吳 越

（吉林師范大學 數(shù)學學院，吉林 四平 136000）

0 引言

近幾年，魯棒鎮(zhèn)定問題和魯棒控制問題是控制理論領(lǐng)域熱議的話題.其中，王耀青［1］提出魯棒控制是針對受控系統(tǒng)，在受到內(nèi)部不確定性或外部干擾時，通過設(shè)計的靜態(tài)或動態(tài)的反饋控制器，讓閉環(huán)系統(tǒng)達到預定的指標；束亞東［2］說明穩(wěn)定是保證系統(tǒng)正常運行，達到平衡狀態(tài)的前提；王剛等［3］指出魯棒性是系統(tǒng)的健壯性，是在系統(tǒng)出現(xiàn)異?；蛭ｋU狀況下生存的關(guān)鍵.應用線性矩陣的穩(wěn)定性判據(jù)，對確定形式的不確定性結(jié)構(gòu)信息，設(shè)計反饋控制器能夠維持閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定以及達到合理的性能，從而實現(xiàn)穩(wěn)定性；俞立［4］表明廣義系統(tǒng)在所有容許的不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)的攝動下都能保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性.雖然廣義系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定問題已經(jīng)獲得了大量的研究成果，但是如何運用外部控制設(shè)計，找到合適的反饋控制器或找到相應的控制規(guī)律，讓一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)穩(wěn)定，需要更進一步的研究.

本文主要研究在廣義系統(tǒng)中有不確定性結(jié)構(gòu)時，由不確定廣義系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析的第二類分析問題，歸納出魯棒鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計方法.對于解決現(xiàn)實問題的控制系統(tǒng)中，由于受控系統(tǒng)本身的不確定性，包括記錄數(shù)據(jù)時的建模誤差，快子系統(tǒng)到慢子系統(tǒng)的降維誤差，廣義系統(tǒng)引用參數(shù)的運行誤差，還有外界不確定因素，如未知的干擾輸入等，這些因素是不可避免的，因此，魯棒控制問題的研究對于解決實際問題是有幫助的［5］.

1 問題描述和引理

考慮不確定廣義系統(tǒng)

其中：x(t) ∈ Rn為狀態(tài)向量；E ∈ Rn×n和 A ∈ Rn×n為定常矩陣；E 為奇異矩陣；ΔA(t) ∈ Rn×n為不確定性矩陣.

如果廣義系統(tǒng)（1）對任意給定的不確定性ΔA(t)都是容許的，即穩(wěn)定無脈沖，那么稱廣義系統(tǒng)（1）是魯棒穩(wěn)定的.其中，魯棒穩(wěn)定條件更強一些.

考慮不確定廣義系統(tǒng)（1），假設(shè)不確定性ΔA(t)具有如下形式

其中：D和M為適當維數(shù)的定常矩陣；F(t)是適當維數(shù)的不確定實矩陣，并且具有勒貝格可測元，它滿足范數(shù)有界的不確定性條件

選取一個泛函

其中，矩陣X ∈ Rn×n.將V(x(t))按廣義系統(tǒng)（1）的軌跡對t求導，得

考慮不確定廣義系統(tǒng)（1），對于所有允許的不確定性ΔA(t)，如果存在矩陣X ∈ Rn×n和正實數(shù)α ＞ 0，對于任意x(t) ∈ Rn，滿足

那么稱不確定廣義系統(tǒng)（1）是二次穩(wěn)定的.

不確定廣義系統(tǒng)是二次穩(wěn)定的等價概念：考慮不確定廣義系統(tǒng)（1），對于所有允許的不確定性ΔA(t)，t ∈ R.如果存在矩陣X ∈ Rn×n和正定矩陣 L ∈ Rn×n，L ＞ 0，使得

成立.其中A0(t) = A + ΔA(t)，那么稱不確定性廣義系統(tǒng)（1）是二次穩(wěn)定的.

引理1 考慮不確定廣義系統(tǒng)（1），其不確定性矩陣ΔA(t)的形式為式（2）.則不確定廣義系統(tǒng)（1）是二次穩(wěn)定的充分必要條件是廣義系統(tǒng)為魯棒穩(wěn)定的.

證明：先證必要性.如果不確定廣義系統(tǒng)（1）是二次穩(wěn)定的，那么該廣義系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的.由不確定廣義系統(tǒng)（1）是二次穩(wěn)定的等價概念可知，對于所有允許的不確定性ΔA(t)，t ∈R，都存在矩陣X ∈ Rn×n和正定矩陣 L ∈ Rn×n，L ＞ 0，使得

成立，由概念得到

根據(jù)廣義李雅普諾夫方程的穩(wěn)定性判據(jù)的推論［6］知，不確定廣義系統(tǒng)（1）對所有允許的不確定性結(jié)構(gòu)ΔA(t)都是容許的.那么該不確定廣義系統(tǒng)為魯棒穩(wěn)定的.

再證充分性.如果不確定廣義系統(tǒng)（1）是魯棒穩(wěn)定的，即存在矩陣X ∈Rn×n，它是可逆的，滿足廣義黎卡提不等式［7］

注意

令

由上式得L ＞0.于是

那么不確定廣義系統(tǒng)（1）是二次穩(wěn)定的.

2 穩(wěn)定性分析

2.1 第一類魯棒穩(wěn)定性分析

第一類魯棒穩(wěn)定性分析問題是在不確定廣義系統(tǒng)的標稱廣義系統(tǒng)是容許的條件下，求使不確定廣義系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的不確定性的最大擾動范圍.

假設(shè)標稱廣義系統(tǒng)（E，A）是容許的，并記degdet(sE - A) = r，λmax(M)表示矩陣M 的最大特征值.則總存在可逆實矩陣P和Q，使得

且A1是穩(wěn)定的.該系統(tǒng)分解為第二類降階子系統(tǒng)分解.另記

其中：x1∈ Rr；P1∈ Rr×n；Q1∈ Rn×r.則廣義系統(tǒng)受限等價于

定理1 假設(shè)標稱廣義系統(tǒng)（E，A）是容許的，則當不確定性ΔA(t)有如下范數(shù)界

時，廣義系統(tǒng)（1）是魯棒穩(wěn)定的，其中，M ＞0為李雅普諾夫方程

的唯一正定解.

2.2 第二類魯棒穩(wěn)定性分析

在廣義系統(tǒng)（1）中，系統(tǒng)的參數(shù)是不確定的，則魯棒穩(wěn)定性判據(jù)有如下等價命題：

Ⅰ.不確定廣義系統(tǒng)（1）是魯棒穩(wěn)定的.

Ⅱ.存在可逆矩陣X ∈ Rn×n及正實數(shù)ε ＞ 0滿足廣義黎卡提不等式

Ⅲ.線性化處理，存在可逆矩陣X ∈ Rn×n及正實數(shù)ε ＞ 0，令δ = ε-1，δ ＞ 0，滿足線性矩陣不等式

證明：Ⅱ?Ⅰ設(shè)可逆矩陣X ∈Rn×n及正實數(shù)ε滿足廣義黎卡提不等式（4）和（5），則對于所有允許的不確定性ΔA(t)，t ≥ 0，有

即

由廣義李雅普諾夫不等式的穩(wěn)定性判據(jù)知，廣義系統(tǒng)（1）對于所有允許的不確定性ΔA(t)都是容許的，即命題Ⅰ成立.

Ⅰ?Ⅱ設(shè)不確定廣義系統(tǒng)（1）是魯棒穩(wěn)定的，則對于所有允許的不確定性ΔA(t)，存在可逆矩陣X滿足

定義矩陣Y = ATX + XTA.對于任意的非零向量x ∈ Rn×n，得

則

于是

消除范數(shù)有界不確定性有

存在常數(shù)λ ＞ 0使得

對式（7）兩端同時除以λ，且令λ = ε-2，得

即命題Ⅱ成立.

Ⅱ?Ⅲ由Schur引理，得

則式（5），（6）成立，即命題Ⅲ成立.

Ⅲ?Ⅱ同理，即命題Ⅱ成立.

2.3 魯棒鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計方法

魯棒控制是針對控制系統(tǒng)中的不確定性，通過設(shè)計靜態(tài)或動態(tài)的反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)達到性能指標.第二類魯棒穩(wěn)定性分析與魯棒鎮(zhèn)定問題，在LMI方法和這類參數(shù)不確定性廣義系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)基礎(chǔ)上，對這類不確定廣義系統(tǒng)提出一個魯棒鎮(zhèn)定器的設(shè)計方法［8］.

反饋意義下的不確定廣義系統(tǒng)

當ΔA(t) ≡0及ΔB(t) ≡0時，即去掉不確定性，標稱廣義系統(tǒng)為

考慮不確定廣義系統(tǒng)

為了使受控系統(tǒng)達到目標，設(shè)計一個靜態(tài)的狀態(tài)反饋控制器

那么能夠使閉環(huán)廣義系統(tǒng)

是魯棒穩(wěn)定的.其中：x(t) ∈Rn和u(t) ∈Rn分別為狀態(tài)輸入向量和控制輸入向量；E 為奇異矩陣；E，A ∈ Rn×n，B ∈ Rn×m均為定常矩陣；D，M 和 F(t)的意義與式（2）相同；ΔA(t) ∈ Rn×n和 ΔB(t) ∈ Rn×m為不確定性矩陣，且具有如下形式

且F(t)滿足式（3）；K ∈ Rm×n；AC= A + BK；ΔAC(t) = ΔB(t)K.

在參數(shù)變化的條件下，系統(tǒng)仍然保持預期的性能，不確定性集合構(gòu)成的狀態(tài)反饋控制器能夠保持系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征不變，并且該閉環(huán)廣義系統(tǒng)（12）由不確定廣義系統(tǒng)（10）和所設(shè)計的靜態(tài)的狀態(tài)反饋控制器（11）構(gòu)成，該閉環(huán)系統(tǒng)達到了期望的要求.

定理2 如果存在可逆矩陣X ∈ Rn×n及正實數(shù)ε ＞ 0，令δ = ε-1，δ ＞ 0，滿足線性矩陣不等式

因為控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性與反饋增益之間是有關(guān)聯(lián)的，所以，構(gòu)成的閉環(huán)廣義系統(tǒng)（12）是魯棒穩(wěn)定的.知道系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，通過得到的控制規(guī)律，系統(tǒng)在該控制器的作用下達到期望的理想狀態(tài).其中，所設(shè)計的靜態(tài)反饋控制器（11）是存在的，該控制器中的一個狀態(tài)反饋矩陣也稱為控制器增益矩陣，即

該矩陣是容許的［9］.

證明 假設(shè)存在可逆矩陣X ∈ Rn×n及正實數(shù) ε ＞ 0 滿足不等式（14）和（15），狀態(tài)反饋矩陣K 由式（16）給出.記

將式（14），（15）分別左乘矩陣TT和右乘矩陣T，令Y = X-1，得

由Schur引理，式（17）等價于

又因為

于是

即

由Schur引理得

由式（18），（22），利用第二類魯棒穩(wěn)定性判據(jù)的等價命題，得到構(gòu)成的閉環(huán)廣義系統(tǒng)（12）是魯棒穩(wěn)定的.

通過上述分析，提出的LMI設(shè)計方法是一種解決思路，是針對不確定廣義系統(tǒng)（10）的狀態(tài)反饋魯棒鎮(zhèn)定控制器設(shè)計問題的.控制器的設(shè)計保證了控制的品質(zhì)，即使是針對不確定的對象，以閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性作為目標，從而得到的固定控制器就是魯棒控制器［10］.

穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的首要條件，設(shè)計狀態(tài)反饋控制器是廣義系統(tǒng)能鎮(zhèn)定的條件之一.如果不確定廣義系統(tǒng)是二次穩(wěn)定的，那么該系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定，此時的鎮(zhèn)定控制器可稱為容許的控制器.相反，如果不確定廣義系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定，那么該系統(tǒng)不一定是二次穩(wěn)定的.廣義系統(tǒng)滿足內(nèi)部穩(wěn)定性時，通常意義下的漸進穩(wěn)定條件是不夠的，還需要包括容許性即正則，無脈沖且漸進穩(wěn)定.

3 結(jié)論

通過以參數(shù)不確定性廣義系統(tǒng)為研究對象，改變參數(shù)不確定性的結(jié)構(gòu)，滿足容許性的前提條件下，基于LMI研究方法，運用Schur引理，設(shè)計一個狀態(tài)反饋魯棒鎮(zhèn)定器，利用參數(shù)不確定性廣義系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)，得出一個狀態(tài)反饋魯棒鎮(zhèn)定器的設(shè)計方法.解決廣義系統(tǒng)分析綜合問題的首選是設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，它功能優(yōu)越，方法簡單.從受控系統(tǒng)獲取信息，改變系統(tǒng)的控制量，把控制量受調(diào)節(jié)的作用反饋給受控系統(tǒng)，其中狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)能夠獲得理想的狀態(tài)，從而受控系統(tǒng)實現(xiàn)了狀態(tài)反饋.