楊 威, 劉春欣

(西安建筑科技大學理學院，西安 710055)

0 引言

畢達哥拉斯模糊集[1]是對直覺模糊集[2]的推廣，其元素由隸屬度和非隸屬度兩部分組成，且滿足隸屬度和非隸屬度平方和小于等于1。作為畢達哥拉斯模糊集的推廣，猶豫畢達哥拉斯模糊集[3]中每個元素的隸屬度和非隸屬度可能包含多個值，這樣可以兼顧決策者的不同偏好。近年來，許多學者對猶豫畢達哥拉斯模糊集進行了研究[4–6]。Wang 等[4]研究了基于擴展的TOPSIS 和Choquet 積分的區(qū)間猶豫畢達哥拉斯模糊集及其應用。Liang 和Xu[6]利用拓展的TOPSIS 法對猶豫畢達哥拉斯模糊多準則決策問題進行了研究。在本文中，方案的評價值均以猶豫畢達哥拉斯模糊數的形式給出。

在進行決策時，屬性權重是否合理、準確會影響決策結果的合理性和準確性。決策與試驗評價實驗室(Decision-making Trial and Evaluation Laboratory,DEMATEL)是美國學者Gabus 和Fontela[7]在1971 年提出的。該方法通過各因素間的邏輯關系和直接影響矩陣確定各因素的相對重要性。目前關于DEMATEL 方法的研究也取得了一系列成果[8–9]。本文研究基于猶豫畢達哥拉斯模糊信息的DEMATEL 方法，并采用DEMATEL 法確定屬性權重。VIKOR 法的主要思想是尋找折衷解，它是求解具有沖突屬性決策問題的有利工具[10–11]。為了充分考慮各因素的相對重要性，得到準確的權重信息，并且在方案排序時考慮具有沖突屬性的決策問題，本文給出一種新的基于DEMATEL 和VIKOR 方法的猶豫畢達哥拉斯模糊信息的多屬性決策方法。對于多屬性決策問題排序結果不一致的情況，現有文獻[12–13]中僅闡述了文獻所提方法的優(yōu)點，而未進行一致性檢驗證明所得排序結果是否合理。為了克服只用一種排序方法得到片面排序結果的缺點，需要討論多屬性決策中的一致性問題。本文對多種決策方法進行一致性檢驗，對于排序結果不一致的情況，本文提出利用組合模糊Borda 法，將各方法的優(yōu)勢互補進行組合排序，使得所得排序結果更加全面且具有說服力。

本文采用猶豫畢達哥拉斯模糊值建模決策中存在的模糊和不確定信息。首先利用DEMATEL 方法確定屬性的權重，進而采用VIKOR 法、TOPSIS 法和加權算術平均法對方案排序。對于排序結果不一致的情況，給定顯著性水平，進行Kendall-W 事前一致性檢驗[14–15]。在滿足事前一致性檢驗后，利用組合的模糊Borda 評價模型[14]計算模糊Borda 得分，并對決策結果按得分由高到低進行排序。最后進行Spearman 事后一致性檢驗[15]，說明所得最終方案的排序結果是可信的。文中給出方法和一致性檢驗的具體步驟，并且通過算例說明該方法的可行性與有效性。

1 預備知識

稱〈ΓA(x),ΨA(x)〉為猶豫畢達哥拉斯模糊數，簡記為α=〈Γα,Ψα〉。

為猶豫畢達哥拉斯模糊集的猶豫度，μA(x)∈ΓA(x), νA(x)∈ΨA(x)。

不同的猶豫畢達哥拉斯模糊數可能含有不同數目的隸屬度和非隸屬度。為了準確計算猶豫畢達哥拉斯模糊元素之間的距離，可根據決策者對于風險的態(tài)度對猶豫畢達哥拉斯模糊數進行拓展，使其所含有的隸屬度、非隸屬度數目相等。如果決策者的態(tài)度是風險厭惡的，則添加最小的隸屬度，最大的非隸屬度；如果決策者的態(tài)度是中立的，則添加隸屬度與非隸屬度的平均值；如果決策者的態(tài)度是風險偏好的，則添加最大的隸屬度，最小的非隸屬度。

其中?Γαi、?Ψαi分別表示Γαi、Ψαi中元素的個數，則

1) 若S(α1)＜S(α2)，則α1＜α2；

2) 若S(α1) =S(α2)，且G(α1)＜G(α2)，則α1＜α2；若S(α1) =S(α2)，且G(α1)=G(α2)，則α1～α2。

2 猶豫畢達哥拉斯模糊多屬性決策的一種新方法

2.1 基于DEMATEL 和VIKOR 的猶豫畢達哥拉斯模糊多屬性決策方法

2.2 猶豫畢達哥拉斯模糊組合決策模型

Borda 法的基本思想是通過比較不同決策方法中各個方案的排序值，確定其Borda 分進行排序決策。本文按照不同方法中決策值的大小進行定量的比較，計算每個方法對方案得分的隸屬度，再根據隸屬度確定組合模糊Borda 分進行排序。具體步驟如下：

yi為第i個方案在組合方法下的排序，yij為所用決策方法的排序，m為方案數，g為方法數，T服從自由度為m-2 的t分布，若T ＞Tα(m-2)，則說明組合算法與各決策方法的結果是一致的。

3 實例分析與一致性檢驗

3.1 實例分析

隨著社會的發(fā)展，高鐵已經成為大家出游的首要選擇。但是在修建鐵路時，需要對該路段進行風險評估，進而選擇合適的方案進行建設。為了評價建設方案的風險同時選擇合適的建設方案，建設部邀請不同專業(yè)的專家，為高鐵在建設過程中存在的風險進行評估，主要考慮以下風險：F1–監(jiān)管風險，F2–地理環(huán)境風險，F3–技術風險，F4–人員風險。經過專家篩選后還剩余5 個備選方案Ai(i= 1,2,3,4,5)需要進一步選擇。專家給出屬性之間的評價值和方案相對于屬性的評價值。采用本文提出的新方法對方案進行排序。

表1 初始關系矩陣～H

步驟2 計算初始關系矩陣中各元素隸屬度與非隸屬度的平均值，生成直接關系HPF 矩陣～D，并將矩陣～D標準化，得到新矩陣～E。計算結果如表2 所示。

表2 標準化的直接關系HPF 矩陣～E

步驟3 計算總關系矩陣～T，計算結果如表3 所示。

表3 總關系矩陣～T

步驟4 根據總關系矩陣～T中的元素～tij，通過(5)和(6)計算各準則的中心度ri和原因度cj，并將ri、cj標準化得

步驟5 利用(7)式計算各準則的權重為ω1= 0.188 7, ω2= 0.130 8, ω3= 0.437 4,ω4=0.243 1。

步驟6 決策者給出方案關于屬性的評價值，每個評價值包括隸屬度和非隸屬度。所得到的決策矩陣～P，如表4 所示。假設決策者是風險厭惡的，則拓展畢達哥拉斯模糊矩陣～P′，如表5 所示。

表4 決策矩陣～P

表5 拓展決策矩陣～P′

步驟7 利用式(8)和式(9)計算出各指標的正理想解～L+和負理想解～L-如下

步驟8 利用式(10)和式(11)計算各備選方案的“群體效益”值Vi和“個別遺憾”值Ri，結果為

步驟10 根據Qi對方案進行排序A2?A1?A5?A3?A4，得最優(yōu)方案為A2。

為了說明本文在猶豫畢達哥拉斯模糊信息下提出的DEMATEL 和VIKOR 模型的有效性，將提出的新方法的結果與Liang 和Xu[6]提出的TOPSIS 方法和劉衛(wèi)鋒和何霞[3]提出的加權算術平均算子決策方法進行對比分析。

利用TOPSIS 方法對方案排序，首先根據(8)和(9)式確定畢達哥拉斯猶豫模糊正、負理想解，分別為～L+和～L-。其次根據

最后根據記分函數可得方案的排序為A1?A2?A3?A5?A4。

由于上述兩種排序方法與本文所得的排序結果不一致。本文采用Kendall-W 事前一致性檢驗和Spearman 事后一致性檢驗并進行組合模糊Borda 決策，從而確定最佳方案。

3.2 一致性檢驗

首先，對上述三種方法(VIKOR 方法、TOPSIS 法、加權算術平均法)的決策結果進行Kendall-W 事前一致性檢驗。給定顯著性水平α= 0.1，由(18)式可知在顯著性水平α=0.1 時，有

因此上述三種方法滿足事前一致性檢驗的條件，從而可以進行組合模糊Borda 決策。其次，利用組合模糊Borda 法(13)～(17)式可得組合模糊Borda 法得分Bi(i=1,2,3,4,5)為

不滿足Kendall-W 事前一致性檢驗的要求。因此在顯著性水平α= 0.01 時，上述三種排序方法(VIKOR 法、TOPSIS 法、加權算術平均法)不具有一致性，因而不能進行組合模糊Borda 決策。當顯著性水平α=0.05 時，雖然

滿足Kendall-W 事前一致性檢驗從而可以進行組合決策，但是

不滿足Spearman 事后一致性檢驗。當顯著性水平α=0.09 時，有

仍不滿足Spearman 事后一致性檢驗。因此在該顯著性水平下，不能說明組合模糊Borda法所得結果是可行的?；谏鲜龇治?，本文選取顯著性水平α= 0.1。由于在該顯著性水平下，排序結果可以通過一致性檢驗的要求。因而組合模糊Borda 法在該顯著性水平下是可行的。

雖然每個方法排序結果存在微小差異，但是組合模糊Borda 法排序的最佳方案與VIKOR 法和TOPSIS 法排序的最佳方案都為A2，加權算術平均法的最佳排序方案為A1。在對方案進行排序時，VIKOR 法的主要思想是尋找折衷解，它是求解具有沖突屬性決策問題的有利工具。TOPSIS 法是在一組備選方案中選擇一個靠近正理想解同時遠離負理想解的方案作為最優(yōu)方案。若只考慮某一種排序方法，所得的排序結果可能過于片面。因此選取多種方法，通過組合模糊Borda 模型將其排序結果結合起來，使得每個方法的優(yōu)勢互補。這將有效彌補單一排序方法的不足，使得所得的排序結果更加全面和具有說服力。

4 結論

本文研究了猶豫畢達哥拉斯模糊集下的DEMATEL 和VIKOR 方法，并用該方法對備選方案進行排序。由于DEMATEL 方法是通過各因素間的邏輯關系和直接影響矩陣確定各因素的相對重要性，因此所得的權重相比于主觀賦權法等更加符合實際情況。通過本文所提方法與TOPSIS 法和加權算術平均方法的排序結果進行對比，對于排序結果不一致的情況進行Kendall-W 事前檢驗，在滿足事前檢驗后，利用組合模糊Borda 法得到方案排序，進而進行Spearman 事后一致性檢驗。由于組合模糊Borda 法可以對多種方法的排序結果進行組合，因此組合排序結果較單一排序結果具有更高的可信度。本文最終確定最佳方案為方案2，方案1 可作為備選方案。組合模糊Borda 決策模型可為解決多屬性決策排序不一致的問題提供一種解決思路。