幅頻關(guān)系 (a) 20 μL, (b) 70 μL, (c) 200 μL, (d) 500 μL; 模式區(qū)間(e), 共振比振幅(f)與液滴體積的關(guān)系Fig.4.Droplet amplitudes versus oscillation frequencies for different droplet volumes: (a) 20 μL; (b) 70 μL; (c) 200 μL; (d) 500 μL;mode ranges (e) and resonance amplitudes (f) versus droplet volumes.

對(duì)于接觸線(xiàn)固著和移動(dòng)模型, 表面波波段數(shù)量N與駐點(diǎn)數(shù)的關(guān)系分別為

其中,j,k分別為這兩種模型中的駐點(diǎn)數(shù).需要指出的是, 式(3)意味著將圖5(b)中最下方駐點(diǎn)與基底之間的波段數(shù)量視為1/4, 盡管Noblin 等在文章中并未對(duì)該細(xì)節(jié)進(jìn)行說(shuō)明.

圖5 Noblin 模型示意圖 (a)接觸線(xiàn)固著型; (b)接觸線(xiàn)移動(dòng)型, 其中藍(lán)色區(qū)域表示靜止液滴, 實(shí)線(xiàn)、虛線(xiàn)分別為液滴處于最大和最小高度時(shí)的輪廓Fig.5.Illustrations of two types of Noblin models: (a) Fixed contact line; (b) mobile contact line, where the blue areas represent the static droplets, the solid and dashed curves represent droplet profiles at the maximum and minimum heights, respectively.

在此基礎(chǔ)上, Noblin 等將座滴的表面波等效為水池中液體的表面波, 把式(1)計(jì)算出的表面波平均波長(zhǎng)代入用來(lái)計(jì)算水池中液體一維表面波本征頻率f的公式[37]:

并將計(jì)算得到的f視作液滴共振頻率的理論值.其中,g為重力加速度,κ?1,γ,ρ分別為液體的毛細(xì)長(zhǎng)度、表面張力和密度,h為水池中水深(用液滴平均高度V/(πa2) 代替,V,a分別為液滴體積和接觸半徑),λ和q分別為水池中液體表面波的波長(zhǎng)(用座滴表面波平均波長(zhǎng)代替)和波矢.值得一提的是, 這種等效體的思路在科學(xué)研究中應(yīng)用廣泛, 其本質(zhì)在于借用成熟的、易測(cè)量的研究體系來(lái)模擬復(fù)雜的實(shí)際研究對(duì)象, 基于各種設(shè)定和近似來(lái)測(cè)量或計(jì)算出所研究對(duì)象的參數(shù)或特性.例如, 在液體彈珠(空氣環(huán)境中表面附著顆粒的液滴)有效表面張力問(wèn)題的研究中, 常把液體彈珠等效成同體積的裸液滴, 利用裸液滴的表面張力測(cè)量手段得到液體彈珠的有效表面張力, 對(duì)此, 李曉光等人近期進(jìn)行了深入探討[38?41].

本研究將超疏水表面上的液滴等效成水池中的液體, 將相關(guān)液滴參數(shù)代入Noblin 模型來(lái)計(jì)算共振頻率.具體來(lái)說(shuō), 量取4 種不同體積液滴靜止?fàn)顟B(tài)的總弧長(zhǎng)和俯視圖半徑, 分別利用接觸線(xiàn)固著和移動(dòng)模型計(jì)算出3—6 階共振頻率理論值.從圖6(a)可以看出, 理論和實(shí)驗(yàn)共振頻率有一定偏差, 但整體規(guī)律一致, 都隨體積增大而減小, 隨階數(shù)增大而增大.從圖6(b)可以看出, 共振頻率f與體積V近似滿(mǎn)足f?V a(a為曲線(xiàn)斜率), 并且隨著階數(shù)增大, 實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)和理論曲線(xiàn)的斜率逐漸接近,都趨于–0.4.Noblin 等[26]用一般性疏水表面作基底, 也發(fā)現(xiàn)了f?V a的關(guān)系, 然而在他們的研究中,隨著階數(shù)的增大,a趨于–0.5.斜率的差異說(shuō)明, 當(dāng)表面浸潤(rùn)性不同時(shí), 液滴共振頻率隨體積變化的規(guī)律也有所不同.

3.3 共振頻率理論模型的誤差與修正

從圖6 還可以看出, 相對(duì)于實(shí)驗(yàn)測(cè)量的共振頻率, 基于接觸線(xiàn)固著模型的理論值偏大, 而基于接觸線(xiàn)移動(dòng)模型的理論值偏小.這說(shuō)明對(duì)超疏水表面上的液滴直接套用Noblin 模型會(huì)產(chǎn)生特定誤差.分析原因, 主要有兩方面因素需要考慮, 一是液滴的平均高度, 二是液滴表面波的波長(zhǎng).Noblin 模型在建立過(guò)程中將體積與底面積之比定義為液滴“平均”高度, 實(shí)為有效高度, 用于等效水池中的液體深度.這一設(shè)定其實(shí)是將球冠/半球形液滴等效成了圓柱體.按照該思路, 對(duì)于超疏水表面球形/橢球形液滴有效高度的求算, 應(yīng)該用體積除以俯視圖面積而不是底面積, 所以, 本研究將俯視圖面積代入計(jì)算.然而, 由于液滴并不關(guān)于俯視圖截面嚴(yán)格上下對(duì)稱(chēng), 所以算得的有效高度與Noblin 模型的設(shè)定并不完全一致.為檢驗(yàn)有效高度的影響, 將不同體積液滴的實(shí)際高度和有效高度分別代入式(4), 發(fā)現(xiàn)雙曲正切函數(shù)tanh(qh)這一項(xiàng)在所有情況下都大于0.999(極限值為1), 實(shí)際高度和有效高度的差異所引起的共振頻率f的變化在0.1 Hz 量級(jí), 與共振頻率的大小相比可以忽略不計(jì).這意味著在分析Noblin 模型適用性時(shí), 可以忽略有效高度這一因素.

圖6 普通坐標(biāo)系(a)和雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系(b)中液滴3—6階振動(dòng)的共振頻率與體積的關(guān)系曲線(xiàn)Fig.6.Theoretical and experimental resonance frequencies versus droplet volumes under oscillation mode numbers ranging from 3 to 6: (a) General coordinate system; (b) logarithmic coordinate system.

對(duì)表面波波長(zhǎng)這一因素的分析, 也需要圍繞幾何特征來(lái)展開(kāi).對(duì)于接觸線(xiàn)固著模型, 基底上存在駐點(diǎn), 該駐點(diǎn)與上方相鄰駐點(diǎn)間包含了1/2 個(gè)波段(圖5(a)).超疏水表面上液滴的接觸線(xiàn)會(huì)隨液滴一起振動(dòng), 因此基底上并不存在駐點(diǎn).然而, 將橫向和縱向形變最大時(shí)的兩個(gè)液滴輪廓向基底下方延長(zhǎng), 交匯處可形成“虛駐點(diǎn)”, 如圖7 所示.可以認(rèn)為, 虛駐點(diǎn)與上方相鄰的實(shí)駐點(diǎn)間包含1/2 個(gè)波段, 該波段以基底為界分成兩個(gè)部分(A,B).這意味著, 基底與上方駐點(diǎn)間(B部分)的波段數(shù)量實(shí)際不足1/2, 所以, 直接采用Noblin 接觸線(xiàn)固著模型, 波段數(shù)量會(huì)比實(shí)際偏多, 導(dǎo)致由式(1)得到的平均波長(zhǎng)偏小, 繼而使得由式(4)計(jì)算出的共振頻率偏大.

圖7 超疏水表面液滴表面波的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.7.Schematic of the surface wave structure of a droplet on a superhydrophobic surface.

對(duì)于接觸線(xiàn)移動(dòng)模型, 如前所述, 式(3)意味著該模型將基底至上方最近鄰駐點(diǎn)間的波段數(shù)量設(shè)定為1/4, 這可以結(jié)合一般性疏水基底上液滴表面波的形狀(圖5(b))來(lái)理解.當(dāng)接觸角約為90°時(shí), 波段弧線(xiàn)與基底正交, 可以認(rèn)為基底將一個(gè)1/2 波段截去了一半, 所以基底與上方最近鄰駐點(diǎn)間只有1/4 個(gè)波段.然而, 在超疏水表面上, 由于接觸角較大, 虛駐點(diǎn)的位置又很靠近邊緣, 所以基底只將1/2 波段截去了一小半(圖7, 區(qū)域A),在基底之上余留了一大半(圖7, 區(qū)域B), 也就是說(shuō), 基底與上方最近鄰駐點(diǎn)間的波段數(shù)量大于1/4.所以, 直接采用Noblin 接觸線(xiàn)移動(dòng)模型, 波段數(shù)量會(huì)比實(shí)際偏少, 導(dǎo)致由式(1)得到的平均波長(zhǎng)偏大,繼而使得由式(4)計(jì)算出的共振頻率偏小.

此外, 以實(shí)驗(yàn)值為標(biāo)準(zhǔn), 接觸線(xiàn)固著模型的相對(duì)誤差隨體積增大而減小, 而接觸線(xiàn)移動(dòng)模型的情況則剛好相反(圖8).以20 μL 和500 μL 液滴的3 階振動(dòng)為例, 對(duì)二者使用固著模型時(shí)產(chǎn)生的相對(duì)誤差分別為26%和7%; 使用移動(dòng)模型時(shí)分別為9%和17%.這主要是因?yàn)? 隨著體積增大, 接觸線(xiàn)移動(dòng)變得困難, 其長(zhǎng)度變化率會(huì)逐漸減小.根據(jù)圖7,當(dāng)接觸線(xiàn)長(zhǎng)度變化率較小時(shí), 區(qū)域B所占的比例較大, 包含的波段數(shù)接近1/2, 也就是接近接觸線(xiàn)固著模型對(duì)波段數(shù)的設(shè)定, 所以, 此時(shí)采用固著模型誤差較小.反之, 當(dāng)接觸線(xiàn)長(zhǎng)度變化率較大時(shí),區(qū)域B所占比例較小, 包含的波段數(shù)接近接觸線(xiàn)移動(dòng)模型設(shè)定的1/4 個(gè)波段, 所以, 此時(shí)采用移動(dòng)模型誤差較小.

圖8 利用Noblin 接觸線(xiàn)固著模型(a)和移動(dòng)模型(b)求得的共振頻率的相對(duì)誤差與體積的關(guān)系Fig.8.Relative errors of resonance frequencies, obtained from the two types of Noblin models, versus droplet volumes: (a) Fixed-contact-line model; (b) mobile-contactline model.

綜上, 將兩種Noblin 模型直接應(yīng)用于超疏水表面上的液滴, 產(chǎn)生的誤差都來(lái)源于對(duì)表面波波段數(shù)量的判定, 此外, 無(wú)論哪一種模型, 產(chǎn)生的最小誤差都已經(jīng)接近10%(3 階振蕩時(shí)).為此, 引入兩個(gè)修正系數(shù)/幾何因子α和β來(lái)對(duì)波段數(shù)量進(jìn)行修正, 以期提高模型的適用性.如圖9 所示, 設(shè)定區(qū)域A和B分別包含α和β個(gè)1/4 波段, 由于整個(gè)區(qū)域包含1/2 個(gè)波段, 所以α+β=2.由于接觸角很大, 接觸線(xiàn)移動(dòng)范圍較小, 所以區(qū)域B占比總是比區(qū)域A大, 因此有: 0<α<1 , 1<β <2.

圖9 包含修正系數(shù) α 和 β 的表面波結(jié)構(gòu)示意圖Fig.9.Schematic of the surface wave structure with correction coefficients ( α and β ) involved.

如前文所述, 接觸線(xiàn)固著模型統(tǒng)計(jì)的波段數(shù)偏多, 即多統(tǒng)計(jì)了圖中區(qū)域A包含的“虛”波段數(shù), 因此, 應(yīng)將其減去:

其中,j,Nfixed和N分別為該模型的駐點(diǎn)數(shù)、及修正前后的總波段數(shù).

相應(yīng)的, 接觸線(xiàn)移動(dòng)模型統(tǒng)計(jì)的波段數(shù)偏少,具體說(shuō)來(lái)是對(duì)區(qū)域B的波段數(shù)估計(jì)不足, 因此, 應(yīng)予以補(bǔ)足:

其中,k,Nmobile和N分別為該模型的駐點(diǎn)數(shù)、及修正前后的總波段數(shù).

至此, 只需將式(2)和(3)分別替換為式(5)和(6), 就完成了對(duì)兩種Noblin 模型的修正.實(shí)際上, 雖然式(5)和(6)分別是對(duì)兩種不同模型的修正, 但都描述了真實(shí)的波數(shù), 因此完全等價(jià).對(duì)同一個(gè)液滴振動(dòng),k=j– 2, 將其代入式(6)即可得到與式(5)相同的表達(dá)式.也就是說(shuō), 對(duì)于超疏水表面接觸線(xiàn)移動(dòng)較小的液滴振動(dòng), 計(jì)算其理論共振頻率時(shí), 既可以采用修正后的Noblin 接觸線(xiàn)移動(dòng)模型, 也可以采用修正后的固著模型, 其結(jié)果是一樣的, 只要知道α或β的數(shù)值, 即可計(jì)算求解出唯一的共振頻率值, 下面以α為對(duì)象進(jìn)行討論.

利用實(shí)驗(yàn)測(cè)得的共振頻率, 可以反向推出四個(gè)體積、四個(gè)振動(dòng)模式對(duì)應(yīng)的α值, 如表1 所示.繼而, 對(duì)所得α值進(jìn)行指數(shù)擬合, 就可以得到各個(gè)振動(dòng)模式下α隨體積連續(xù)變化的曲線(xiàn)(圖10(a)), 及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式(3—6 階):

表1 不同體積及階數(shù)對(duì)應(yīng)的修正系數(shù)αTable 1.Values of correction coefficient α under different droplet volumes and oscillation mode numbers.

圖10 (a)修正系數(shù) α 的擬合曲線(xiàn); (b)修正前后Noblin模型的相對(duì)誤差Fig.10.(a) Fitted curves of the correction coefficient α ;(b) Relative errors of resonance frequencies from pristine and modified Noblin models.

為了檢驗(yàn)修正模型的有效性, 補(bǔ)充測(cè)量了體積為50 和350 μL 的液滴的3—6 階共振頻率, 并利用上述函數(shù)關(guān)系求出α值, 繼而求出相應(yīng)的理論共振頻率.結(jié)果發(fā)現(xiàn), 以實(shí)驗(yàn)值為標(biāo)準(zhǔn), 理論值的相對(duì)誤差最大不超過(guò)3%, 且受體積影響很小.相比之下, 直接運(yùn)用修正前的Noblin 模型, 產(chǎn)生的相對(duì)誤差遠(yuǎn)大于修正后的結(jié)果, 最大誤差更是達(dá)到了20%以上, 而且誤差受體積影響較大(圖10(b)).以上結(jié)果說(shuō)明, 修正模型可以大幅度提高大體積液滴共振頻率理論值的精確度, 相比原始的Noblin模型更適用于超疏水表面.

4 結(jié) 論

本文揭示了超疏水表面液滴的共振振幅、模式區(qū)間、共振頻率等振動(dòng)特性及其與液滴體積(20—500 μL)的關(guān)系.發(fā)現(xiàn)共振時(shí)液滴的變形程度總體上隨體積增大而增大, 隨階數(shù)增大而減小.指出每個(gè)振動(dòng)階數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率區(qū)間即模式區(qū)間,其范圍隨體積增大而減小.重點(diǎn)研究了共振頻率,發(fā)現(xiàn)共振頻率隨體積變化的指數(shù)關(guān)系不同于一般性疏水表面上的結(jié)果.在理論共振頻率的研究方面, 發(fā)現(xiàn)將基于一般性疏水表面建立的兩種Noblin模型直接應(yīng)用于超疏水表面會(huì)產(chǎn)生較大誤差, 其中, 接觸線(xiàn)固著模型得到的共振頻率偏大, 接觸線(xiàn)移動(dòng)模型得到的共振頻率偏小, 前者的誤差隨體積增大而減小, 后者的誤差隨體積增大而增大.提出了“虛駐點(diǎn)”的概念用于表面波形狀分析, 基于此揭示了上述誤差及其變化的來(lái)源: 采用固著模型時(shí),由于接觸線(xiàn)實(shí)際發(fā)生了移動(dòng), 導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)的波段數(shù)量偏多; 采用移動(dòng)模型時(shí), 由于接觸角遠(yuǎn)大于Noblin模型中的接觸角(約90°), 導(dǎo)致統(tǒng)計(jì)的波段數(shù)量偏少.為此引入了幾何因子對(duì)波段數(shù)量進(jìn)行修正, 利用修正后的模型計(jì)算共振頻率誤差明顯減小, 最大相對(duì)誤差不超過(guò)3%.