喬新堯,盧俊香,2*

(1.西安工程大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710048； 2.西安理工大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院，陜西 西安 710048)

2013年9月，習(xí)近平總書記在中亞和東南亞國家交流訪問期間，提出了“一帶一路”的倡議。隨著“一帶一路”的提出，中國與其他“一帶一路”沿線國家之間金融市場的聯(lián)系日益緊密。研究“一帶一路”對股票市場波動的影響，以及中國和沿線主要國家股票市場間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，有利于為中國進一步推進“一帶一路”建設(shè)、加強與沿線各國的貿(mào)易合作以及共同維護金融市場的穩(wěn)定；可以為各個國家金融市場的監(jiān)管部門提供一些參考，更利于給投資者進行投資組合時提出合理建議以減小投資風(fēng)險。

金融時間序列大多呈現(xiàn)出尖峰厚尾、波動聚集性的特點。1959年，SKLAR首次提出了Copula函數(shù)的概念，將多維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)與各邊際分布函數(shù)連接起來[1]，為學(xué)者們研究變量之間的相關(guān)關(guān)系提供了一個新的方法。EMBRECHTS et al首次將Copula函數(shù)應(yīng)用到金融管理領(lǐng)域，提供了新的研究金融市場相關(guān)結(jié)構(gòu)的方法[2]。MOKNI et al將GARCH模型和Copula函數(shù)結(jié)合起來共同研究股票市場的相關(guān)性[3-4]。國內(nèi)，張堯庭首次詳細(xì)介紹了Copula函數(shù)的理論并將其運用于金融風(fēng)險分析中[5]。劉紅玉運用Copula函數(shù)研究了上證綜指與深證成指的相關(guān)結(jié)構(gòu)[6]。曹境鴿運用GARCH(1,1)-GED-Copula模型度量ETF基金投資組合的風(fēng)險，發(fā)現(xiàn)相關(guān)性較強的投資組合的風(fēng)險要高于相關(guān)系數(shù)小的組合風(fēng)險[7]。

但是之前大多是借助單一的Copula函數(shù)研究兩兩資產(chǎn)間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，如果要研究2只以上股票之間的相關(guān)性及度量投資組合風(fēng)險價值，單一的Copula函數(shù)明顯存在著局限性。HU最早提出了混合Copula函數(shù)模型(M-Copula) 來度量變量之間的相關(guān)關(guān)系[8]。ZILKO et al通過多元混合 Copula 函數(shù)對金融市場進行研究[9]。國內(nèi)，陳秋林等建立M-Copula模型并計算VaR值[10-12]。徐麒等利用M-Copula函數(shù)研究消費者價格指數(shù)(CPI)和生產(chǎn)者價格指數(shù)(PPI)兩者間的相關(guān)性，結(jié)果表明CPI和PPI在經(jīng)濟衰退時期的相關(guān)性更強[13]。劉祥東等運用M-Copula函數(shù)度量我國4個行業(yè)指數(shù)投資組合的風(fēng)險價值，發(fā)現(xiàn)4個行業(yè)指數(shù)具有下尾相關(guān)性，更可能在同一時間發(fā)生下跌的情形[14-15]。在刻畫高維金融市場的相關(guān)結(jié)構(gòu)時，選取M-Copula函數(shù)模型比單一的Copula函數(shù)更靈活，為研究多個變量之間的相關(guān)關(guān)系拓寬了思路。

同時，風(fēng)險度量對投資者來說至關(guān)重要。最初，MARKOWITZ提出了均值方差模型來描述風(fēng)險[16]，但是金融時間序列往往不服從正態(tài)分布，因此也有局限性。 隨后，摩根公司提出了VaR指標(biāo)，成為銀行、證券公司等進行度量投資風(fēng)險的重要工具。鄭文通最早將VaR方法引入中國，全面地介紹了VaR方法[17]。李麗梅等研究了由股票指數(shù)和股指期貨組合的VaR，發(fā)現(xiàn)SVt-EVT-Vine Copula 模型度量的投資組合風(fēng)險更準(zhǔn)確合理[18]。DU et al用Copula函數(shù)來分別研究匯率以及銀行的相關(guān)關(guān)系，并計算其風(fēng)險價值[19-20]。在度量風(fēng)險方面，VaR方法明顯比均值方差模型效果好。

在“一帶一路”背景下，對于沿線主要國家金融市場相關(guān)結(jié)構(gòu)的研究日益被重視。王滿倉等根據(jù)協(xié)同理論分析了離岸金融與“一帶一路”之間的關(guān)系[21]；黃雯晶利用溢出指數(shù)模型研究中國與其他沿線國家股市間的波動溢出效應(yīng)[22]。這些研究基本是從政治經(jīng)濟學(xué)的角度來分析“一帶一路”背景下金融市場的相關(guān)結(jié)構(gòu)，沒有運用簡單的數(shù)學(xué)模型以及大量數(shù)據(jù)實證。另外，國內(nèi)外對于金融市場的相關(guān)結(jié)構(gòu)的研究集中于金磚國家、發(fā)達(dá)國家，很少有涉及“一帶一路”沿線國家。因此，在已有的多維金融市場的相關(guān)性研究基礎(chǔ)上，本文以VaR作為風(fēng)險度量指標(biāo)，先使用GJR-GARCH(1,1)-t模型來刻畫各股指市場收益率的邊緣分布；再運用M-Copula函數(shù)來連接各邊緣分布刻畫股指市場間的相關(guān)結(jié)構(gòu)；最后計算不同權(quán)重、不同置信水平下的資產(chǎn)組合的風(fēng)險價值。

1 相關(guān)理論

1.1 邊緣分布

在構(gòu)建多維金融市場的相關(guān)結(jié)構(gòu)之前，需要先確定單變量的邊緣分布。研究表明，金融收益率序列往往呈現(xiàn)出“尖峰厚尾”“有偏”，并且還會出現(xiàn)波動聚集性的特征。 GLOSTEN et al提出了GJR-GARCH模型[23]，該模型能更準(zhǔn)確地捕捉金融序列的波動聚集性和“杠桿效應(yīng)”?？紤]到收益率序列的厚尾性，本文擬用刻畫金融序列厚尾性的t分布結(jié)合GJR-GARCH模型擬合股指收益率殘差。GJR-GARCH(1,1)-t模型如下:

1.2 M-Copula函數(shù)模型

Copula函數(shù)的概念由1959年SKLAR回答多維聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布之間的關(guān)系時提出，即聯(lián)合分布函數(shù)可以由Copula函數(shù)和邊緣分布函數(shù)共同表示，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

F(x1,x2,…,xn)=

C(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)),

(4)

其中，x1,x2,…,xn為n個隨機變量，F(xiàn)(x1,x2,…,xn)為變量x1,x2,…,xn的聯(lián)合分布函數(shù)，F(xiàn)1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)分別為變量x1,x2,…,xn的邊緣分布函數(shù)，C(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))為n元Copula函數(shù)，當(dāng)F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)連續(xù)時，Copula函數(shù)唯一。

如果對(4)式求導(dǎo)，得到：

f(x1,x2,…,xn)=

(5)

其中，f(x1,x2,…,xn)表示變量x1,x2,…,xn的聯(lián)合密度函數(shù)，fi(xi)為變量xi(i=1,2,…,n)的密度函數(shù)，且

c(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))=

令ui=Fi(xi),i=1,2,…,n，則

(5)式表明多元聯(lián)合密度函數(shù)f(x1,x2,…,xn)可由多元Copula函數(shù)c(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))與各邊緣密度函數(shù)fi(xi)(i=1,2,…,n)乘積共同表示。

金融領(lǐng)域最常用的Copula函數(shù)多屬于橢圓類Copula函數(shù)族和阿基米德Copula函數(shù)族。不同類型的Copula函數(shù)對于變量之間的相關(guān)性的捕捉程度有所不同。其中，橢圓類Copula函數(shù)(正態(tài)-Copula和t-Copula函數(shù))刻畫對稱的尾部相關(guān)結(jié)構(gòu)；阿基米德族Copula函數(shù)(Gumbel-Copula, Clayton-Copula和Frank-Copula函數(shù))分別描述非對稱的上尾相關(guān)結(jié)構(gòu)、非對稱的下尾相關(guān)結(jié)構(gòu)以及對稱的相關(guān)結(jié)構(gòu)。由于不同的Copula函數(shù)刻畫不同的尾部相關(guān)結(jié)構(gòu)，因此將幾種Copula函數(shù)組合起來，即混合Copula函數(shù)模型(M-Copula)共同研究相關(guān)結(jié)構(gòu)，擬合的比只使用單一Copula函數(shù)的好。本文將Gumbel-Copula，Clayton-Copula和Frank-Copula函數(shù)線性組合起來共同研究5只股指間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。五元M-Copula函數(shù)的模型如下：

CM(u1,u2,u3,u4,u5)=ω1Cg(u1,u2,u3,u4,u5;θ1)+

ω2Cc(u1,u2,u3,u4,u5;θ2)+ω3Cf(u1,u2,u3,u4,u5;θ3)。

其中，CM(u1,u2,u3,u4,u5)為M-Copula函數(shù)，Cg(u1,u2,u3,u4,u5;θ1)表示Gumbel-Copula函數(shù)，Cc(u1,u2,u3,u4,u5;θ2)表示Clayton-Copula函數(shù)，Cf(u1,u2,u3,u4,u5;θ3)表示Frank-Copula函數(shù)；ω1,ω2和ω3(ω1,ω2,ω3≥0)為權(quán)重，且滿足ω1+ω2+ω3=1。

1.3 M-Copula模型的參數(shù)估計

一般采用極大似然估計法(Maximum Likelihood Estimate，MLE)來估計Copula函數(shù)的參數(shù)，但是M-Copula模型中不僅包含各Copula函數(shù)的參數(shù)，而且包括各權(quán)重參數(shù)。因此在估計該模型中的參數(shù)時，僅僅使用MLE方法是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，需要在MLE方法的基礎(chǔ)上結(jié)合EM算法和BFGS算法。具體方法如下：

Step3: EM算法的E步，即求出增加了缺失數(shù)據(jù)后的完整數(shù)據(jù)Y后的對數(shù)似然函數(shù)關(guān)于缺失數(shù)據(jù)的條件期望：

Step4: EM算法的M步，即對上式求最大值。在此步中，采用BFGS算法來進行。

1.4 M-Copula-GJR-GARCH(1,1)-t模型下的投資組合的風(fēng)險價值

在險價值(Value at Risk, VaR)方法是度量金融市場投資組合的風(fēng)險的主流方法。VaR指在給定置信水平的條件下，由于金融市場波動而導(dǎo)致的資產(chǎn)組合在未來一段時間內(nèi)可能出現(xiàn)的最大價值損失，即P(Y≥VaR)=α，其中，Y表示金融資產(chǎn)(或組合)在未來某時間內(nèi)所承受的損失值。Y=-R，R表示金融資產(chǎn)的收益，α為置信水平。

本文使用Monte Carlo模擬方法計算基于M-Copula模型的投資組合的VaR。模擬過程為:

(1) 根據(jù)已得到的M-Copula模型，模擬出N組服從均勻分布的Copula隨機向量(u1,t,u2,t,u3,t,u4,t,u5,t),t=1,2,…,T，T為Monte Carlo模擬的次數(shù)。

(4) 通過GJR-CARCH(1,1)模型的波動率方程，得出T+1天每只股票可能的日收益率Ri(i=1,2,…,5)。

(6) 根據(jù)P(Y≥VaR)=α計算資產(chǎn)組合的風(fēng)險價值。

2 實證分析

本文在“一帶一路”背景下，選取2013年10月8日至2019年11月15日“一帶一路”沿線5個國家的股指數(shù)據(jù)的日收盤價，分別為滬深300指數(shù)、俄羅斯RTS指數(shù)、富時新加坡STI指數(shù)、孟買SENSEX30指數(shù)、日經(jīng)225指數(shù)(數(shù)據(jù)來源為Wind數(shù)據(jù)庫)，得到實際有效數(shù)據(jù)共1 492組(刪除了股票收盤價缺失值，使得5只股指數(shù)據(jù)的收盤日期相同)。對日收盤價一階差分并擴大100倍：

rt=100×[ln(Pt)-ln(Pt-1)],

其中，rt為對數(shù)收益率，Pt為股票日收盤價。收益率序列的邊緣分布建模，M-Copula函數(shù)的參數(shù)估計以及投資組合的在險價值計算均在Matlab 2016a軟件中進行。

2.1 描述性統(tǒng)計

先對5只股票的對數(shù)收益率進行描述性統(tǒng)計，其結(jié)果如表1所示。孟買SENSEX30指數(shù)的平均收益率最大，而俄羅斯RTS指數(shù)的平均收益率最小，為負(fù)值。從標(biāo)準(zhǔn)差來看，俄羅斯RTS指數(shù)的波動最大，而富時新加坡STI指數(shù)的波動最小。另外，5只股票的偏度均小于0，峰度均大于3，這表明了金融收益率的“尖峰厚尾”性。表1數(shù)據(jù)顯示5只股票收益率的J-B檢驗的統(tǒng)計量的P值均≤0.05，所以均拒絕原假設(shè), 即不服從正態(tài)分布。由于收益率不服從正態(tài)分布，因此不能運用均值方差模型來度量投資組合的風(fēng)險。

表1 股指收益率的描述性統(tǒng)計Tab. 1 Descriptive statistics of stock index returns

2.2 邊緣分布建模

在進行邊緣分布構(gòu)建之前需要先檢驗各只股票指數(shù)的對數(shù)收益序列是否滿足GARCH建模要求。因此，首先對其進行單位根檢驗，再對其作異方差性檢驗。檢驗結(jié)果如表2所示，由ADF檢驗和PP檢驗的P值均≤0.05有各股指收益率數(shù)據(jù)不存在單位根，即為平穩(wěn)的時間序列。進一步根據(jù)拉格朗日乘子檢驗(LM檢驗)方法進行異方差性檢驗，由ARCH-LM的P值均≤0.05有各收益率序列均具有ARCH效應(yīng)，因此，適合用GARCH模型擬合。

表2 股指收益率的單位根檢驗及異方差檢驗Tab. 2 Unit root test and heteroscedasticity test of stock index return rate

下面，將采用GJR-GARCH(1,1)-t模型對各對數(shù)收益率序列進行邊際建模，表3為各參數(shù)的估計結(jié)果。從表3數(shù)據(jù)可以看出，各收益率序列具有持續(xù)性波動的特點。另外，從參數(shù)γ觀察到除滬深300指數(shù)，其余四支股指均存在杠桿效應(yīng)。由參數(shù)ν可知，俄羅斯RTS指數(shù)收益率序列自由度最大，出現(xiàn)極端事件的概率最小；相反，日經(jīng)225指數(shù)收益率序列自由度最小，出現(xiàn)極端事件的概率最大。k-s檢驗顯示P值均>0.01，表明標(biāo)準(zhǔn)殘差經(jīng)概率積分變換后為[0,1]上的均勻分布。

表3 GJR-GARCH(1,1)-t模型的參數(shù)估計Tab. 3 Parameter estimation of GJR-GARCH (1,1) -t model

2.3 M-Copula參數(shù)估計

對股指收益率的邊緣分布建模后，再對進行了概率積分變化后服從[0,1]均勻分布的殘差序列進行M-Copula模型擬合，進而研究5只股指之間的相關(guān)關(guān)系。將極大似然估計法與EM算法、BFGS算法結(jié)合起來對M-Copula函數(shù)模型進行參數(shù)估計，得到最終的權(quán)重參數(shù)ω1，ω2，ω3和各Copula相依參數(shù)θ1，θ2，θ3，其結(jié)果如表4所示。Clayton-Copula函數(shù)所占的權(quán)重最大為0.541 8，表明5只股票具有較強的下尾相關(guān)性，更可能發(fā)生同時下跌的情況；Gumbel-Copula函數(shù)所占的權(quán)重次之為0.347 6，說明5只股票之間的上尾相關(guān)性較下尾相關(guān)性弱；Frank-Copula函數(shù)的權(quán)重最小為0.110 6，表明5只股票之間的對稱相關(guān)性最弱。

表4 M-Copula函數(shù)模型的參數(shù)估計Tab. 4 Parameter estimation of M-Copula function model

2.4 VaR的計算

利用Monte Carlo模擬，隨機生成T=5 000組服從上述五維M-Copula函數(shù)的隨機向量(u1,t,u2,t,u3,t,u4,t,u5,t),t=1,2,…,T，并通過GJR-GARCH(1,1)-t模型所擬合的各收益率序列得到5只股票的模擬收益率，隨后分別計算如表5所示的3組不同權(quán)重下的投資組合的收益，最后計算在置信水平為95%和99%條件下各資產(chǎn)組合的風(fēng)險價值VaR。

表5 投資組合的權(quán)重Tab. 5 Portfolio weight

表6顯示不同置信水平下的單一資產(chǎn)和資產(chǎn)組合的VaR，從表6中數(shù)據(jù)可以看出，就單一資產(chǎn)而言，日經(jīng)225指數(shù)的VaR值最大，表現(xiàn)出日本股票市場的風(fēng)險較高；RTS指數(shù)VaR值最小，表現(xiàn)出俄羅斯的股票市場風(fēng)險較小。其次，單一資產(chǎn)和資產(chǎn)組合的VaR值均隨著置信水平的增大而增大；而在同一置信水平下，單一資產(chǎn)的風(fēng)險要大于資產(chǎn)組合的風(fēng)險。說明投資者可以通過有選擇性地組合資產(chǎn)來分散非系統(tǒng)性風(fēng)險。3種不同投資權(quán)重的資產(chǎn)風(fēng)險也不同，因此，權(quán)重系數(shù)的選擇對資產(chǎn)組合的風(fēng)險有一定的影響。提醒投資者在金融投資的時候應(yīng)避免只大量投資某一個股票，適當(dāng)?shù)耐顿Y組合能減小投資風(fēng)險，并且在組合投資時把握好不同的投資權(quán)重以獲得更大的收益。

表6 不同置信水平下的VaR值Tab. 6 Value at risk under different confidence levels

3 總結(jié)

“一帶一路”的提出對亞洲國家的經(jīng)濟發(fā)展起到了重要的促進作用。“一帶一路”沿線國家之間金融合作逐漸深入，因此對“一帶一路”沿線國家股票市場間相關(guān)結(jié)構(gòu)的研究以及度量金融風(fēng)險就很有必要，這既能為金融市場的共同發(fā)展提供參考，又能為投資者提供建議。本文首先使用GJR-GARCH(1,1)-t模型擬合各股指的收益率; 其次選擇M-Copula函數(shù)模型對5只股票之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)進行描述，分析了“一帶一路”沿線5個國家股票市場的相關(guān)性；最后，運用Monte Carlo模擬方法度量投資組合的風(fēng)險價值。主要結(jié)論如下：

(1) 使用GJR-GARCH(1,1)-t模型來擬合單只股票收益率序列時，除滬深300指數(shù)，其余4支股指均存在杠桿效應(yīng)。更加說明中國、俄羅斯、新加坡的投資者更傾向于視股票投資為高風(fēng)險高回報的投資，在股票價格增長時，會更大可能性地拋售股票以此獲利；在股票價格持續(xù)走低時更傾向于繼續(xù)持有股票， 等待價格反彈。印度和日本的投資者更傾向于在股票價格持續(xù)增長時保留股票，從而使得股票波動率下降，市場平穩(wěn)。

(2) 利用M-Copula函數(shù)模型研究5只股票的相關(guān)結(jié)構(gòu)時，不難發(fā)現(xiàn)5只股票具有較強的下尾相關(guān)性，且上尾相關(guān)性較下尾相關(guān)性弱，更可能發(fā)生同時下跌的情況。表明5只股票之間的對稱相關(guān)性最弱。每個國家的經(jīng)濟發(fā)展程度不同，資產(chǎn)組合間的相關(guān)關(guān)系在金融市場總環(huán)境的影響下，表現(xiàn)出來的反應(yīng)程度也不一樣。 通過推動“一帶一路”在全球范圍的實施，可以穩(wěn)定金融市場結(jié)構(gòu)，帶動我國以及沿線國家的經(jīng)濟發(fā)展。但是，在經(jīng)濟全球化和“一帶一路”發(fā)展模式的影響下，一個國家的股票市場價格波動也會影響其他國家的股票價格波動，金融市場的監(jiān)管部門應(yīng)時刻關(guān)注全球股票市場的波動情況，嚴(yán)控風(fēng)險，使得金融市場穩(wěn)健運行。

(3) 在度量資產(chǎn)組合的風(fēng)險價值時，單一資產(chǎn)和資產(chǎn)組合的在險價值VaR均隨著置信水平的增大而增大；而在同一置信水平下，單一資產(chǎn)的風(fēng)險要大于資產(chǎn)組合的風(fēng)險。并且，在不同的投資權(quán)重下，資產(chǎn)組合的風(fēng)險也存在著明顯的差別。因此，投資者在金融投資時如果只考慮投資其中一種股票時，應(yīng)選擇風(fēng)險價值相對較小的，或者選擇適當(dāng)?shù)耐顿Y組合，以此減小投資風(fēng)險。

本文的研究仍然存在著一些不足之處?？坍嫻善笔袌鲋g的相關(guān)結(jié)構(gòu)也可能會隨著時間的變化而變化，即Copula函數(shù)的參數(shù)是靜態(tài)不變的，這可能對刻畫相關(guān)結(jié)構(gòu)時造成一定的誤差。此外，在險價值VaR有一定的局限性，不是一致性風(fēng)險度量指標(biāo)，即不滿足次可加性。因此，下一步的研究可以考慮結(jié)合動態(tài)Copula模型來更準(zhǔn)確地度量資產(chǎn)價格的風(fēng)險價值。