蔣陽升，高寬，劉夢，王思琛，姚志洪*

(西南交通大學(xué)，a.交通運輸與物流學(xué)院；b.綜合交通大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)國家工程實驗室；c.綜合交通運輸智能化國家地方聯(lián)合工程實驗室，成都610031)

0 引言

排隊長度是計算信號交叉口車輛延誤、停車次數(shù)、排放[1]及優(yōu)化交通信號配時方案[2]的關(guān)鍵參數(shù)。在自適應(yīng)信號控制系統(tǒng)中，均將實時的交通流量、交叉口轉(zhuǎn)向比、排隊長度等交通狀態(tài)作為其輸入?yún)?shù)[3]。而交叉口的實時排隊長度作為自適應(yīng)交通信號控制的主要輸入?yún)?shù)之一，對信號控制系統(tǒng)的有效運行起著關(guān)鍵作用。因此，準(zhǔn)確實時地估計排隊長度尤其重要。

目前，對于排隊長度估計已有廣泛的研究，多數(shù)研究集中在固定探測器上，而固定檢測系統(tǒng)存在易失效，安裝、維護和運營成本高等問題。隨著車聯(lián)網(wǎng)技術(shù)(Connected Vehicle，CV)的發(fā)展，從車聯(lián)網(wǎng)環(huán)境中可以實時獲取車輛位置、速度、加速度等信息。因此，相關(guān)研究提出基于車聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)的排隊長度估計方法。如姚佼等[4]基于車輛軌跡數(shù)據(jù)分析車輛在隊列內(nèi)的排隊位置，建立面向延誤最小的排隊長度估計模型。代磊磊等[5]采用自適應(yīng)權(quán)重指數(shù)平滑法，基于估計的流量建立以排隊論為基礎(chǔ)的排隊長度預(yù)測模型，在飽和交叉口排隊長度預(yù)測上有較高精度。莊立堅等[6]基于低滲透率浮動車數(shù)據(jù)，利用隊尾浮動車位置估計最大排隊長度，該方法很大程度上依賴浮動車滲透率。王鈺等[7]利用車輛GPS數(shù)據(jù)，建立基于交通波理論的交叉口排隊長度估算模型，實現(xiàn)排隊長度的估計。CHENG等[8]引入臨界點提取算法，基于識別的軌跡數(shù)據(jù)臨界點，提出基于改進(jìn)沖擊波理論的排隊長度估計方法，實例分析表明，該方法可實現(xiàn)逐周期排隊長度的估計。ZHAO 等[9]基于貝葉斯理論，根據(jù)網(wǎng)聯(lián)車在交叉口停車位置分布估計排隊長度，并通過仿真數(shù)據(jù)和實際數(shù)據(jù)驗證模型的有效性。LI 等[10]建立基于數(shù)據(jù)融合的排隊長度估計方法，分別構(gòu)建了基于事件和沖擊波理論的卡爾曼濾波排隊估計方法，將兩種方法的估計結(jié)果加權(quán)得到最終的排隊長度。但分析結(jié)果表明，該數(shù)據(jù)融合方法有一定的局限性。此外，YIN等[11]提出使用低滲透率車聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)的卡爾曼濾波排隊長度估計方法。以上研究驗證了卡爾曼濾波方法可以用于排隊長度的估計。然而，現(xiàn)有基于卡爾曼濾波的排隊長度估計方法僅討論最大排隊長度的估計，不能提供秒級的實時排隊長度估計結(jié)果；而且這些方法都是基于歷史軌跡數(shù)據(jù)，沒有充分利用實時的車聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)。

本文提出基于卡爾曼濾波的實時排隊長度估計模型，根據(jù)交叉口的輸入輸出數(shù)據(jù)構(gòu)建卡爾曼濾波的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測方程，提出排隊長度估計流程和性能評價指標(biāo)，并基于實際數(shù)據(jù)構(gòu)建仿真環(huán)境驗證該模型的有效性。

1 標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方法

標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波包括：狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測方程[12]。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程假設(shè)時間t的狀態(tài)是從時間(t-1)的狀態(tài)演變而來；觀測方程可以根據(jù)時間t的估計狀態(tài)和噪聲來計算時間t的觀察值(或測量值)，具體為

式中：yt為狀態(tài)向量；D為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；et為控制變量；F為控制輸入矩陣；wt為狀態(tài)隨機變量，取值為均值為0的多元正態(tài)分布N，噪聲協(xié)方差為Q，即w～N(0,Q)；t為時刻；zt為觀測向量；H為觀測矩陣；λt為取值于協(xié)方差為R的觀察噪聲，即λt～N(0,R)。

2 基于卡爾曼濾波的排隊長度估計方法

為準(zhǔn)確估計排隊長度，本文假設(shè)在每個給定的時間間隔(例如：1，5，10 min)，可以通過感應(yīng)線圈檢測器或交通視頻監(jiān)控獲得交叉口的車流轉(zhuǎn)向比。此外，交通流量、滲透率和飽和流量等可以通過現(xiàn)有方法進(jìn)行估計[9]。進(jìn)而，基于這些數(shù)據(jù)構(gòu)建基于卡爾曼濾波方法的秒級排隊長度估計模型。

2.1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程

根據(jù)式(1)，標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程包含：當(dāng)前狀態(tài)，先前狀態(tài)，狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣，當(dāng)前輸入變量，控制輸入矩陣，以及當(dāng)前狀態(tài)隨機變量，分別表示為yt，yt-1，D，et，F(xiàn)和wt，這些變量在不同的動態(tài)系統(tǒng)中物理含義各不相同[13]。

在信號交叉口，當(dāng)前狀態(tài)為交叉口不同相位的排隊車輛數(shù)。在時間t處的排隊車輛數(shù)、t-1 處的排隊車輛數(shù)和時間t處加入、離開排隊隊列的車輛數(shù)有關(guān)，如圖1所示。

加入排隊的車輛數(shù)由交叉口的車流到達(dá)率和轉(zhuǎn)向比確定，離開排隊的車輛數(shù)取決于信號燈狀態(tài)和飽和流率。因此，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程表示為

式中：xi,t為時間t相位i的排隊車輛數(shù)；qi,t為時間t相位i加入隊列的車輛數(shù)；gi,t為時間t相位i的信號燈狀態(tài)(1 或0)；si為相位i的飽和流率；P為相位集合，本文P={1,2,3,4,5,6,7,8} 。

標(biāo)準(zhǔn)交叉口信號相位如圖2所示。

圖1 信號交叉口的排隊Fig.1 Queue at a signalized intersection approach

圖2 標(biāo)準(zhǔn)交叉口信號相位Fig.2 Definition of a standard NEMA(National Electrical Manufactures Association)signal phase

對于標(biāo)準(zhǔn)四路交叉口，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的矩陣和向量形式為

式中：xt為時間t的排隊長度狀態(tài)向量，即

ut為時間t的輸入變量，包含加入排隊的車輛數(shù)qt和時間t的信號狀態(tài)gt，即

A為狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣，即

B為控制輸入矩陣，即

2.2 觀測方程

觀測方程通過觀測轉(zhuǎn)換矩陣H最小化觀測狀態(tài)與從狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程獲得的估計狀態(tài)之間的差距得到。在車聯(lián)網(wǎng)環(huán)境中，如果滲透率為100%，則估計狀態(tài)等于觀測狀態(tài)，表示觀測矩陣為單位矩陣；對于滲透率不為100%的情況，利用排隊網(wǎng)聯(lián)車的數(shù)量和時間t相位i的滲透率獲得。定義所觀測的排隊長度與實際排隊長度之間的關(guān)系為

式中：ρi,t為時間t相位i的網(wǎng)聯(lián)車滲透率；zi,t為網(wǎng)聯(lián)車觀測的排隊車輛數(shù)，計算公式為

式中：pi,t為在時間t相位i排隊的網(wǎng)聯(lián)車數(shù)量，通過網(wǎng)聯(lián)車的實時位置和速度獲得。

因此，觀測方程為

式中：zt為在時間t處觀測的隊列長度，即

若交叉口各個相位的滲透率不一樣，則觀測矩陣為

式中：矩陣對角線ρi(i=1,2,…,8)為各個相位的實際滲透率值。

通常，假設(shè)網(wǎng)聯(lián)車在交通系統(tǒng)內(nèi)某個區(qū)域的滲透率為定值[13]，故本文假設(shè)交叉口所有相位的滲透率相同，為ρ。因此，H表示為

2.3 噪聲協(xié)方差

在式(1)和式(2)中，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測方程的噪聲協(xié)方差矩陣(Q和R)很難直接獲得。HAO P.[14]開發(fā)的回歸模型通過使用來自仿真實驗的離線數(shù)據(jù)估計噪聲協(xié)方差矩陣。本文采用該方法估計狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和觀測方程的噪聲協(xié)方差矩陣。

2.4 隊列長度估計流程

獲得以上參數(shù)后，卡爾曼濾波方法估計隊列長度的流程如圖3所示。

圖3 通過卡爾曼方法估計排隊長度的步驟Fig.3 Step of estimating queue length by Kalman method

圖3中，Kt為在時間t處卡爾曼增益值；Φ*t為在時間t處的預(yù)測誤差協(xié)方差；Φt為在時間t處觀測更新后的誤差協(xié)方差；為時間t處預(yù)測隊列長度；x^t為時間t處觀測更新后的隊列長度；I為單位矩陣。

由圖3可知，卡爾曼濾波方法估計隊列長度包括兩個步驟：時間狀態(tài)更新和觀測更新。具體地，在步驟1 中估計前一步狀態(tài)和誤差協(xié)方差；步驟2中計算卡爾曼增益，估計結(jié)果和誤差協(xié)方差。

2.5 性能指標(biāo)

本文模型的性能取決于估計與實際排隊車輛數(shù)的差距。因此，為更好地評估模型性能，選擇平均絕對誤差(MAE)，平均絕對百分比誤差(MAPE)和均方根誤差(RMSE)作為評估標(biāo)準(zhǔn)。計算公式分別為

式中：li,t、分別為時間t相位i的實際、估計車輛數(shù)；T為總的離散時間；Li,n、分別為周期為n時相位i的實際、估計的最大排隊車輛數(shù)；M為總周期數(shù)。

3 案例分析

選擇成都市合適的交叉口收集數(shù)據(jù)，包括：交通量、限速、轉(zhuǎn)向比和交叉口的幾何形狀，交叉口的位置和幾何形狀如圖4所示。

圖4 仿真實驗交叉口Fig.4 Intersection of simulation experiment

每個進(jìn)口道包括1 個左轉(zhuǎn)車道和2 個直行車道，且交叉口處于非飽和狀態(tài)?；趯嶋H數(shù)據(jù)，在Vissim 中構(gòu)建車聯(lián)網(wǎng)仿真環(huán)境，驗證模型的有效性。

3.1 仿真設(shè)置

3.2 仿真結(jié)果與分析

通過仿真實驗數(shù)據(jù)，獲得交叉口各個相位實際的排隊長度數(shù)據(jù)；同時，采用本文模型對排隊長度進(jìn)行估計。當(dāng)滲透率和交叉口飽和度分別為0.5 和0.6 時，交叉口相位2 的排隊長度估計值與實際值的對比結(jié)果如圖5所示。

圖5 仿真實驗的隊列長度動態(tài)估計Fig.5 Dynamics of estimated queue length for simulation experiment

由圖5可知，本文模型能夠?qū)崿F(xiàn)逐秒級的排隊長度估計，且估計值與實際值基本重合。

為更好地評估本文模型性能，計算所有仿真實驗結(jié)果的評價指標(biāo)。不同隨機種子仿真實驗結(jié)果的MAE，MAPE和RMSE的平均值如表1所示。可知，隨著滲透率的增加，模型的估計誤差逐漸減小。當(dāng)滲透率大于30%時，MAE 和RMSE 分別少于2 輛和3 輛；當(dāng)滲透率為40%時，MAPE 小于17.5%；但當(dāng)滲透率非常低，僅為10%時，MAPE 高達(dá)70%。結(jié)果表明，模型對滲透率要求較高(如大于30%)，在滲透率很低(如10%)時，模型的估計性能較差。不同滲透率的估計誤差如圖6所示。

表1 不同滲透率下的估計性能Table 1 Estimated performance under different penetration rates

由圖6可知，隨著滲透率增加，3個誤差指標(biāo)均逐漸減??；在滲透率達(dá)到20%時，3個誤差指標(biāo)均有明顯的下降。圖6(b)中當(dāng)滲透率達(dá)到20%時，MAPE下降最為顯著，表明至少需要40%的滲透率才能確保MAPE在20%以內(nèi)，說明模型對滲透率有較高的要求。

為驗證模型有效性，以LI等[10]提出的基于數(shù)據(jù)融合的排隊長度估計方法為基準(zhǔn)，當(dāng)交叉口飽和度時，本文模型的改進(jìn)百分比如圖7所示。

圖6 不同滲透率下的估計誤差Fig.6 Estimated errors under different penetration rates

由圖7可知，當(dāng)滲透率小于20%時，基準(zhǔn)方法預(yù)測誤差更??；而當(dāng)滲透率大于20%時，本文方法的性能優(yōu)于基準(zhǔn)模型。表明本文模型和基準(zhǔn)方法的應(yīng)用條件不同，本文模型適用于較高滲透率的環(huán)境。特別地，當(dāng)滲透率為90%時，與基準(zhǔn)方法相比，本文模型MAE、MAPE 和RMSE 分別減少了10.5%、8.6%和9.8%，證明在高滲透率下本文模型能夠獲得較好的估計結(jié)果。

圖7 模型的改進(jìn)百分比Fig.7 Percentage improvement of proposed model

4 結(jié)論

本文提出卡爾曼濾波實時排隊長度估計方法，利用實時網(wǎng)聯(lián)車數(shù)據(jù)實現(xiàn)對交叉口排隊長度的秒級估計。當(dāng)滲透率為40%時，MAE、MAPE 和RMSE 分別小于1.5 輛、17.5%和2 輛。這表明該方法對滲透率有較高的要求。

與基準(zhǔn)模型相比，當(dāng)滲透率大于20%，本文模型對于排隊長度估計結(jié)果誤差較小，而在高滲透率下，本文模型估計的效果更優(yōu)。但模型輸入要求較高，后續(xù)研究可以考慮融合多源數(shù)據(jù)開發(fā)新的模型和算法減少本文模型對輸入數(shù)據(jù)的高要求。