劉桂珍，于 影，馬曉君，李小海，聞邦椿

（1.佳木斯大學(xué)機械工程學(xué)院，黑龍江佳木斯154007；2.東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院，遼寧沈陽110819）

裂紋故障是旋轉(zhuǎn)機械常見的故障之一。裂紋產(chǎn)生的原因主要是由于轉(zhuǎn)子材料本身缺陷或長時間的服役而產(chǎn)生了疲勞裂紋，裂紋故障是一種后果嚴重、診斷困難的常發(fā)性故障［1］。裂紋的存在使轉(zhuǎn)軸剛度周期性變化，其潛在危害性遠超一般故障，因此轉(zhuǎn)軸裂紋故障的研究特別引起工程界的重視［2］。自20世紀60年代末期在汽輪機軸上發(fā)現(xiàn)裂紋以來，各國學(xué)者紛紛開展裂紋轉(zhuǎn)子振動特性的研究工作［3］。裂紋周期性的張開與閉合引起轉(zhuǎn)軸剛度發(fā)生相應(yīng)的變化，是大型旋轉(zhuǎn)機械運行不穩(wěn)定的重要因素［4］。裂紋角是裂紋模型中的一個重要參數(shù)，對裂紋轉(zhuǎn)子的動力學(xué)行為有著重要的影響［5］。

本文以帶有裂紋故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，利用拉格朗日方程建立了非穩(wěn)態(tài)油膜力作用下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)裂紋故障的4質(zhì)量8自由度非線性動力學(xué)模型；基于裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的強非線性和對初值的敏感性，應(yīng)用數(shù)值分析研究裂紋角作為唯一控制參數(shù)時系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)；提取了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨裂紋擴展的動態(tài)過程，對該系統(tǒng)響應(yīng)的非線性行為和故障機理進行分析，從而為該類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的故障診斷和系統(tǒng)的安全運行提供理論依據(jù)。

1 力學(xué)模型與微分方程

1.1 拉格朗日方程描述

設(shè)有n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系，受完整的理想約束，具有N個自由度，其位置可由N個廣義坐標(biāo)方程來確定。則有

式中：L為拉格朗日函數(shù)，L=T-V；T為系統(tǒng)的動能函數(shù)；V為系統(tǒng)的勢能函數(shù)；R為與系統(tǒng)阻尼相對應(yīng)的耗散函數(shù)；Qi為作用在系統(tǒng)上的廣義力；qi為系統(tǒng)獨立的廣義坐標(biāo)；N為系統(tǒng)的總自由度個數(shù)。

1.2 剛度影響系數(shù)的計算

設(shè)轉(zhuǎn)軸半徑為R、長度為L1的無質(zhì)量彈性圓軸，在轉(zhuǎn)軸中央有一深度為a的弓形橫向裂紋，如圖1所示。

圖1 裂紋截面示意圖Fig.1 Crack section of the rotor

如果只考慮裂紋處彎矩的作用，根據(jù)斷裂力學(xué)理論，由于裂紋的存在將在裂紋局部產(chǎn)生附加角位移。設(shè)在η、ξ方向彎矩作用下的無量綱局部柔度系數(shù)分別為［6］

式中：v為泊松比；E為楊氏模量；局部裂紋深度為最大裂紋深度；h=

幾何修正因子F2(η h)、F1(η h)分別為

對式（2）進行數(shù)值積分，得到無量綱的局部柔度系數(shù)與無量綱裂紋深度的關(guān)系曲線，如圖2所示。

圖2 柔度與無量綱裂紋深度關(guān)系Fig.2 Relation between flexibility and the crack deepness

ε、δ為僅與裂紋深度a有關(guān)的相關(guān)剛度參數(shù)，其表達式如下：

式中：L1為兩端支承間軸的長度；R為軸頸；v為泊松比。

1.3 非穩(wěn)態(tài)油膜力模型［7］

非線性油膜力模型采用短軸承假設(shè)下的Ca-pone 非線性油膜力模型，該模型有較好的精度和收斂性。在短軸承油膜力假設(shè)條件下的無量綱雷諾方程為

式中：h為無量綱油膜厚度為油膜厚度；C為軸承徑向間隙；z為無量綱軸向位移，z=zˉL；zˉ為軸向位移為無量綱油膜壓力；pˉ為油膜壓力；μ為油膜黏性系數(shù)；x、y分為無量綱軸頸中心x、y方向的位移；x˙、y˙為無量綱軸頸中心x和y方向上的速度分量。

由式（5）可得無量綱油膜壓力為

式中：D為軸承直徑。

無量綱非線性油膜力最終可以表示為

式中：

1.4 運動微分方程

圖3 所示為轉(zhuǎn)子-定子-軸承系統(tǒng)中間軸上具有一橫向裂紋的力學(xué)模型，兩端由滑動軸承支撐，滑動軸承直徑為D，長度為L。兩軸承之間為一無質(zhì)量彈性軸，其半徑為R，長度為L1，轉(zhuǎn)軸中央有一對稱布置的圓盤，以及深度為a的弓形橫向裂紋。O1為轉(zhuǎn)子的幾何中心；Oc為轉(zhuǎn)子質(zhì)心；mi（i=1，2，3，4）分別為轉(zhuǎn)子、軸承、定子和轉(zhuǎn)軸在軸承處的半集中質(zhì)量，單位kg；ki（i=1，2，3）分別為轉(zhuǎn)軸、軸承支撐處和定子基礎(chǔ)的剛度系數(shù)，單位為N·m-1；ci（i=1，2，3）分別為轉(zhuǎn)軸、軸承支撐處和基礎(chǔ)對定子的阻尼系數(shù)，單位為N·s·m-1。

圖3 非穩(wěn)態(tài)油膜力的轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)裂紋故障的力學(xué)模型Fig.3 Mechanical model of the rotor-bearing system with a transverse crack

設(shè)轉(zhuǎn)盤在水平方向、垂直方向移動的位移為x1、y1，左端軸承在水平方向、垂直方向移動的位移為x2、y2，定子在水平方向、垂直方向移動的位移為x3、y3，右端軸承座處水平方向、垂直方向移動的位移為x4、y4。

采用耗散能量形式的拉格朗日方程推導(dǎo)出對應(yīng)裂紋故障的轉(zhuǎn)子-定子-軸承系統(tǒng)的質(zhì)點運動微分方程：

式中：xi、yi(i=1，2，3，4)分別為應(yīng)各質(zhì)量的位移坐標(biāo)；b為軸頸的偏心量，單位為mm；Fx、Fy分別為水平、鉛垂方向的油膜力，單位為N；ε、δ為僅與裂紋深度a有關(guān)的相對剛度參數(shù)，如式（3）所示；F(ψ)為裂紋開閉函數(shù)，ψ=τ-φ1+β-arctany/x，β為裂紋方向與偏心之間的夾角，φ1為初相位，這里 設(shè)φ1=0；σ為 Sommerfeld 修 正 數(shù) ，σ=為無量綱圓盤偏心量；τ為無量綱時間，τ=ωt。

2 數(shù)值模擬

運用四階Runge-Kutta 法對數(shù)值進行求解。在計算中為了能夠較快地得到穩(wěn)定解，應(yīng)將步長選得盡量小且周期足夠多。為了消除瞬態(tài)響應(yīng)的影響，舍棄前40 個周期，計算軌跡圖時取后10～20 個周期。選取系統(tǒng)參數(shù)如下：m1=4.0 kg，m2=32.1 kg，m3=50.0 kg，m4=20.0 kg；c1=1.05 kN ·s ·m-1，c2=2.1 kN·s·m-1，c3=2.1 kN·s·m-1；k1=250 kN·m-1，k2=250 kN·m-1，k3=25 000 kN·m-1，kr=1 000 kN·m-1；R=0.025 m，L=0.570 m，δ2=0.2 mm；η=0.018 MPa；R1=0.015 m；f=0.2；通過計算得出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的三級固有頻率分別為f1=13.974 7 Hz，f2=43.586 4 Hz，f3=113.109 6 Hz。

圖4（a）為裂紋角β=3/4π 時系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵角頻率ω變化的分岔圖。結(jié)合此狀態(tài)下的龐加萊映射圖，可以觀察到，當(dāng)激勵角頻率ω∈（100，120）rad/s時，系統(tǒng)響應(yīng)為擬周期運動；當(dāng)ω∈（150，210）rad/s時，系統(tǒng)響應(yīng)為周期運動；當(dāng)ω=240 rad/s時，系統(tǒng)響應(yīng)為擬周期運動；當(dāng)ω=275 rad/s時，系統(tǒng)響應(yīng)為P4周期運動；當(dāng)ω=300 rad/s時，系統(tǒng)響應(yīng)周期運動；當(dāng)ω∈（350，450）rad/s 時，系統(tǒng)響應(yīng)為擬周期運動；當(dāng)ω∈（500，550）rad/s時，系統(tǒng)響應(yīng)為混沌運動；當(dāng)ω=600 rad/s 時，系統(tǒng)響應(yīng)為 P2 運動；當(dāng)ω=650 rad/s時，系統(tǒng)響應(yīng)2倍擬周期運動；當(dāng)ω=700 rad/s時，系統(tǒng)響應(yīng)為混沌運動；當(dāng)ω=750 rad/s 時，系統(tǒng)響應(yīng)為擬周期運動；當(dāng)ω=800 rad/s 時，系統(tǒng)響應(yīng)為混沌運動。

在裂紋角β=3π∕4 的情況下，隨著激勵頻率的小幅變化，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)快速經(jīng)歷了“擬周期運動→周期運動→擬周期運動→P4→P1→擬周期運動→混沌運動→P2→2 倍擬周期運動→混沌運動→2 倍擬周期運動→擬周期運動→混沌運動”的復(fù)雜過程。

圖4（b）是裂紋角β=π時系統(tǒng)響應(yīng)隨激勵角頻率隨ω變化的分岔圖。結(jié)合此狀態(tài)下龐加萊映射圖，可觀察到：當(dāng)ω=100 rad/s時，系統(tǒng)處于擬周期運動；當(dāng)ω=120 rad/s 時，系統(tǒng)響應(yīng)為混沌運動；當(dāng)ω∈（150，210）rad/s時，系統(tǒng)轉(zhuǎn)為周期運動；當(dāng)ω∈（240，275）rad/s 時，系統(tǒng)為擬周期運動；當(dāng)ω=300 rad/s時，系統(tǒng)為周期運動；當(dāng)ω∈（350，400）rad/s 時，系統(tǒng)響應(yīng)為擬周期運動；當(dāng)ω=450 rad/s 時，系統(tǒng)響應(yīng)為周期運動；當(dāng)ω∈（500，550）rad/s時，系統(tǒng)處于混沌運動；當(dāng)ω=600 rad/s 時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)為P2 運動；當(dāng)ω=650 rad/s 時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)為2 倍擬周期；當(dāng)ω∈（700，750）rad/s時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)為混沌運動；當(dāng)ω=800 rad/s 時，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)為擬周期運動。

圖4 不同裂紋角β時系統(tǒng)響應(yīng)隨ω變化的分岔圖Fig 4 Bifurcation diagram with ω changes in the different crack angle β

在裂紋角β=π 的情況下，隨著激勵頻率的小幅變化，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)快速的完成“擬周期運動→混沌運動→P1運動→擬周期運動→P1運動→擬周期運動→P1 運動→混沌運動→P2 運動→2 倍擬周期運動→混沌運動→擬周期運動”的復(fù)雜過程。

3 結(jié)論

對帶有裂紋故障的轉(zhuǎn)子-定子-軸承系統(tǒng)進行非線性動力學(xué)研究，得出以下研究結(jié)論：

（1）當(dāng)裂紋轉(zhuǎn)角β參數(shù)不變，伴隨激勵頻率的變化，數(shù)值仿真結(jié)果表明帶有裂紋故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)以“周期運動→擬周期運動→混沌運動”為主線，呈現(xiàn)出豐富的非線性行為。

（2）激勵頻率比較低時，裂紋角對轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性影響不大；當(dāng)轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)速較高時，伴隨著裂紋轉(zhuǎn)角大小的變化，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性動力學(xué)行為，以激勵頻率ω=275 rad/s 時為例，裂紋角β=3π∕4 為系統(tǒng)響應(yīng)為P4 周期運動；裂紋轉(zhuǎn)角β=π時，則系統(tǒng)轉(zhuǎn)為擬周期運動。

（3）當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有裂紋故障時，隨著轉(zhuǎn)軸剛度的變化，系統(tǒng)運動在較短的速度變化范圍內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)“周期運動→擬周期運動→混沌運動→周期運動→擬周期運動→混沌運動”的交替運動過程，且變化敏感的非定常運動的范圍非常??；因此，應(yīng)對具有裂紋故障的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行診斷時需多加注意。