王 安,楊 雨

(1.平頂山學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 平頂山 467036；2.平頂山學(xué)院 軟件學(xué)院，河南 平頂山 467036)

0 引言

灰色系統(tǒng)理論是1982年中國學(xué)者鄧聚龍教授創(chuàng)立的解決“小樣本、貧信息”不確定系統(tǒng)問題的新學(xué)說[1].吳利豐為了降低模型的擾動，構(gòu)建了Caputo型分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型，并設(shè)計了信息優(yōu)先的規(guī)則[2].孟偉建立了分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型，并設(shè)計了階數(shù)優(yōu)化的算法[3].惠志昊等人優(yōu)化了灰色預(yù)測模型，并對平頂山市基礎(chǔ)教育學(xué)齡人口進行預(yù)測[4].20世紀(jì)國外學(xué)者U.Kumar、V.K.Jain使用灰色馬爾可夫模型結(jié)合了灰色模型和滾動機制以及奇異譜分析(SSA)，預(yù)測印度的能源的消耗[5].Chen Zhiqiang等人在能源管理工程采用了灰色GM(1,1)預(yù)測模型，為長期預(yù)測問題提供更好的預(yù)測優(yōu)勢.利用中國能源數(shù)據(jù)庫對改進的GM(1,1)模型的預(yù)測性能進行了驗證,并與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和時間序列的結(jié)果進行了比較，實驗結(jié)果顯示明顯提高了灰色預(yù)測的精度模型[6].Wang Jianzhou等人用多周期Hubbert模型對我國天然氣年產(chǎn)量進行了預(yù)測,此外，還提出了小樣本有效滾動GM(1,1)，實驗結(jié)果為我國的供需缺口將越來越大[7].分?jǐn)?shù)階累積GMC(1,1)模型，對原始數(shù)據(jù)的有效性來優(yōu)化，該模型能較好地模擬，與傳統(tǒng)的灰色預(yù)測模型相比，具有顯著的預(yù)測性能[8].Yang Yang和Xue Dingyu利用分?jǐn)?shù)階累積法去建立區(qū)間灰數(shù)的灰色預(yù)測模型，與整數(shù)階模型相比，該方法有好的建模和預(yù)測性能，可應(yīng)用于小批量區(qū)間歷史工業(yè)序列樣本預(yù)測[9].Wei Baolei等人提出了單變量離散灰色多項式模型，并設(shè)計了自適應(yīng)選擇模型結(jié)構(gòu)，結(jié)果表明了該方法的有效性[10].吳利豐應(yīng)用最小二乘法的攝動理論解釋了累積生成算子違背了灰色新信息優(yōu)先原則系統(tǒng)論，提出了一種新的分?jǐn)?shù)階累積灰色系統(tǒng)模型，實例計算結(jié)果與傳統(tǒng)的預(yù)測方法相比，具有非常顯著的預(yù)測性能[11].Mao Shuhua等人認(rèn)為經(jīng)典的GM(1，1)模型有以下缺點：它不能反映新的信息優(yōu)先原則，如果是為了獲得理想的建模效果，原始數(shù)據(jù)必須滿足比率要求[12].王安等人先后設(shè)計了灰色組合優(yōu)化模型[13-14]，以及一類新的灰色耦合模型[15]，并通過算例證明了其有效性.

在大量的數(shù)據(jù)中，如何提取有價值的數(shù)據(jù)，利用高質(zhì)量的數(shù)據(jù)，構(gòu)建高效的數(shù)學(xué)模型已成為當(dāng)今研究的重要課題，筆者提出了一種基于遺傳算法的分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型，該方法是提高模型精度，拓展模型的應(yīng)用范圍的一種嘗試，通過算例驗證了該模型的有效性.

1 模型的建立與檢驗

分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型是利用數(shù)據(jù)建立分?jǐn)?shù)階預(yù)測模型，然后設(shè)計階數(shù)優(yōu)化的動態(tài)模型，先把原始數(shù)據(jù)序列進行分?jǐn)?shù)階累加，然后對分?jǐn)?shù)階累加逐個累加.根據(jù)分?jǐn)?shù)階累加序列進行建模，最后對階數(shù)進行優(yōu)化，使得分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型精度得到提高.具體的分?jǐn)?shù)階預(yù)測模型的建立過程如下：

定義1[3]令X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}為原始數(shù)據(jù),對X(0)進行分?jǐn)?shù)階累加，r∈R+,X(r)=(x(r)(1),x(r)(2),…,x(r)(n))是X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))的r階累加生成序列，其中，

k=1,2,…,n.

稱xr-1(k)+az(r)(k)=b為分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型，其中:

(1)

分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型x(r-1)(k)+az(r)(k)=b的時間響應(yīng)序列為:

k=2,3,…,n.

(2)

還原值為:

k=2,3,…,n.

(3)

根據(jù)分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型的原理，算法步驟可概括如下：

步驟1 生成r階累加序列和r階累減序列

設(shè)X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),r∈R+,X(r)=(x(r)(1),x(r)(2),…,x(r)(n))是X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))的r階累加生成序列，其中:

k=1,2,…,n.

其中:

X(-r)=(x(-r)(1),x(-r)(2),…,x(-r)(n))為X(0)的r階累減生成算子，其中:

x(-r)(k)=

k=1,2,…,n.

步驟2 建立一階微分方程

其為分?jǐn)?shù)階算子GM(1,1)模型白化微分方程.

步驟4 求出分?jǐn)?shù)階GM(1,1)的時間響應(yīng)式

k=2,3,…,n.

步驟5 將數(shù)值進行r階次累減還原，得到預(yù)測值.

k=2,3,…,n.

步驟6 模型檢驗

殘差檢驗公式為:

(4)

相對誤差檢驗公式為:

(5)

其中,平均絕對百分比誤差檢驗公式為:

(6)

基于遺傳算法的分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型階數(shù)優(yōu)化的算法流程圖見圖1.

圖1 基于遺傳算法的分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型階數(shù)優(yōu)化的算法流程

2 算例分析

根據(jù)河南省統(tǒng)計年鑒中2000—2017年河南省的能源消費數(shù)據(jù)，利用構(gòu)建的基于遺傳算法優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型和經(jīng)典的灰色預(yù)測模型進行對比，見表1.利用遺傳算法，進行全局搜索最優(yōu)解，在迭代了20代后，得到階數(shù)為r=0.727 15時是最優(yōu)解，如圖2和圖3，與上述之前的誤差進行對比,見表2.

表1 5個模型的河南省能源需求量的預(yù)測結(jié)果 萬t

圖2 分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型基于遺傳算法階數(shù)r進化過程

圖3 分?jǐn)?shù)階GM(1,1)階數(shù)優(yōu)化的相對誤差總和進化過程

表2 5個模型的河南省能源需求量的相對誤差對比

研究結(jié)論如下：根據(jù)2004—2017年的河南省能源消耗量數(shù)據(jù)，進行建模仿真，利用遺傳算法在全局尋找最優(yōu)近似解r=0.727 15之后，精度相比之前在單位0.1遞增去嘗試分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型的最好階數(shù)為r=0.7時提高了0.07%的精度，利用遺傳算法能夠快速準(zhǔn)確地解決分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型階數(shù)的優(yōu)化問題.

最優(yōu)分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型與其他灰色預(yù)測模型相比較平均相對誤差為1.81%最小,預(yù)測的模擬精度最高.利用最優(yōu)分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型對河南省未來8年能源需求量進行預(yù)測.預(yù)測結(jié)果見圖4和表3.

圖4 河南省未來8年能源需求量的預(yù)測

表3 河南省未來8年的能源需求量的預(yù)測值 萬t

從圖4和表3可以看出，2018—2025年河南省的能源需求量呈現(xiàn)上升的趨勢，分別為23 610.21、23 883.87、24 134.48、24 364.33、24 575.35、24 769.23、24 947.42、25 111.21.

3 結(jié)論

構(gòu)建了基于遺傳算法的分?jǐn)?shù)階灰色優(yōu)化模型.通過算例發(fā)現(xiàn):相對已有的灰色預(yù)測模型，分?jǐn)?shù)階灰色優(yōu)化模型的預(yù)測結(jié)果精度更高.

分?jǐn)?shù)階灰色優(yōu)化模型從灰色預(yù)測模型的白化方程出發(fā)，將GM(1,1)模型的階數(shù)1推廣到階數(shù)r，并且對階數(shù)r用遺傳算法進行優(yōu)化，利用優(yōu)化后的階數(shù)進行預(yù)測，精度得到了明顯提升.因此,針對不同的分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測模型階數(shù)r的優(yōu)化，以及分?jǐn)?shù)階灰色模型的建模機制的改進等問題，值得進一步研究.