高童迪，秦學珍，袁正道,2，王家斌

(1.河南開放大學 人工智能工程研究中心，鄭州450002;2.鄭州大學 信息工程學院，鄭州450001;3.中船重工第七一三研究所，鄭州450001)

0 引 言

在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中利用稀疏性進行信道估計時，非零信道抽頭的位置和個數(shù)將對估計算法產(chǎn)生巨大的影響[1-2]?，F(xiàn)有的稀疏估計算法通常假定非零抽頭位置隨機分布，抽頭取值為零均值的高斯分布。但是在空間傳播過程中，信道由直射和散射路徑共同構(gòu)成，非零抽頭的位置和幅度具有一定的先驗信息[3]。

常用的稀疏估計模型有稀疏貝葉斯學習[1](Sparse Bayesian Learning,SBL)、伯努利-高斯[4](Bernoulli-Gaussian,BG)模型和正交匹配追蹤[5](Orthogonal Matching Pursuit,OMP)等，其中SBL模型假設(shè)抽頭元素為均值為0、方差為伽瑪分布高斯變量；BG模型假定抽頭元素有零和非零兩種取值(伯努利分布)，其中非零元素又服從高斯分布；OMP算法將待估計向量分解為相互正交向量的稀疏線性組合，通過迭代構(gòu)建稀疏逼近?；谏鲜鋈愊闰災Ｐ停瑖鴥?nèi)外多個團隊進行了深入的研究。例如利用消息傳遞算法進行SBL[6]和BG[4]模型的建模和推導，也取得了較高的估計精度。但是上述工作均未考慮信道抽頭所具有的分組特性，而是將每個抽頭都當作獨立分布。預期利用上述分組特性將成為稀疏估計算法的突破點。

最優(yōu)估計通常要求解系統(tǒng)中所有顯性和隱藏變量的全局最大后驗概率，但是現(xiàn)代通信系統(tǒng)涉及到的中間變量過多，針對這樣的復雜模型，最優(yōu)估計會導致極高的復雜度，很難得到推廣。作為最優(yōu)估計的近似，因子圖-消息傳遞算法[7]自從提出以來在稀疏估計[6]、迭代接收機設(shè)計[8]和圖像處理[9]等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。目前應(yīng)用最廣泛的基本消息更新規(guī)則有置信傳播[10](Belief Propagation,BP)、平均場[11](Mean Field,MF)等，在此基礎(chǔ)上發(fā)展出了一系列近似消息傳遞算法，如廣義近似消息傳遞[12](Generalize Approximate Message Passing,GAMP)和酉近似消息傳遞[13](Unitary Transform Approximate Message Passing，UT-AMP)等。上述每種規(guī)則都有特定的應(yīng)用場景，如BP規(guī)則合適用于離散分布的變量計算，MF規(guī)則適合如高斯分布和Gamma分布的消息計算，但是針對更為復雜的參數(shù)計算，BP和MF規(guī)則也很難得到閉式解。文獻[14]中證明了經(jīng)典的期望最大化(Expectation Maximization，EM)方法也可以看作MF規(guī)則的一個特例，能夠作為一種消息更新規(guī)則嵌入到現(xiàn)有的消息傳遞算法中，以適用于更復雜的參數(shù)估計[15]。

針對非理想稀疏信道，本文提出了一種應(yīng)用聯(lián)合UT-AMP和EM的信道估計算法，并建立虛擬環(huán)境進行了測試，從數(shù)值仿真和復雜度的角度驗證了所提算法的有效性。

1 系統(tǒng)模型

1.1 OFDM系統(tǒng)模型

針對一個配置有M個子載波的正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)系統(tǒng)，均勻選擇其中N個作為導頻進行信道估計，剩余M-N個用于數(shù)據(jù)傳輸，導頻向量可表示為x=[x1,x2,…,xN]H。定義導頻圖譜為P，即向量x中元素xn的下標n∈P。頻域傳輸符號經(jīng)過頻域等效信道h=[h1,h2,…,hN]H的傳輸?shù)玫降念l域接收數(shù)據(jù)為y=h·x+n。由于本文僅關(guān)注信道估計，則向量h、y等默認僅包含頻域索引屬于導頻圖譜P的部分，即h、y∈RN×1。為簡化系統(tǒng)模型，本文假定發(fā)送的導頻符號為xn=1，則觀測數(shù)據(jù)y可以簡化表示為

y=h+n。

(1)

式中：n表示精度(方差的倒數(shù))為σ-1的加性高斯白噪聲。根據(jù)傳播理論，OFDM系統(tǒng)的頻域等效信道可以表示為多徑抽頭向量α和部分離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)矩陣相乘的形式，即

h=Φα。

(2)

式中：α∈RL×1為抽頭向量，L為抽頭長度。式(2)中矩陣Φ的構(gòu)造方法為：從M維標準DFT矩陣FM中選取其索引屬于導頻圖譜P中的N行和前L列，即Φ∈CN×L。進而式(1)可以重寫為

y=Φα+n。

(3)

但是由文獻[16]等可知，當觀測矩陣具有病態(tài)特性時，基于消息傳遞的迭代算法會導致較大的性能損失，甚至產(chǎn)生發(fā)散。處理該類問題的方法有向量近似消息傳遞(Vector Approximate Message Passing,VAMP)、酉變換近似消息傳遞(UT-AMP)和簡單的數(shù)值處理方法，如迭代阻尼[16](Damping)的方法。本文采用UT-AMP的思路，首先對部分DFT矩陣Φ進行SVD分解可得Φ=UΛV，其中U、V為酉矩陣，Λ為對角陣，從而式(3)需要重寫為

y=UΛVα+n。

上式同時左乘矩陣UT可得

UTy=ΛVα+UTn?Aα+UTn?h′+n′?r。

(4)

式中：A、r和h′分別為新的測量矩陣、觀測向量和頻域等效信道。鑒于本文后續(xù)僅用到變量h′，簡潔起見由h代替。由于UT為酉矩陣，則n′仍為高斯白噪聲，并且均值方差和n一樣，因此本文后續(xù)仍用n表示。所以式(4)可重新整理為

r=Aα+n。

(5)

1.2 混合高斯先驗模型

在稀疏估計模型中常見的伯努利-高斯先驗可以表示為

式中：稀疏向量α中的元素αl只可能有0和非零兩種取值，其概率分別為(1-λ)和λ，當取值非零時假定其服從均值為0、方差為1的高斯分布。

(6)

式中：βi和μl為每個高斯先驗的權(quán)重和均值。相比BG模型，加權(quán)高斯模型更具通用性，能夠捕捉更復雜的稀疏先驗。

由上述OFDM傳輸和加權(quán)高斯先驗模型，可以將本系統(tǒng)中的觀測和未知變量的全局后驗概率進行因式分解:

p(r,h,α,λ,π,β,μ)=

p(r|h,λ)p(h|α)p(α|π,β,μ)p(λ)=

p(σ)∑np(rn|hn,λ)p(hn|α)×

∑lp(αl|π,β,μ)p(β)p(μ)?

fλ∑nfrnfhn∑lfαlfβfμ。

(7)

圖1 因式分解(7)所對應(yīng)因子圖

2 消息傳遞框架下EM算法的嵌入

作為一種經(jīng)典迭代算法，EM已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于信號處理的諸多領(lǐng)域。文獻[14]中證明了EM算法可以看作是MF消息更新規(guī)則的一種特例。為了方便本文的后續(xù)推導，可以將EM算法在消息傳遞框架下的嵌入方式進行總結(jié)。

假設(shè)存在如圖2所示因子圖模型，fx(x,θ)表示變量x和θ之間的函數(shù)關(guān)系，函數(shù)fθ(θ)為變量θ的先驗分布。設(shè)變量x的置信為b(x)，根據(jù)MF規(guī)則可計算fx(x,θ)到θ的消息為

則變量θ的置信可寫為b(θ)∝mfx→θ(θ)×fθ。

圖2 EM算法簡單示例因子圖

(8)

3 非理想稀疏信道估計算法推導

本節(jié)將因子圖劃分為稀疏向量估計部分(包含函數(shù)節(jié)點frn、fhn、fλ和與之對應(yīng)的變量節(jié)點)和WG先驗估計部分(包含函數(shù)節(jié)點fαl、fβ和fμ)，并按照上述劃分進行消息的更新和算法總結(jié)。

3.1 基于UT-AMP的稀疏向量估計算法

對于frn、fhn節(jié)點之間消息的更新可以參考文獻[13]中的現(xiàn)有公式，但是文獻[13]中并沒有給出在具體先驗條件下αl置信的計算，所以本節(jié)僅關(guān)注變量αl置信的更新。

(9)

(10)

(11)

(12)

φnk?ξnk/∑k′ξnk′，

(13)

(14)

(15)

式(12)～(13)根據(jù)簡單的移項等算術(shù)運算即可得到，式(14)～(15)的計算需要利用高斯分布相乘公式。在得到置信b(αl)后計算αl的期望和方差分別為

需要說明的是，本節(jié)僅推導了稀疏向量估計中置信b(αl)的更新方法，而其他節(jié)點之間消息的更新歸納在3.3節(jié)偽代碼中。

3.2 基于EM的先驗參數(shù)估計

(16)

根據(jù)EM求解公式(8)有

上式代入b(αl)和?lnfαl/?λ可得

δ(αl≠0))?(lnfαl)/(?λ)dαl=

∑l(-(1-πl(wèi))/(1-λ)+πl(wèi)/λ)=0，

(17)

類似地，可得函數(shù)fαl對θk的偏導數(shù)

代入EM求解公式，有

(18)

(19)

3.3 本文所提信道估計算法

根據(jù)前述消息傳遞算法推導，設(shè)計合理的消息更新策略，本文所提信道估計算法偽代碼如下：

2 酉變換[U,Λ,V]=svd(Φ),r=UTy,A=ΛV

FORi=1:NOuter

3 ?n更新νpn=∑l|Anl|2ναl

7 ?l更新νql=(∑n|Anl|2νsn)-1

FORi′=1:NEM

END FOR

END FOR

4 數(shù)值仿真和復雜度分析

本節(jié)從數(shù)值仿真和復雜度兩方面對本文所提算法和文獻中方法進行對比。為方便描述，本文對涉及到的算法進行如下定義：文獻[6]中所提基于SBL模型和GAMP的估計算法簡寫為GAMP-SBL；文獻[4]中利用GAMP和BG先驗的估計算法簡記為UT-BG；本文所采用基于UT-AMP和WG模型的方法記為UT-WG。此外，本文還將已知非零元素位置的最小均方誤差估計作為接收機性能的最佳下界，簡記為Gen-LMMSE。

4.1 復雜度對比

對比算法GAMP-SBL和UT-BG在迭代部分具有復雜度O(NOuterNL)，比本文所提UT-WG算法缺少了酉變換和內(nèi)迭代。需要說明的是，對于方陣SVD分解并沒有快速算法，但是非方陣(如“胖”矩陣或者“高”矩陣)則有快速算法，能夠在N?L或L?N的條件下實現(xiàn)復雜度遠小于O(N3)。矩陣A的快速SVD分解在Matlab中寫為svd(A,‘eco’)，仿真中能夠大大加速運算。所以可以說本文所提算法與文獻中已有算法相比略有提升，但保持同階。

4.2 仿真環(huán)境建立

本節(jié)建立OFDM傳輸環(huán)境對本文所提算法進行數(shù)值仿真和對比。假設(shè)一個配置有M=512個子載波的單天線高速OFDM系統(tǒng)，均勻選取其中N=70～100個子載波作為導頻。設(shè)信道抽頭長度為L=200，主要非零抽頭個數(shù)為S=8。由于存在多徑散射，假定每個主要抽頭攜帶3個拖尾(Heavy Tailed)非零抽頭，其強度與其歸屬的主要非零抽頭呈冪次遞減。例如當抽頭αl為主要的非零抽頭，其強度為αl=d，則存在3個拖尾抽頭，具有強度αl+j=d×2-j,j=1～3。每次仿真假定主要抽頭位置隨機分布，強度服從高斯分布。圖3展示了上述信道的一次實現(xiàn)，其上半部分為受拖尾影響的抽頭向量，下半部分為主要抽頭向量。

圖3 非理想和理想稀疏向量

4.3 數(shù)值仿真

本節(jié)以信道抽頭向量α的歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error,NMSE)為性能衡量標準對本文所提算法和文獻中已有方法進行數(shù)值仿真和對比。

圖4展示了在信噪比30 dB的情況下，各種算法的估計性能隨導頻數(shù)量的變化曲線。從圖中可以看出在導頻數(shù)量充足時(當N>95)，所有估計算法與最優(yōu)估計(Gen-LMMSE)性能接近，但是隨著導頻數(shù)量的降低，各類算法性能惡化嚴重，在N≤80時甚至幾乎不工作；在導頻數(shù)量處于80≤N≤95時，本文所提UT-WG算法相比GAMP-SBL和UT-BG算法有明顯的性能優(yōu)勢，或者說在相同估計性能條件下，本文所提算法能夠減少導頻的使用，提升OFDM系統(tǒng)頻譜效率。

圖4 估計性能隨導頻數(shù)量變化曲線(信噪比30 dB)

圖5給出了在導頻數(shù)N=85的條件下各種算法信道估計性能隨信噪比的變化曲線。由于本文采用的下界是已知非零抽頭位置的LMMSE估計，并且仿真中導頻數(shù)量N并不充足，所以在圖4和圖5上各類算法估計性能相比還有一定距離。從圖5中仍可以看出，相比文獻中已有算法，本文所提UT-WG算法表現(xiàn)出3～4 dB的性能增益。

圖5 估計性能隨信噪比變化曲線

總之，由于采用了更合理的稀疏先驗分布，利用UT-AMP算法降低了DFT矩陣的病態(tài)特性所導致的發(fā)散，本文所提UT-WG算法在保持同階復雜度的條件下具有更優(yōu)的估計性能和頻譜效率。

5 結(jié) 論

本文以因子圖-消息傳遞為建模和信號處理工具，利用加權(quán)高斯為稀疏先驗模型，通過嵌入EM算法到消息傳遞框架中，通過消息的推導計算和迭代，得到一種針對非理想稀疏向量的估計算法，將其應(yīng)用于高速OFDM通信系統(tǒng)信道估計的仿真中，取得了較好的性能增益。