曾 榮

(南通市教育科學(xué)研究院 226001)

單元教學(xué)有利于整體規(guī)劃學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展，有利于借助于大背景、大問(wèn)題、大思路、大框架進(jìn)行高觀點(diǎn)統(tǒng)領(lǐng)、思想性駕馭、結(jié)構(gòu)化關(guān)聯(lián)，能有效規(guī)避傳統(tǒng)的課時(shí)教學(xué)整體感不強(qiáng)、知識(shí)分解過(guò)度、學(xué)習(xí)碎片化、教學(xué)效益低下的現(xiàn)象．但數(shù)學(xué)單元教學(xué)不是不要課時(shí)教學(xué)，它應(yīng)該在核心素養(yǎng)和課程目標(biāo)的指引下，設(shè)計(jì)單元教學(xué)目標(biāo)和課時(shí)教學(xué)目標(biāo)，使之成為一個(gè)前后聯(lián)系、相互支撐的整體．本文結(jié)合“圓錐曲線”的教學(xué)談數(shù)學(xué)單元教學(xué)的整體設(shè)計(jì)與課時(shí)實(shí)施．

1 單元教學(xué)的整體設(shè)計(jì)

單元的學(xué)習(xí)任務(wù)一般都有一個(gè)明確的主線，這個(gè)主線可以是外顯的知識(shí)技能，也可以是內(nèi)蘊(yùn)于知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中的思想方法或?qū)W科素養(yǎng)．因此，一般又可根據(jù)學(xué)習(xí)主線的類型將學(xué)習(xí)單元分為兩類：以知識(shí)技能為主題的學(xué)習(xí)單元和以思想方法或?qū)W科素養(yǎng)為主題的學(xué)習(xí)單元[1]．

1.1 基于知識(shí)技能為主題的單元教學(xué)的整體設(shè)計(jì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年)》指出：通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來(lái)發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)(簡(jiǎn)稱“四基”)[2]．知識(shí)技能不等于數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但卻是發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效載體．現(xiàn)階段教科書基本是以外顯的知識(shí)為明線組織的，因此，教科書中自然的章節(jié)就是天然的單元．

圓錐曲線部分包含橢圓、雙曲線、拋物線，從知識(shí)技能角度看，三者的知識(shí)結(jié)構(gòu)相近，知識(shí)間存在內(nèi)在的必然聯(lián)系，具有統(tǒng)一性．現(xiàn)行蘇教版教科書采用了“總——分——總”的方式，把三者整合在一起．教材先通過(guò)丹德林雙球模型總體建構(gòu)橢圓、雙曲線、拋物線的概念，引出大單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容．然后分三個(gè)小單元進(jìn)行學(xué)習(xí)，每個(gè)單元的研究結(jié)構(gòu)是一致的，均從標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)兩個(gè)方面展開研究．最后在知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行單元總結(jié)回顧，形成圓錐曲線學(xué)習(xí)與研究的大框架．教科書的整體設(shè)計(jì)如下：

1.2 基于思想方法或?qū)W科素養(yǎng)為主題的單元教學(xué)的整體設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是思維方法的學(xué)習(xí)，適時(shí)地以思想方法進(jìn)行單元教學(xué)的整體設(shè)計(jì)，用高觀點(diǎn)、思想性去引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)，更有利于學(xué)科素養(yǎng)的提升．

對(duì)于圓錐曲線的學(xué)習(xí)，知識(shí)的內(nèi)在統(tǒng)一性是一條明線，內(nèi)隱的用代數(shù)的方法研究幾何，深刻認(rèn)識(shí)數(shù)和形的辯證統(tǒng)一是一條暗線．實(shí)際教學(xué)時(shí)，我們可以基于思想方法視角對(duì)傳統(tǒng)的知識(shí)單元進(jìn)行重整，更為上位地認(rèn)識(shí)學(xué)科知識(shí)．重整后的三個(gè)小單元的做法和目標(biāo)各不相同，層層遞進(jìn)．

橢圓小單元：采用先分后總的形式，在課時(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上及時(shí)回顧總結(jié)，形成圓錐曲線學(xué)習(xí)與研究的大框架．

雙曲線小單元：將橢圓小單元的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)直接遷移到雙曲線的小單元學(xué)習(xí)之中，進(jìn)一步深化對(duì)解析法的認(rèn)識(shí)．

拋物線小單元：在橢圓、雙曲線的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，用圓錐曲線學(xué)習(xí)與研究的大框架引領(lǐng)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)．實(shí)際教學(xué)時(shí)可以以開口向右的拋物線為例，將拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)作為一個(gè)整體進(jìn)行研究．單元教學(xué)的課時(shí)實(shí)施同樣需要整體建構(gòu)．

2 單元教學(xué)的課時(shí)實(shí)施

鐘啟泉教授認(rèn)為，“核心素養(yǎng)—課程標(biāo)準(zhǔn)(學(xué)科素養(yǎng)/跨學(xué)科素養(yǎng))—單元設(shè)計(jì)—課時(shí)計(jì)劃”是環(huán)環(huán)相扣的教師教育活動(dòng)的基本環(huán)節(jié)．單元設(shè)計(jì)下的課時(shí)教學(xué)不同于傳統(tǒng)的以知識(shí)傳授為主的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)將教學(xué)內(nèi)容置于整體內(nèi)容中去把控，更多地關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。

2.1 以思想方法為主題的單元教學(xué)的課時(shí)分配

內(nèi)容學(xué)習(xí)課時(shí)圓錐曲線通過(guò)丹德林雙球模型總體建構(gòu)橢圓、雙曲線、拋物線的概念1小單元1:橢圓橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2(含鞏固練習(xí))橢圓的幾何性質(zhì)1(含鞏固練習(xí))回顧與總結(jié)1小單元2:雙曲線雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1雙曲線的幾何性質(zhì)2(含鞏固練習(xí))小單元3:拋物線拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)(1)1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)(2)2(含鞏固練習(xí))

2.2 在小單元學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上形成學(xué)習(xí)與研究的大思路、大框架

單元設(shè)計(jì)下的橢圓小單元學(xué)習(xí)，希望在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的研究基礎(chǔ)上，通過(guò)及時(shí)回顧總結(jié)，形成如下的圓錐曲線學(xué)習(xí)與研究的大框架．

2.3 在大思路、大框架引領(lǐng)下的單元課時(shí)學(xué)習(xí)

【課例】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)(1)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，經(jīng)歷從具體情境中抽象出拋物線模型的過(guò)程，掌握它的定義．

2.通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)拋物線的定義建立標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)已知條件求開口向右的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，并能根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究拋物線的幾何性質(zhì)．

3.在已有經(jīng)驗(yàn)(橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì))的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步感悟解析幾何的研究方法，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．

學(xué)習(xí)過(guò)程

1.問(wèn)題情境

問(wèn)題1． 在前面的橢圓學(xué)習(xí)中，主要研究了哪幾方面的內(nèi)容？結(jié)合橢圓的研究經(jīng)歷，請(qǐng)你談?wù)勀銓?duì)解析幾何研究方法的理解．

問(wèn)題2． 對(duì)于拋物線的學(xué)習(xí)，你的研究思路是怎樣的？

【設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明】 回顧橢圓小單元的研究歷程，通過(guò)數(shù)學(xué)情境進(jìn)行方法引領(lǐng)，用圓錐曲線學(xué)習(xí)與研究的大框架引領(lǐng)本節(jié)課拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí)，確定本節(jié)課的研究思路．

2.學(xué)生活動(dòng)

【實(shí)驗(yàn)操作】如圖，已知直線a，b，c，d，e，g，h，i，j為一系列相互平行的直線，直線l垂直于各直線，垂足分別為A，B，C，D，E，G，H，I，J. 點(diǎn)F為直線e上一定點(diǎn)，且點(diǎn)F在直線l外.

折疊紙張，使點(diǎn)A，B，C，D，E，G，H，I，J分別與點(diǎn)F重合，紙張的折痕分別與a，b，c，d，e，g，h，i，j相交于點(diǎn)A1，B1，C1，D1，E1，G1，H1，I1，J1.請(qǐng)用光滑的曲線將點(diǎn)A1，B1，C1，D1，E1，G1，H1，I1，J1連接起來(lái)，觀察所得到的曲線．

【分析思考】曲線上的點(diǎn)具有怎樣的幾何特征？形成的是怎樣的特殊曲線？

【設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明】雖然在章節(jié)起始課已通過(guò)丹德林雙球模型介紹了拋物線的概念，但這樣的學(xué)習(xí)更多的是起到整體建構(gòu)、目標(biāo)引領(lǐng)作用，還需要適時(shí)強(qiáng)化，螺旋上升．為此，安排這樣的一個(gè)實(shí)驗(yàn)操作，深化對(duì)拋物線概念的理解，同時(shí)為后續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)做好鋪墊工作．

3.數(shù)學(xué)建構(gòu)

活動(dòng)1. 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)： 讓學(xué)生選擇(建立)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，根據(jù)拋物線的定義，列出等式，用坐標(biāo)表示等式中的量，并對(duì)所得方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(開口向右，焦點(diǎn)在x軸上).

【方案一】以l為y軸，過(guò)點(diǎn)F且垂直于l的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.

【方案二】取過(guò)點(diǎn)F且垂直于l的直線為x軸，x軸與l交于N,以線段NF的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系.

【方案三】以定點(diǎn)F為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且垂直于l的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.

【設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明】有了橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)經(jīng)歷，研究拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)也就順理成章了．結(jié)合不同的建系方式，讓學(xué)生自主探究，感受數(shù)學(xué)的統(tǒng)一之美、簡(jiǎn)潔之美．

活動(dòng)2.拋物線幾何性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)

【思考2】 根據(jù)拋物線y2=2px(p>0)的標(biāo)準(zhǔn)方程，你認(rèn)為拋物線具有怎樣的幾何性質(zhì)？為什么？

【設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明】結(jié)合圖形特征研究拋物線的概念，在概念的基礎(chǔ)上通過(guò)“建系——設(shè)點(diǎn)——列式——化簡(jiǎn)——證明”的方式研究拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并進(jìn)而通過(guò)方程研究拋物線的幾何性質(zhì)，感悟“數(shù)——形——數(shù)”的辯證統(tǒng)一之美．教學(xué)時(shí)，對(duì)教學(xué)內(nèi)容作了必要的調(diào)整，僅研究開口向右的拋物線，但將標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)一起研究，更能凸顯單元教學(xué)的整體性．

4.數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1請(qǐng)根據(jù)下表所給的信息填空.

圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2=16x12,0 x=13

例2已知拋物線y2=4x上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，求這點(diǎn)的坐標(biāo)．

【設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明】例1通過(guò)表格的方式進(jìn)行訓(xùn)練，信息量大，且這樣的設(shè)計(jì)更能體現(xiàn)整體性、聯(lián)系性．例2要求學(xué)生適當(dāng)轉(zhuǎn)化，考查了學(xué)生對(duì)拋物線定義的理解．

5.回顧反思

【設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明】本節(jié)課始以思想方法的引領(lǐng)，終以思想方法的總結(jié)，讓思想方法的主線貫穿于始終．橢圓的小單元學(xué)習(xí)采用“分——總”的方式，拋物線的小單元學(xué)習(xí)采用“總——分”的方式，不同階段學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)不一樣，對(duì)思想方法理解的層次也不一樣，螺旋上升，發(fā)展素養(yǎng)．

6.課外作業(yè)

(1)必做題：P47習(xí)題2.4 1(1)(3)、6

(2)思考題： 填寫下表．

圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程幾何性質(zhì)

【設(shè)計(jì)意圖說(shuō)明】必做題起到訓(xùn)練鞏固的作用，思考題是本節(jié)課的延續(xù)，體現(xiàn)了單元教學(xué)的特點(diǎn)．

從單元到課時(shí)，既需要站在高觀點(diǎn)、思想性、結(jié)構(gòu)化的視角對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，又需要用思想方法來(lái)引領(lǐng)課時(shí)實(shí)施，只有這樣，我們的課堂才能“既見森林又見樹木”，才能讓核心素養(yǎng)落地生根．