楊 浩,裴海龍

(華南理工大學(xué) 自主系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室;廣東省無人機(jī)系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心,廣東 廣州 510640)

1 引言

輸入飽和普遍存在于各類實(shí) 際系統(tǒng)中,如空間飛行器[1]、電 機(jī)伺服系 統(tǒng)[2]等.輸入飽和的出現(xiàn)有可能導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)暫態(tài)性能下降甚至發(fā)散[3].因此針對(duì)含有輸入飽和系統(tǒng)的控 制器設(shè) 計(jì)吸引了大量研究人員的參與.文獻(xiàn) [4]針對(duì)一類含有輸入飽和的線性系統(tǒng)提出了一種復(fù)合非線性控制方法.文獻(xiàn) [5]為一類含有輸入飽和的多輸入多輸出非線性系統(tǒng)提出了基于估計(jì)的自適應(yīng)控制算法.文獻(xiàn) [6]為在輸入飽和影響下的Takagi-Sugeno系統(tǒng)提出 了容錯(cuò)約束控制器.文 獻(xiàn) [7]為嚴(yán)格反饋型輸入飽和非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了復(fù)合非線性反饋控制器.

然而上述控制方法僅適用于具有仿射結(jié)構(gòu)的被控對(duì)象,無法直接應(yīng)用于非仿射非線性系統(tǒng),而該類系統(tǒng)常常出現(xiàn)于很多前沿應(yīng)用領(lǐng)域,如大攻角機(jī)動(dòng)飛行狀態(tài)下的高超音速飛行器[8],大迎角飛行下的舵面控制系統(tǒng)[9]等.近年來針對(duì)含有輸入飽和限制的非仿射非線性系統(tǒng)的控制研究取得了不少成果.如文獻(xiàn) [10]中基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的自適應(yīng)控制方法,以及文獻(xiàn)[11–12]中基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊控制的相關(guān)算法等.然而基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的相關(guān)方法有可能伴隨著結(jié)構(gòu)復(fù)雜且控制器參數(shù)較多并缺乏調(diào)節(jié)依據(jù)等不足[13].而基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊控制的方法往往伴隨較重的計(jì)算負(fù)荷,從而限制了在實(shí)際系統(tǒng)中的應(yīng)用[14].

本文為一類含有輸入飽和的非仿射純反饋非線性系統(tǒng)提供了一種基于奇異值攝動(dòng)理論[10]的非線性動(dòng)態(tài)逆控 制器設(shè)計(jì)方法.首先 通過被稱 為“ 近似動(dòng) 態(tài)逆”的控制方法[15–16]為不考慮輸入飽和影響的標(biāo)稱系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)快變子系統(tǒng),并使該快變子系統(tǒng)能以指數(shù)形式收斂到期望的非仿射函數(shù)精確逆上.在慢時(shí)間尺度下,快變狀態(tài)可以被視為標(biāo)稱系統(tǒng)的控制量,并將其轉(zhuǎn)化為積分器串聯(lián)的線性系統(tǒng),從而應(yīng)用已有的控制方法.之后,在快變子系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)建一個(gè)中間子系統(tǒng),對(duì)輸入飽和造成的影響進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償.最后通過奇異值攝動(dòng)理論保證閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)跟蹤參考軌跡.

本文提出的非線性動(dòng)態(tài)逆控制方法通過構(gòu)建快變子系統(tǒng)和中間子系統(tǒng)引入多時(shí)間尺度,通過基于奇異值攝動(dòng)理論的分析方法在不同的時(shí)間尺度中對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化和控制器設(shè)計(jì).本文所提控制方法的主要特點(diǎn)包括:1) 控制器有效性不依賴于原系統(tǒng)自身固有的時(shí)標(biāo)分離特征;2) 避免了反步法中經(jīng)常出現(xiàn)的“復(fù)雜性爆 炸 ”(explosion of complexity)問 題;3) 具有良好的擴(kuò)展性.可以根據(jù)實(shí)際需求與不同的控制方法相結(jié)合,使大量已有的控制方法能夠應(yīng)用于含有輸入飽和的非仿射純反饋非線性系統(tǒng);4) 閉環(huán)系統(tǒng)可以指數(shù)跟蹤參考軌跡.

2 問題描述及準(zhǔn)備

本文的主要數(shù)學(xué)符號(hào)定義如下:Da表示與變量a相關(guān)的開連通集;R表示實(shí)數(shù)域;Rn表示n維實(shí)向量空間;|a|表示a的絕對(duì)值;Br表示球域{x ∈Rn|‖x‖≤r}.

2.1 問題描述

考慮一類含有輸入飽和的非仿射純反饋非線性系統(tǒng):

其中M >0為一正常數(shù).系統(tǒng)(1)的標(biāo)稱系統(tǒng)定義如下:

設(shè)式(3)中的標(biāo)稱系統(tǒng)滿足如下假設(shè).

假設(shè)1在

注1假設(shè)1是傳統(tǒng)近似動(dòng)態(tài)逆控制器設(shè)計(jì)過程中的常用假設(shè)[15–16].

假設(shè)2參考軌跡yr及其高階導(dǎo)數(shù)存在且有界.

假設(shè)3考慮如下積分器串聯(lián)系統(tǒng):

其中:x=[x1···xn]T∈Rn為狀態(tài)向量,u ∈R為控制輸入.存在反饋控制律u=G(x)使式(4)在原點(diǎn)處指數(shù)穩(wěn)定.

注2積分串聯(lián)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，且假設(shè)3對(duì)反饋控制律G的具體形式不做要求.這表明很多已有的控制方法都可以滿足假設(shè)3.

本文將為式(1)中含有輸入飽和的非仿射純反饋非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)跟蹤控制器,使輸出軌跡y指數(shù)跟蹤參考軌跡yr.

2.2 奇異值攝動(dòng)理論

考慮如下非線性系統(tǒng):

其中:0<ε <<1被稱為奇異值攝動(dòng)參數(shù);x ∈ Dx為慢變狀態(tài),z ∈ Dz為快變狀態(tài);ξ(ε)和η(ε)為光滑函數(shù);f和g為在定義域

上足夠光滑的函數(shù),其中Dx?Rn和Dz?Rm為開連通集,ε0>>0.如果對(duì)于(t,x)∈[0,∞)× Dx,方程0=g(t,x,z,0)都有k≥ 1個(gè)孤立實(shí)根:z=hi(t,x),i=1,2,···,k,則稱(5)中的系統(tǒng)為奇異值攝動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng).根據(jù)奇異值攝動(dòng)理論,分別在慢時(shí)間尺度t和快時(shí)間尺度中令ε=0,則可得到兩個(gè)降階子系統(tǒng),降階慢變子系統(tǒng):

和邊界層子系統(tǒng):

其中v=z ?h(t,x),ξ0=ξ(0),η0=η(0).

引理1(定理11.4[17]) 考慮式(5)中的奇異值攝動(dòng)系統(tǒng).假設(shè)對(duì)所有

的點(diǎn)都滿足下面的條件:

A1)f(t,0,0,ε)=0,g(t,0,0,ε)=0.

A2) 方程0=g(t,x,z,0)存在孤立根z=h(t,x),且h(t,0)=0.

A3) 對(duì)于z ?h(t,x)∈ Bρ,函數(shù)f,g,h及其一階、二階偏導(dǎo)數(shù)有界.

A4) 降階慢變子系統(tǒng)(6)在原點(diǎn)處指數(shù)穩(wěn)定.

A5) 邊界層子系統(tǒng)(7)在原點(diǎn)處指數(shù)穩(wěn)定,在(t,x)上一致.

則存在一個(gè)正常數(shù)ε?>0,當(dāng)ε <ε?時(shí),奇異值攝動(dòng)系統(tǒng)(5)在原點(diǎn)處指數(shù)穩(wěn)定.

文獻(xiàn)[16]指出,引理1中的條件(A5)可以通過下面的引理2局部驗(yàn)證.

引理2(定義11.1[17]) 當(dāng)邊界層子系統(tǒng)(7)的雅克比矩陣[]的特征值對(duì)于所有[0,∞)× Dx上的點(diǎn)都滿足

則有平衡點(diǎn)v=0為邊界層子系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定平衡點(diǎn)，且在(t,x)∈[0,∞)× Dx上一致.

3 非線性動(dòng)態(tài)逆控制器設(shè)計(jì)

本文所提非線性動(dòng)態(tài)逆控制器的設(shè)計(jì)過程可以分為兩部分.首先通過反步法為標(biāo)稱系統(tǒng)構(gòu)建快變子系統(tǒng),之后考慮含有輸入飽和的原系統(tǒng)并設(shè)計(jì)中間子系統(tǒng)對(duì)輸入飽和帶來的影響進(jìn)行估計(jì)與補(bǔ)償.

3.1 快變子系統(tǒng)

快變子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程包含n步.前面的n ?1步設(shè)計(jì)虛擬控制量，最后一步設(shè)計(jì)實(shí)際控制量.

第1步 將跟蹤誤差e1=x1?yr=x1?α0代回標(biāo)稱系統(tǒng)(3)可得

3.2 中間子系統(tǒng)

4 穩(wěn)定性分析

定理1考慮滿足假設(shè)1的含有輸入飽和的非仿射純反饋非線性系統(tǒng)(1),以及滿足假設(shè)3的反饋控制律G.假設(shè)所有上的點(diǎn)都滿足下列條件,其中

則在式(10)(15)(20)(26)和式(28)構(gòu)成的非線性動(dòng)態(tài)逆控制器作用下,存在正常數(shù)??>0和,使得對(duì)于所有?

證將式(10)(15)(20)(26)和式(28)構(gòu)成的非線性動(dòng)態(tài)逆控制器帶入式(1)所表示的飽和非仿射純反饋非線性系統(tǒng),則閉環(huán)系統(tǒng)可以表示為如下奇異值攝動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)型:

其中z=[z1···zn]T,q=[Q1Q2···Qn]T,h=[h1···hn]T,且

基于奇異值攝動(dòng)理論,令? →0,可以得到閉環(huán)系統(tǒng)(32)的邊界層子系統(tǒng):

和降階慢變子系統(tǒng):

對(duì)于式(32)中的奇異值攝動(dòng)系統(tǒng),定理1中的條件(B1)–(B2)和條件(B4)直接滿 足引理1中的條 件(A1)–(A3).通過條件(B5)可得[10–14]

考慮式(32)中的閉 環(huán)系統(tǒng),條 件(B1)–(B2)(B4)直接滿足引理1中的條件(A1)–(A3).根據(jù)文獻(xiàn) [15–16],結(jié)合假設(shè)1,條件(B5)和引理2可得邊界層子系統(tǒng)(34)在原點(diǎn)處局部指數(shù)穩(wěn)定.現(xiàn)在只需證明降階慢變子系統(tǒng)(35)在原點(diǎn)處指數(shù)穩(wěn)定.由其結(jié)構(gòu)可以看出,式(35)也為奇異值攝動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)型.令?1→0可得式(35)所對(duì)應(yīng)的降階慢變子系統(tǒng):

和邊界層子系統(tǒng):

易知式(35)中的奇異值攝動(dòng)系統(tǒng)滿足引理1中的條件(A1)–(A3)(A5).根據(jù)假設(shè)3可知式(37)中的積分器串聯(lián)系統(tǒng)在原點(diǎn)處指數(shù)穩(wěn)定,并由引理1可知式(35)在原點(diǎn)處指數(shù)穩(wěn)定.至此閉環(huán)系統(tǒng)(32)滿足引理1中的全部條件.證畢.

5 仿真示例和分析

5.1 仿真示例1

為驗(yàn)證本文所提非線性動(dòng)態(tài)逆控制方法的有效性,考慮如下二階非仿射純反饋非線性系統(tǒng)[18]:

其中:x1,x2為狀態(tài)變量;u為控制輸入;y為系統(tǒng)輸出.為了驗(yàn)證本文控制方法的跟蹤性能,使用文獻(xiàn) [18]中的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面算法進(jìn)行對(duì)比仿真,其它條件不變,但只對(duì)本文控制器進(jìn)行輸入飽和限制.參考軌跡為;系統(tǒng)的初始狀態(tài)設(shè)為

輸入飽和設(shè)置為M=5;控制律使用文 獻(xiàn) [19]中的模型預(yù)測(cè)控制器:

從圖1中的軌跡曲線可以看出,在本文所提控制方法的作用下,系統(tǒng)的輸出量可以更快速地跟蹤參考軌跡,并且完全消除穩(wěn)態(tài)誤差.相比于動(dòng)態(tài)面控制,本文提供的非線性動(dòng)態(tài)逆控制器具有更好的閉環(huán)跟蹤性能.

圖1 輸出軌跡與參考軌跡Fig.1 Output trajectory and reference trajectory

圖2中跟蹤誤差曲線則驗(yàn)證了定理1中閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)跟蹤參考軌跡的穩(wěn)定性結(jié)論.圖3中,狀態(tài)變量x2始終保持有界.

圖2 跟蹤誤差e1=yr?x1Fig.2 Tracking errore1=yr?x1

圖3 狀態(tài)響應(yīng)曲線x2Fig.3 Response curve ofx2

從圖4中可以看出,在整個(gè)控制過程中,控制量都被限定在輸入飽和允許的幅值范圍內(nèi).仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文非線性動(dòng)態(tài)逆控制算法的有效性.

圖4 控制輸入曲線Fig.4 Curve of control input

為進(jìn)一步驗(yàn)證控制方法的有效性,假設(shè)系統(tǒng)(39)的狀態(tài)都受到測(cè)量噪聲的影響:

為了方便進(jìn)行對(duì)比,其它條件均保持不變.

從圖5–8中可以看出,即便受到測(cè)量噪聲的影響,本文中的控制器依然保持了良好的控制性能.從圖9中可以看出,在測(cè)量噪聲的干擾下,本文控制量沒有產(chǎn)生明顯波動(dòng).相較于對(duì)比方法,本文的控制方法在測(cè)量噪聲和輸入飽和的雙重影響下可以取得更好的跟蹤效果.

圖5 測(cè)量噪聲下的輸出軌跡與參考軌跡Fig.5 Output trajectory and reference trajectory under measurement noise

圖6 測(cè)量噪聲下的跟蹤誤差e1=yr?x1Fig.6 Tracking error under measurement noisee1=yr?x1

圖7 測(cè)量噪聲下的狀態(tài)響應(yīng)曲線x2Fig.7 Response curve ofx2under measurement noise

圖8 測(cè)量噪聲下的控制輸入曲線Fig.8 Curve of control input under measurement noise

5.2 仿真示例2

考慮如下單連桿機(jī)電系統(tǒng):

其中:

單連桿機(jī)電系統(tǒng)的物理參數(shù)如下:

令x1=θ,,x3=τB,u=V,則式(41)中的單連桿機(jī)電系統(tǒng)可以重新表示為如下非仿射形式:

其中:

按照文獻(xiàn) [16]為三階積分器串聯(lián)系統(tǒng)設(shè)計(jì)傳統(tǒng)近似動(dòng)態(tài)逆控制器如下:

其中ki>0,i=1,2,3,為傳統(tǒng)近似動(dòng)態(tài)逆控制器的反饋增益系數(shù).

現(xiàn)將系統(tǒng)的初始狀態(tài)設(shè)為x1(0)=0,x2(0)=2,x3(0)=1,u(0)=0;參考軌跡選為;的反饋增益系數(shù)設(shè)置為k1=1,k2=3,k3=5.在本示例中,將傳統(tǒng)近似動(dòng)態(tài)逆控制器應(yīng)用于式(42),作為對(duì)照組.在其它條件不變的情況下,僅對(duì)本文控制 器進(jìn)行輸 入飽和限制.奇異值 攝動(dòng)參數(shù)設(shè)為?=0.01,?1=0.1.

從圖9–10中可以看出,傳統(tǒng)近似動(dòng)態(tài)逆控制器要實(shí)現(xiàn)對(duì)參考軌跡的跟蹤,所需要的控制量最大幅值約為110左右.而在本文所提的控制方法下,控制量雖然被輸入飽和限制在[?10,10]的范圍內(nèi),但依然取得了與傳統(tǒng)近似動(dòng)態(tài)逆控制方法相同的跟蹤性能.

圖9 響應(yīng)曲線和參考軌跡Fig.9 Response curves and reference trajectory

圖10 控制輸入曲線Fig.10 Curve of control input

6 結(jié)論

本文針對(duì)一類含有輸入飽和的非仿射純反饋非線性系統(tǒng)提出了一種基于奇異值攝動(dòng)理論的非線性動(dòng)態(tài)逆控制器設(shè)計(jì)方法.該控制方法無需設(shè)計(jì)額外的觀測(cè)器,并且避免了反步法中的復(fù)雜性爆炸問題.相比于傳統(tǒng)的近似動(dòng)態(tài)逆控制器增加了中間子系統(tǒng),從而可以對(duì)輸入飽和帶來的影響進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償.控制器的有效性不依賴于被控系統(tǒng)的時(shí)標(biāo)分離特性,并具有良好的擴(kuò)展性,能夠與多種控制算法結(jié)合.仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所提控制方法的跟蹤性能與有效性.