李耀龍，李洪儒，王 冰，于 賀

（1.陸軍工程大學(xué)導(dǎo)彈工程系 石家莊，050003）（2.西北核技術(shù)研究所 西安，710024）

（3.上海海事大學(xué)物流工程學(xué)院 上海，201306）

引言

滾動(dòng)軸承是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中的重要零部件之一，起到支撐機(jī)械旋轉(zhuǎn)體、降低摩擦力的作用，同時(shí)也是旋轉(zhuǎn)機(jī)械中最為廣泛且最易失效的零部件之一。在當(dāng)前針對滾動(dòng)軸承的分析研究中，一方面集中在故障診斷領(lǐng)域［1］，另一方面致力于軸承的故障預(yù)測研究。通過開展?jié)L動(dòng)軸承的全壽命試驗(yàn)，提取退化特征，分析其性能退化的規(guī)律，最后實(shí)現(xiàn)故障預(yù)測［2］。

有效的退化特征是實(shí)現(xiàn)預(yù)測的前提，許多綜述對滾動(dòng)軸承的退化特征進(jìn)行了分類和總結(jié)。Lei等［3］將退化特征分成兩類：①具有物理意義的特征，該類特征一般運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)和信號處理方法提取，包括常用的統(tǒng)計(jì)學(xué)特征、時(shí)域頻域特征等；②虛擬特征，該類特征主要是通過融合算法得到。文獻(xiàn)［4-5］將退化特征分為時(shí)域特征、頻域特征和時(shí)頻域特征等3類。然而，傳統(tǒng)的退化特征缺乏一致性趨勢，即不同的全壽命數(shù)據(jù)由于自身退化過程不同，其特征往往具有個(gè)性，不同全壽命數(shù)據(jù)的相同特征之間往往不具有一致的退化趨勢。尋找不同全壽命數(shù)據(jù)間的相似或一致的變化規(guī)律，對建立退化模型具有重要意義［6］，同時(shí)也對深入挖掘滾動(dòng)軸承退化過程的機(jī)理具有重要參考價(jià)值。

在以往的特征分類中包含了兩小類傳統(tǒng)的退化特征：①具有上升趨勢的能量特征，以RMS為典型，RMS以其良好的性能被廣泛應(yīng)用于軸承的退化狀態(tài)識別和剩余壽命預(yù)測中［7］；②具有下降趨勢的復(fù)雜度特征，例如近似熵、樣本熵及排列熵等。在研究過程中，可以發(fā)現(xiàn)能量特征和復(fù)雜度特征存在反向同步性，因此，推斷二者可能存在協(xié)整關(guān)系。

基于以上分析，筆者在對能量特征和復(fù)雜度特征的分析基礎(chǔ)上，擬將協(xié)整理論引入到滾動(dòng)軸承的預(yù)測特征提取中。對能量特征和復(fù)雜度特征中的特征代表進(jìn)行協(xié)整分析，并提取基于協(xié)整理論的滾動(dòng)軸承退化特征。在此基礎(chǔ)上，采用多組全壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)集，對所提特征的性能進(jìn)行驗(yàn)證。

1 協(xié)整理論

通常，可以采用單位根檢驗(yàn)來判斷時(shí)間序列的平穩(wěn)性，當(dāng)存在單位根時(shí)，時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。ADF（augmented dickey-fuller）檢驗(yàn)是常用的單位根檢驗(yàn)法［8］。時(shí)間序列若經(jīng)過d-1階差分仍不平穩(wěn)，經(jīng)過d階差分才平穩(wěn)，稱該序列是d階單整的，記作I（d）。

Engle等［9］給出了協(xié)整的定義：由n組的d階單整序列組成的向量yt=[y1t，y2t，…，ynt]T，如果存在一 個(gè) 向 量β=[β1，β2，…，βn]使 得 線性 組 合βyt=β1y1t+β2y2t+…+βn ynt是d-b階單整，其中b＞0，那么認(rèn)為yt=[y1t，y2t，…，ynt]T是（d，b）階協(xié)整，記為yt～CI（d，b），向量β稱為協(xié)整向量。常見的協(xié)整關(guān)系為CI（1，1）。協(xié)整意味著單整序列之間存在長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系，或者說存在特定的內(nèi)在均衡機(jī)制在維持著單整序列間的長期穩(wěn)定關(guān)系。協(xié)整檢驗(yàn)的常用方法有E-G（engle-granger）檢驗(yàn)法和Johansen檢驗(yàn)法［8］。E-G檢驗(yàn)法較為簡單，適用于二組向量的協(xié)整檢驗(yàn)。筆者采用E-G檢驗(yàn)法。在進(jìn)行E-G檢驗(yàn)法之前，首先要確定待檢驗(yàn)時(shí)間序列的單整階數(shù)，可以通過ADF檢驗(yàn)來確定。

2 能量特征與復(fù)雜度特征

2.1 能量特征

能量特征反映的是軸承在運(yùn)行過程中的能量變化，式（1）列舉了常見的能量特征。E1～E7分別為方根幅值、均方根值、絕對均值、峰峰值、最大值、最小值和頻譜平均值。為了方便，在最小值前加了一個(gè)負(fù)號，使其為正。

這里給出上述特征是能量特征的原因。簡單來說，可以把每一個(gè)振動(dòng)點(diǎn)的振動(dòng)簡化成簡諧運(yùn)動(dòng)，其位移符合x=Acos（wt+φ），假定振動(dòng)點(diǎn)的質(zhì)量為m，那么其動(dòng)能為

其勢能為

振動(dòng)點(diǎn)的總能量為

振動(dòng)點(diǎn)的能量與振幅的平方成正比。不同的振幅反映的是不同的能量。上述7個(gè)特征都代表著某種具有物理意義的振幅。以常用的美國IMS中心的全壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)集中失效模式為外圈故障的Bearing2-1為例，將其能量特征繪制如圖1所示。從圖1可以看出，幾種能量特征的走勢相似。通過ADF檢驗(yàn)可以得到E1，E2，E3和E7為I（2）；E4，E5，E6為I（1）。根據(jù)定義，同階單整才可以進(jìn)行E-G協(xié)整檢驗(yàn)，在顯著性水平為0.1的條件下，E1，E2，E3之間具有協(xié)整關(guān)系；E4，E5，E6之間具有協(xié)整關(guān)系。也就是說，E1～E3具有相同的變化趨勢，E4～E6具有相同的變化趨勢。E7雖代表著某種能量特征，但與RMS之間在當(dāng)前顯著水平下不具有協(xié)整關(guān)系，原因在于E7在求取的過程中存在傅里葉變換，而傅里葉變換本身存在混疊、泄漏等問題。E4～E6表征了每組信號的極值，穩(wěn)定性較差；而E1～E3表征了每組信號的平均能量，穩(wěn)定性較強(qiáng)。因此，可以選擇E1～E3中的任意一個(gè)特征代表能量特征。因RMS在工業(yè)上應(yīng)用廣泛，故選擇其作為能量特征的代表。

圖1 IMS中心數(shù)據(jù)集Bearing2-1的能量特征Fig.1 The energy features of Bearing2-1 of IMS center

2.2 復(fù)雜度特征

復(fù)雜度特征能反映信號的復(fù)雜程度。常用的復(fù)雜度特征有近似熵、樣本熵、模糊熵、香農(nóng)熵、排列熵及L-Z復(fù)雜度等。其計(jì)算方法及參數(shù)設(shè)置詳見文獻(xiàn)［10-15］。為了測試各個(gè)復(fù)雜度的性能，在其計(jì)算過程中，相同的參數(shù)將設(shè)為一致，以減少參數(shù)對結(jié)果的影響。表1列出了復(fù)雜度的參數(shù)選取，其中相似容限均取0.2倍信號標(biāo)準(zhǔn)差。香農(nóng)熵在計(jì)算時(shí)要對數(shù)據(jù)進(jìn)行劃分，設(shè)置極值間劃分為50個(gè)區(qū)間。排列熵在計(jì)算過程中與香農(nóng)熵相近，其嵌入維數(shù)與樣本熵和近似熵不同，排列熵的嵌入維數(shù)越大，越準(zhǔn)確，但耗時(shí)更長，經(jīng)考慮將排列熵的嵌入維數(shù)設(shè)置為6。

表1 復(fù)雜度的參數(shù)選取Tab.1 The selection of complexities'parameters

為了測試復(fù)雜度的性能，設(shè)置一個(gè)仿真信號，為S(t)=X(t)+e(t)，其中：X(t)為 正 弦 信 號，有X(t)=sin(2π×10t)；e（t）為附加高斯白噪聲。采樣頻率為10 000 Hz，采樣時(shí)間1 s。通過改變噪聲的強(qiáng)度進(jìn)而改變信噪比，觀察仿真信號復(fù)雜度的變化如圖2所示。理論上，復(fù)雜度隨著噪聲的增加應(yīng)該增強(qiáng)?？梢钥闯?，香農(nóng)熵與排列熵并不完全單調(diào)，說明二者的性能不太好。

為了進(jìn)一步測試性能，需采用更一般的信號對復(fù)雜度進(jìn)行測試。Logistic模型是典型的非線性系統(tǒng)，該模型中包含大量的周期和混沌信號，周期信號的復(fù)雜度應(yīng)為0，混沌信號的復(fù)雜度應(yīng)較高。圖3給出了2.5＜μ＜4時(shí)的Logistic模型結(jié)果以及對應(yīng)的最 大Lyapunov指 數(shù)（the largest Lyapunov exponent，簡稱LLE）。LLE可以反映所出信號的復(fù)雜程度，LLE＜0時(shí)表明信號是周期信號；LLE=0時(shí)為分岔點(diǎn)；LLE＞0時(shí)表明信號為混沌信號。將6種復(fù)雜度帶入Logistic模型中，其結(jié)果如圖4所示。

圖2 仿真信號的復(fù)雜度隨SNR變化的曲線Fig.2 The curve of six complexities versus SNRs

圖3 Logistic模型及其LLEFig.3 The Logistic map and its LLE

圖4 6種復(fù)雜度應(yīng)用于Logistic模型的曲線Fig.4 The six complexities of the Logistic map

可以看出，香農(nóng)熵和排列熵對周期信號的衡量存在誤差。模糊熵在衡量μ=3.5時(shí)出現(xiàn)了偏差，這是由于模糊熵存在模糊隸屬度而導(dǎo)致的問題。L-Z復(fù)雜度在μ=3.6左右發(fā)生了偏差，這是由于L-Z復(fù)雜度在計(jì)算過程中的粗?；^程導(dǎo)致的。

綜上，近似熵和樣本熵在6個(gè)復(fù)雜度中表現(xiàn)較好。同時(shí)，作為近似熵的改進(jìn)算法，樣本熵在計(jì)算時(shí)不包含自身數(shù)據(jù)段的比較，其優(yōu)越性體現(xiàn)在較少地依賴時(shí)間序列長度，結(jié)果的一致性較好。所以，樣本熵在這6個(gè)復(fù)雜度中的性能最好。這樣，就可以把樣本熵作為復(fù)雜度的代表。

3 基于協(xié)整理論的退化特征提取

上文已經(jīng)確定了能量和復(fù)雜度特征的代表分別是RMS和樣本熵，同時(shí)也說明了能量特征反映了信號的幅值，其平方才反映信號的某種能量。故以RMS2和樣本熵為基礎(chǔ)，利用二者進(jìn)行協(xié)整融合，其基于協(xié)整理論的退化特征提取流程如圖5所示。

圖5 基于協(xié)整理論的退化特征的提取流程Fig.5 The extraction procedure of the degradation feature based on cointegration theory

要進(jìn)行基于協(xié)整理論的退化特征提取必須確定二者間是否存在協(xié)整關(guān)系。首先，二者的單整階數(shù)須一致。以Bearing2-1為例，先要確定RMS2和樣本熵的單整階數(shù)，經(jīng)ADF檢驗(yàn)，樣本熵為I（1）序列，RMS2為I（2）序列。進(jìn)一步檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，n＜966，RMS2為I（1）序列。此時(shí)RMS2和樣本熵不具有協(xié)整關(guān)系。依次減小n，并對RMS2和樣本熵進(jìn)行E-G檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)n=914時(shí)，二者出現(xiàn)協(xié)整關(guān)系。定義該點(diǎn)為轉(zhuǎn)變點(diǎn)。在確定協(xié)整向量后，按照協(xié)整向量繪制RMS2和樣本熵的線性組合，如圖6所示。

可以看出，基于協(xié)整理論的退化特征呈現(xiàn)明顯的兩段性。914組之前，序列平穩(wěn)，波動(dòng)性很??；914組至最后失效，序列呈單調(diào)上升趨勢。

圖6 基于協(xié)整理論的退化特征Fig.6 The degradation feature based on cointegration theory

4 實(shí)例驗(yàn)證

4.1 軸承全壽命數(shù)據(jù)集

為了驗(yàn)證所提特征的兩段性和一致性，文中將選取多組軸承全壽命數(shù)據(jù)用于支撐。數(shù)據(jù)來自美國IMS中心的全壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)集，其試驗(yàn)詳情可見文獻(xiàn)［16］。筆者選取失效模式為外圈故障所提及的Bearing1-4作為測試集1，以失效模式為內(nèi)圈故障的Bearing1-3作為測試集2。測試集1，2都包含2 155組數(shù)據(jù)。選取Bearing2-1為測試集3，包含982組數(shù)據(jù)。

4.2 基于協(xié)整理論的退化特征的有效性驗(yàn)證

首先，將測試集的RMS和樣本熵進(jìn)行提取，其曲線如圖7所示。從圖7可以看出，各個(gè)測試集的退化曲線表現(xiàn)各不相同。具體分析，測試集1表現(xiàn)出了“愈合”現(xiàn)象，RMS先上升后下降。關(guān)于滾動(dòng)軸承中的“愈合”現(xiàn)象可參考文獻(xiàn)［17-18］。測試集2的RMS表現(xiàn)出了長時(shí)間的平穩(wěn)，最后快速上升，此時(shí)也能觀察到“愈合”現(xiàn)象，可以發(fā)現(xiàn)在160組左右RMS出現(xiàn)了階躍，分析原始信號，此處存在關(guān)機(jī)，說明開關(guān)機(jī)對工況是有影響的，在進(jìn)行全壽命試驗(yàn)時(shí)應(yīng)減少開關(guān)機(jī)頻率。測試集3的RMS開始較平穩(wěn)，而后上升，出現(xiàn)階躍，而后出現(xiàn)了兩次“愈合”現(xiàn)象，表現(xiàn)出了強(qiáng)烈的長期波動(dòng)性，并不利于預(yù)測。對比圖6可以看出，通過協(xié)整方法可以有效減小退化前、中期的RMS和樣本熵的長期波動(dòng)性。

可以看出不同的測試集其RMS和樣本熵各有特點(diǎn)，沒有一個(gè)統(tǒng)一的變化規(guī)律，缺乏一致性。通過E-G檢驗(yàn)各測試集的RMS2與樣本熵的協(xié)整性，可以驗(yàn)證測試集的所有RMS2與樣本熵的部分序列間具有協(xié)整性。根據(jù)所提方法，將測試集1，2基于協(xié)整理論的退化特征進(jìn)行提取，如圖8所示。

圖7 測試集的RMS和樣本熵曲線Fig.7 The RMS and sample entropy of the test datasets

從圖6，8得知，3個(gè)測試集基于協(xié)整理論的退化特征具有明顯的兩段性。在全壽命的前、中期表現(xiàn)出平穩(wěn)性。當(dāng)滾動(dòng)軸承處于失效期，該特征表現(xiàn)出非平穩(wěn)性，并具有一定的單調(diào)性。幾個(gè)測試集的RMS和樣本熵表現(xiàn)出了不同的軸承退化過程，但經(jīng)協(xié)整理論融合后，其融合特征表現(xiàn)出了一致性的演化規(guī)律，說明該方法可以統(tǒng)一不同軸承的演化過程，具有一般性。經(jīng)協(xié)整理論融合還降低了RMS和樣本熵在全壽命的前、中期的長期趨勢性波動(dòng)。

5 結(jié)果分析

現(xiàn)就為何所提取的退化特征具有一致性和兩段性進(jìn)行說明。以Bearing2-1為例，將其RMS2與所提特征放在一起進(jìn)行對比，為了方便采用RMS代替RMS2，如圖9所示。

根據(jù)Bearing2-1的RMS曲線可以推斷該軸承的退化過程。從開始運(yùn)行到第510組，RMS保持平穩(wěn)，可知軸承處于正常狀態(tài)；從510～700組，RMS持續(xù)上升，軸承處于輕微故障階段；700組時(shí)，RMS突增，這可能是摩擦面上產(chǎn)生了凸起造成的，而后運(yùn)行至823組，RMS經(jīng)歷了下降再上升的階段，這主要是由于持續(xù)的摩擦作用使局部凸起的表面降低，而后RMS又經(jīng)歷了這種下降再上升的過程，此時(shí)軸承處于中度故障階段；從900～982組，RMS持續(xù)上升，此時(shí)軸承處于重度故障階段直至失效。

這種下降再上升的過“愈合”現(xiàn)象在軸承中具有普遍性，出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因在于持續(xù)的摩擦作用使局部凸起的表面降低。而后由于故障加深，摩擦副表面又形成了新的凸起，如此往復(fù)。“愈合”現(xiàn)象說明軸承已經(jīng)進(jìn)入中度故障狀態(tài)，它的出現(xiàn)雖有利于退化狀態(tài)識別，但也會導(dǎo)致RMS的單調(diào)性下降，不利于軸承的預(yù)測。

反觀所提出的基于協(xié)整理論的特征，其具有兩段性。從開始運(yùn)行到914組左右，其具有平穩(wěn)性；從914組到最后失效，其快速上升。對其具有兩段性進(jìn)行分析。當(dāng)軸承處于正常狀態(tài)下，RMS平穩(wěn)，樣本熵也平穩(wěn)。當(dāng)軸承處于輕微故障階段，摩擦面上出現(xiàn)凸起，導(dǎo)致能量上升，RMS上升；同時(shí)，凸起可導(dǎo)致信號的周期性增加，復(fù)雜度降低。當(dāng)軸承處在“愈合”現(xiàn)象時(shí)，持續(xù)的摩擦使凸起變得平滑，這樣導(dǎo)致能量降低，RMS下降；由于凸起變得平滑，周期性也就相應(yīng)降低，致使復(fù)雜度升高?？傊?，在914組之前，RMS2與樣本熵保持著同步性，這樣使兩序列的線性組合為平穩(wěn)序列。

圖8 測試集1,2的基于協(xié)整理論的退化特征提取Fig.8 The degradation feature based on cointegration of the dataset1 and 2

圖9 RMS和基于協(xié)整理論的退化特征對比Fig.9 The comparation of RMS and theproposed feature

當(dāng)軸承接近于失效，能量急劇增加，摩擦副表面上的凸起急劇增多，雖有平滑作用，但效果不明顯。由于每個(gè)凸起都能形成周期性信號，那么整體的振動(dòng)信號就是各個(gè)凸起引起的信號疊加，此時(shí)的信號周期性就不顯著了，所以復(fù)雜度降低得不明顯。這時(shí)，兩序列的協(xié)整性消失，所提特征在此階段明顯上升。所以轉(zhuǎn)變點(diǎn)可以看作局部故障向多點(diǎn)故障變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)行到轉(zhuǎn)變點(diǎn)時(shí)，軸承距離失效已經(jīng)不遠(yuǎn)，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行軸承的剩余壽命預(yù)測了。

文獻(xiàn)［3］綜述了特征是否適合于作為預(yù)測性能的指標(biāo)，其中包括單調(diào)性、魯棒性和趨勢性。其表達(dá)式分別如下，其中count（）為滿足要求的個(gè)數(shù)

單調(diào)性是衡量特征單調(diào)的程度，在求取前應(yīng)該進(jìn)行平滑處理，降低噪聲的影響。魯棒性衡量的是特征的穩(wěn)定程度，從而減少預(yù)測結(jié)果的不確定性，其中X（tk）=XT（tk）+XR（tk），即信號分為確定的趨勢信號和平滑后的剩余信號。趨勢性是指特征與運(yùn)行時(shí)間的相關(guān)程度。3個(gè)指標(biāo)的取值范圍都是［0，1］，越接近于1說明特征相應(yīng)的性能越好。求取3個(gè)測試集的預(yù)測性能指標(biāo)，如表2所示。在求取時(shí)應(yīng)當(dāng)對特征進(jìn)行歸一化處理，在計(jì)算單調(diào)性和趨勢性時(shí)忽略各特征平穩(wěn)階段帶來的影響。平滑方法采用高斯濾波方法，窗口長度20。

從表2看，基于協(xié)整理論的退化特征具有明顯的非減性特點(diǎn)。相對于RMS和樣本熵，其在非平穩(wěn)階段的單調(diào)性更好。在魯棒性和趨勢性上，所提特征與RMS及樣本熵處于同一水平。事實(shí)上基于協(xié)整理論的退化特征提取是一種融合特征的方法。融合算法包括線性和非線性降維方法，其中以主成分分析法（principal components analysis，簡稱PCA）和等距特征映射（isometric mapping，簡稱Isomap）為典型。以Bearing2-1為例，將RMS2與樣本熵經(jīng)PCA和Isomap融合后得到圖10的結(jié)果。

表2 測試集特征的預(yù)測性能指標(biāo)Tab.2 The prediction performance index of datas?ets'features

從結(jié)果看，PCA與Isomap融合后特征與樣本熵很相似。總體上RMS2與樣本熵走勢相反，經(jīng)PCA與Isomap融合后的特征保持了其共有的趨勢。區(qū)別于PCA和Isomap，協(xié)整融合是將二者中趨勢不相同的地方提取出來，而將共有的趨勢進(jìn)行消除。

圖10 Bearing2-1的RMS2與樣本熵經(jīng)PCA與Isomap融合后的結(jié)果Fig.10 The fusion result of Bearing2-1's RMS2 and sample entropy based on PCA and Isomap

6 結(jié)束語

筆者發(fā)現(xiàn)了滾動(dòng)軸承全壽命數(shù)據(jù)中RMS和樣本熵存在的協(xié)整關(guān)系，并提出了一種基于協(xié)整理論的滾動(dòng)軸承退化特征的提取方法。所提取的退化特征有以下特點(diǎn)：具有良好的兩段性，能夠反映滾動(dòng)軸承退化的前、中期和失效階段的不同特性。同時(shí)，該特征可以降低RMS、樣本熵在退化前、中期時(shí)的長期波動(dòng)性。所提特征具有一般性，能夠?qū)⒉煌臐L動(dòng)軸承全壽命數(shù)據(jù)統(tǒng)一起來，得到具有一致性的演變過程。相比于RMS和樣本熵，所提特征在非平穩(wěn)階段的單調(diào)性好，故障預(yù)測能力更好。