楊陶源，趙鵬，姚向明，張璞

(北京交通大學(xué)，交通運(yùn)輸學(xué)院，北京100044)

0 引言

城市軌道交通延誤事件給乘客出行帶來諸多不便，如何科學(xué)合理地制定突發(fā)事件下的運(yùn)輸組織方案，對(duì)城軌系統(tǒng)的運(yùn)營安全和乘客出行的高效穩(wěn)定有著重要現(xiàn)實(shí)意義。軌道交通延誤事件根據(jù)故障持續(xù)時(shí)間可分為擾動(dòng)(Disturbance)、延誤(Delay)、中斷(Disruption)[1]。擾動(dòng)發(fā)生頻率高，持續(xù)時(shí)間多為3 min以內(nèi)，具體表現(xiàn)為單列車延誤，不影響后續(xù)車次，僅通過調(diào)整列車運(yùn)行及停站時(shí)間即可恢復(fù)正常。延誤發(fā)生頻率低，持續(xù)時(shí)間為3～15 min，具體表現(xiàn)為延誤發(fā)生后波及后續(xù)多列車次，僅通過壓縮區(qū)間運(yùn)行及停站時(shí)間已無法恢復(fù)正常行車秩序，此時(shí)需通過跳站停車、取消部分車次等措施進(jìn)行調(diào)整。中斷發(fā)生頻率極低，持續(xù)時(shí)間一般為15 min以上，運(yùn)輸企業(yè)通常采用中斷故障區(qū)間行車并封閉車站的措施。由于延誤事件對(duì)行車秩序的影響較大且調(diào)整措施復(fù)雜，處理不當(dāng)可能演變?yōu)橹袛嗍录时疚膬H針對(duì)延誤事件進(jìn)行研究。

跳站停車模式可以有效利用延誤造成的運(yùn)行圖空間，是延誤事件下調(diào)度調(diào)整的有力手段。針對(duì)城軌列車跳站停車模式，Altazin[2]兼顧了運(yùn)輸企業(yè)和乘客效益，但未考慮列車容量。面對(duì)我國城軌系統(tǒng)滿載率較高的現(xiàn)狀，Gao[3]以乘客延誤時(shí)間最小為目標(biāo)，在考慮列車容量約束的基礎(chǔ)上，采取跳站停車措施恢復(fù)延誤下的列車秩序；Shang[4]在跳站停車模式中考慮乘客公平性，使各車站乘客候車時(shí)間更為均衡。在突發(fā)延誤條件下，大量乘客滯留會(huì)帶來安全隱患，故列車調(diào)整與客流控制協(xié)同優(yōu)化十分必要。Li[5]通過進(jìn)站客流量和列車到發(fā)時(shí)刻的協(xié)同控制實(shí)現(xiàn)對(duì)列車運(yùn)行擾動(dòng)的恢復(fù)。然而，面對(duì)較長時(shí)間的延誤，僅通過調(diào)整列車到發(fā)時(shí)刻已無法恢復(fù)正常行車秩序，如何采取有力的調(diào)度及客流協(xié)同管控措施對(duì)保障運(yùn)營的穩(wěn)定性具有重要意義。

綜上，本文面向我國城市軌道交通突發(fā)延誤場景，統(tǒng)籌考慮行車秩序的恢復(fù)和乘客集散的公平、效率，以跳站停車和多車站進(jìn)站客流量協(xié)同控制為手段，構(gòu)建雙層線性規(guī)劃模型優(yōu)化城軌突發(fā)延誤后的運(yùn)輸組織，并通過實(shí)例驗(yàn)證方法的有效性。

1 問題分析

對(duì)于大運(yùn)量的城市軌道交通系統(tǒng)，突發(fā)延誤事件不僅會(huì)造成列車延誤，還會(huì)導(dǎo)致大量乘客積壓滯留。列車延誤下的運(yùn)輸組織，客流管控措施的制定需要依賴于調(diào)整后的行車組織方案，而客流管控措施反過來又會(huì)影響行車組織方案。因此，行車組織方案和客流管控措施是相互耦合的，突發(fā)事件下的運(yùn)輸組織工作必須統(tǒng)籌考慮行車秩序恢復(fù)和客流疏解。

1.1 延誤下的列車調(diào)整問題

當(dāng)城市軌道交通線路上發(fā)生延誤事件時(shí)，調(diào)度員為保證行車安全通常對(duì)后續(xù)列車采取車站扣車措施。如圖1(a)所示，D 車站8:14-8:18 發(fā)生信號(hào)故障導(dǎo)致02 次列車延誤，后續(xù)的03 次列車在C 站停車等候調(diào)度命令。故障恢復(fù)后由于僅靠壓縮追蹤間隔和停站時(shí)間已無法恢復(fù)正常行車，導(dǎo)致06 次列車被取消并影響后續(xù)列車接續(xù)。如果采取圖1(b)所示的跳站停車方案，02～06 次列車在部分車站通過不停車，則可以充分利用故障造成的運(yùn)行圖空間盡快恢復(fù)行車秩序?？梢?，相較于常態(tài)運(yùn)營場景，在延誤場景下采取跳站停車的調(diào)度措施更具可行性和必要性。

圖1 列車延誤后的調(diào)度措施Fig.1 Dispatching measures after train delay

1.2 客流協(xié)同控制問題

突發(fā)延誤下的城軌列車調(diào)整和客流控制存在耦合關(guān)系，故調(diào)度工作必須協(xié)同考慮客流的組織。如圖2(a)所示，如果不采取客流管控措施，上游車站A、B的乘客將優(yōu)先占用列車資源，導(dǎo)致下游C、D站的乘客大量滯留。在突發(fā)延誤情況下，這不僅大幅降低下游車站乘客的服務(wù)水平，還有可能導(dǎo)致過度擁擠造成危險(xiǎn)。如果采取圖2(b)所示的多車站客流協(xié)同控制措施，可使各站客流更加均衡，對(duì)乘客而言也更公平。

圖2 客流控制措施影響Fig.2 Influence of passenger flow control measures

2 模型構(gòu)建

本文構(gòu)建雙層規(guī)劃模型來刻畫行車組織與客流組織問題間存在的耦合關(guān)系。上層列車調(diào)整模型以列車到達(dá)延誤最小為目標(biāo)，以列車載客能力為約束，為客流提供出行時(shí)空網(wǎng)絡(luò)；下層客流控制模型以上車乘客總量最大為目標(biāo)，以列車載客能力和各車站限流率均衡為約束，使客流對(duì)應(yīng)網(wǎng)絡(luò)調(diào)整重新分布。上下層模型均為線性，具體內(nèi)容如下。

2.1 模型假設(shè)及變量符號(hào)

本文模型做如下假設(shè)：

(1)進(jìn)站客流需求可通過歷史AFC 數(shù)據(jù)獲取。突發(fā)延誤持續(xù)時(shí)間通常為3～15 min，在此背景下進(jìn)站客流量可認(rèn)為與歷史數(shù)據(jù)差異較小。

(2)調(diào)整開始階段已在車乘客數(shù)量已知。目前，已有軌道稱重、視頻檢測等手段對(duì)列車載客量進(jìn)行估算，故本文假設(shè)該數(shù)據(jù)已知。

(3)如果某列車通過A 站不停車，對(duì)于列車調(diào)整開始前已在車去往A 站的乘客將在A 站之前的最后一次停站處提前下車等候下次列車；對(duì)于列車調(diào)整開始后進(jìn)站的乘客，如果其目的地為A 站，將原地等待下次在A站停站的列車。

為便于描述，本文模型的變量及參數(shù)定義如表1所示。

表1 變量及參數(shù)定義Table 1 Definition of variables and parameters

2.2 上層列車調(diào)整模型

上層列車調(diào)整模型以列車到達(dá)時(shí)刻ai,k、列車出發(fā)時(shí)刻di,k、列車是否跳站xi,k為決策變量，以列車到達(dá)延誤最小為目標(biāo)函數(shù)，即

上層模型約束條件為

式(2)為列車運(yùn)行時(shí)間約束，即列車到達(dá)時(shí)刻為前一站出發(fā)時(shí)刻與區(qū)間運(yùn)行時(shí)間、加減速附加時(shí)間(如果有停站)之和。式(3)為列車停站時(shí)間約束，若xi,k=1，即列車k在車站i跳站不停車，此時(shí)列車k在車站i的到達(dá)和出發(fā)時(shí)刻相同；若xi,k=0，即列車k在車站i停站，此時(shí)列車出發(fā)時(shí)刻至少應(yīng)距離到達(dá)時(shí)刻一個(gè)最小停站時(shí)間。式(4)為列車追蹤間隔約束，列車k在車站i的到達(dá)時(shí)刻應(yīng)和該站前一列車的出發(fā)時(shí)刻保持最小間隔h。式(5)為列車能力約束，表示各列車在各區(qū)間的載客量均不能超過列車容量，其中，Bi,k、Ai,k由下層模型的最優(yōu)解獲得。式(6)表示換乘站不可跳站。式(7)為跳站次數(shù)約束，為減少乘客留乘次數(shù)，本文限定任意OD 乘客最多經(jīng)歷2 次列車在出發(fā)站或目的站不停車。(1-xi,k)·(1-xj,k)=1 表示列車k同時(shí)在車站i和j停站，式(7)保證了每3列列車中至少有1列可以滿足任意OD 的乘客需求。顯然，式(7)為非線性約束，為方便后續(xù)求解，將式(7)近似線性化為式(8)，證明過程參見文獻(xiàn)[3]。

2.3 下層客流協(xié)同控制模型

下層客流協(xié)同控制模型以各車站、各車次的控制進(jìn)站量Ci,k為決策變量，以總上車客流量最大為目標(biāo)函數(shù)，即

下層模型約束條件為

式(10)表示留乘數(shù)量，若xi,k=0，列車k在車站i停站，則留乘數(shù)量為因跳站不可達(dá)客流量；若xi,k=1，列車k在車站i跳站，則留乘數(shù)量為上次列車留乘和本次列車進(jìn)站客流量之和。式(11)和式(12)表示上車乘客數(shù)量。式(13)表示下車乘客數(shù)量，為正常下車客流和因目的車站不可達(dá)而提前下車客流之和。式(14)表示客流需求。式(15)為限流進(jìn)站量約束，即各車站累計(jì)進(jìn)站客流量不能超過累計(jì)的實(shí)際客流需求。式(16)為列車能力約束，表示各列車在各區(qū)間的載客量均不能超過列車容量。式(17)為控流率均衡約束，即各車站對(duì)應(yīng)各列車控制進(jìn)站率的差異不能超過一個(gè)給定的參數(shù)ε，以此保障各車站乘客的公平性。

3 求解算法

文獻(xiàn)[6]指出，即使是簡單的雙層線性規(guī)劃也是NP-hard 問題，不存在多項(xiàng)式求解算法。一種簡單的求解思路是將雙層規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單層規(guī)劃，例如把下層模型替換為其KKT(Karush-Kuhn-Tucker conditions)條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為單層規(guī)劃問題。但就本文模型來看，如果將下層模型以其KKT 條件替換，得到的將是一個(gè)混合整數(shù)非線性規(guī)劃模型，求解過程復(fù)雜難以滿足實(shí)時(shí)調(diào)度需求。根據(jù)本文模型上下層分別保持線性的特點(diǎn)，若能對(duì)上下層分別求解，并利用下層模型對(duì)上層變量的近似反應(yīng)函數(shù)不斷迭代，則可實(shí)現(xiàn)快速求解。

基于靈敏度分析的算法[7]符合這一求解思路。該算法是一種迭代算法，利用下層規(guī)劃對(duì)上層變量的導(dǎo)數(shù)信息來近似逼近反應(yīng)函數(shù)，然后把這個(gè)近似反應(yīng)函數(shù)代入上層規(guī)劃，對(duì)從上層問題求出的最優(yōu)解再一次求解下層問題就可得到新的解。重復(fù)上述步驟，得到一組新的近似反應(yīng)函數(shù)。如此迭代計(jì)算，最后收斂于雙層規(guī)劃模型的最優(yōu)解。算法流程如下：

Step 1 令迭代次數(shù)π=0，給定上層決策變量的初始解xπ=0。

Step 2 將給定的xπ帶入下層規(guī)劃，求解得到下層模型的最優(yōu)解yπ。

Step 3 利用靈敏度分析法計(jì)算下層問題最優(yōu)解yπ對(duì)上層變量xπ的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而得到線性近似反應(yīng)函數(shù)為

Step 4 計(jì)算式(18)，并將其帶入上層規(guī)劃中，求解上層問題，得到一組新的解xπ+1。

Step 5 若滿足一定迭代精度，則停止；否則，令π=π+1，轉(zhuǎn)Step 2。

4 案例分析

4.1 案例及模型參數(shù)

實(shí)驗(yàn)案例如圖3所示，7:52 北京地鐵亦莊線上行方向萬源街站至舊宮站區(qū)間信號(hào)故障持續(xù)5 min無法行車，導(dǎo)致02、03、04次列車分別在萬源街站、榮京東街站、榮昌東街站待避；7:57故障排除，列車按照調(diào)整后的運(yùn)行圖恢復(fù)行車。為驗(yàn)證模型算法的可靠性，本文進(jìn)行4 組對(duì)照試驗(yàn)，分別為順延晚點(diǎn)無客流控制(案例1)、僅客流控制無列車調(diào)整(案例2)、僅列車調(diào)整無客流控制(案例3)、列車調(diào)整與客流控制協(xié)同優(yōu)化(案例4)，調(diào)整車次為02、03、04。

圖3 北京地鐵亦莊線故障案例Fig.3 Case of Beijing Subway Yizhuang Line delay

參數(shù)取值方面，列車載客能力N=1460 人，同車站列車發(fā)到間隔h=180 s，列車加、減速附加時(shí)間τa、τd均取為10 s，列車最小停站時(shí)間ni=30 s。客流數(shù)據(jù)通過歷史AFC 數(shù)據(jù)獲取，客流到達(dá)率λi(t)及OD比例αi,j分別如表2和表3所示。調(diào)整開始前，各列車已在車乘客數(shù)Qi,k去往終點(diǎn)站宋家莊(SJZ)為500 人，去往其他各站設(shè)置為100 人?？土骺刂品桨钢?，各站控流容差率ε=10%，大數(shù)M=99999。

表2 控制車站客流到達(dá)率Table 2 Passenger flow arrival rate of controlled stations

表3 進(jìn)站客流OD比例矩陣Table 3 OD proportion matrix of inbound passenger flow (%)

4.2 結(jié)果分析

行車組織方面，調(diào)整后列車運(yùn)行圖如圖4所示。案例1、2順延晚點(diǎn)模式下，調(diào)整車次平均行程時(shí)間為1890 s；案例3、4跳站停車模式下，調(diào)整車次平均行程時(shí)間均為1791 s，相較于案例1、2 縮短了5.2%。在式(8)約束下，案例3、4 跳站次數(shù)均為7次，各列車在各車站的到達(dá)時(shí)刻相較于順延晚點(diǎn)模式累計(jì)縮短1200 s，既提高了列車周轉(zhuǎn)效率，又為乘客節(jié)約了時(shí)間。

圖4 調(diào)整后列車運(yùn)行圖Fig.4 Rescheduled train diagram

客流控制方面，選取上車客流量、進(jìn)站率方差等指標(biāo)對(duì)比各調(diào)度策略，如表4所示。無控制措施(案例1)的上車客流量最大；僅采取客流控制的案例2雖然降低了乘客集散量，但可使各車站進(jìn)站率的方差降低97.8%，提高了各站乘客的公平性；案例3、4的跳站停車措施降低了上車客流量，在相同的跳站次數(shù)下，采取客流控制措施的案例4相較于無控制措施的案例3 不僅將上車客流量提高了6.1%，還使進(jìn)站率方差降低了99.2%。綜合來看，采用列車跳站與客流控制協(xié)同優(yōu)化的案例4 兼顧了行車秩序的恢復(fù)和乘客出行的體驗(yàn)，且176.03 s的求解時(shí)耗在延誤5 min的背景下能夠滿足實(shí)際調(diào)度需求。

表4 實(shí)驗(yàn)案例結(jié)果Table 4 Experimental case results

5 結(jié)論

城市軌道交通頻發(fā)的列車延誤不僅嚴(yán)重影響行車秩序，還會(huì)給乘客出行帶來諸多不便。本文以跳站停車和客流協(xié)同控制為手段構(gòu)建雙層規(guī)劃模型對(duì)突發(fā)延誤后的城軌運(yùn)輸組織進(jìn)行優(yōu)化，并利用靈敏度分析算法求解。通過北京地鐵亦莊線的延誤案例驗(yàn)證本文方法的有效性。結(jié)果表明：(1)采取多車站協(xié)同控流措施可以提高各站乘客的公平性；(2)采取跳站停車的行車組織方案可以加快行車秩序的恢復(fù)，但會(huì)在降低乘客輸送能力的同時(shí)加劇各站乘客的不公平；(3)采取跳站停車與多車站客流協(xié)同控制，可在保障乘客公平性的條件下提高列車運(yùn)行和乘客集散效率。