張建功 萬(wàn)保權(quán) 程啟問(wèn) 鄒 軍

一種高效魯棒的低階迭代通量線方法求解高壓直流輸電線路離子流場(chǎng)

張建功1萬(wàn)保權(quán)1程啟問(wèn)2鄒 軍2

（1. 中國(guó)電力科學(xué)研究院有限公司電網(wǎng)環(huán)境保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 武漢 430074 2. 電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備控制和仿真國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（清華大學(xué)電機(jī)系） 北京 100084）

迭代通量線方法是一種被廣泛應(yīng)用于求解高壓直流輸電線路下離子流問(wèn)題的方法，在每根流線上需要求解一個(gè)多變量的最小二乘優(yōu)化問(wèn)題。該文從迭代通量線方法出發(fā)，結(jié)合遞推格式將每根流線上問(wèn)題簡(jiǎn)化為單變量?jī)?yōu)化問(wèn)題，從而使得通量線方法的計(jì)算規(guī)模被大大減小。實(shí)驗(yàn)表明，該文所提方法能夠有效提高求解效率和在不同初值下的魯棒性。該文提出的低階迭代通量線方法能夠有效應(yīng)用于具有復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)的離子流模型。

離子流 合成電場(chǎng) 高壓直流輸電線路 迭代通量線法

0 引言

電暈放電是一種極不均勻場(chǎng)中的自持放電現(xiàn)象，當(dāng)局部電場(chǎng)超過(guò)起暈電場(chǎng)時(shí)，電極附近空氣將發(fā)生電離，形成電暈。對(duì)電暈放電現(xiàn)象進(jìn)行建模時(shí)，考慮到光電子的運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)大于正負(fù)離子，因此將全空間分解為環(huán)繞電極的一層電離區(qū)以及電離區(qū)以外的傳導(dǎo)區(qū)分別建模。將電離區(qū)內(nèi)復(fù)雜的復(fù)合、吸附、電離等物理過(guò)程的模型稱為電暈流體模型；在此基礎(chǔ)上將電離層完全忽略，僅考慮傳導(dǎo)區(qū)內(nèi)正負(fù)離子在電場(chǎng)作用下作定向移動(dòng)的簡(jiǎn)化模型稱為離子流模型[1]。離子流模型在高壓直流輸電線路的電磁環(huán)境仿真中得到廣泛應(yīng)用[2-6]。

離子流模型對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為泊松方程-連續(xù)性方程耦合系統(tǒng)，其中連續(xù)性方程描述了空間離子流分布，而泊松方程描述了空間電荷與導(dǎo)線產(chǎn)生的合成電場(chǎng)分布。整個(gè)計(jì)算區(qū)域內(nèi)外邊界上電位分布以及Kapzov假設(shè)為泊松方程-連續(xù)性方程耦合系統(tǒng)提供了必要的定解條件。

通量線方法是一種被廣泛用于求解合成電場(chǎng)和空間離子流分布的方法，該方法最開始被用于求解經(jīng)Deutsch假設(shè)簡(jiǎn)化后的一維問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，提出一種消除Deustch假設(shè)的迭代通量線方法，該方法通過(guò)迭代修正通量線方向，逐步移除Deustch假設(shè)帶來(lái)的影響[7-8]。通量線方法可以分為兩類：①M(fèi). P. Sarma等提出的積分方程方法[9-10]；②喬驥等提出的有限差分方法[11-12]。本文從基于有限差分的迭代通量線方法出發(fā)，將待求解的常微分方程組離散為差分方程組，利用非線性最小二乘優(yōu)化算法搜索滿足邊界條件并使得差分方程組殘差最小的解。這種方法具有較好的普適性，同時(shí)適用于單極性和雙極性模型。由于待優(yōu)化變量個(gè)數(shù)正比于差分節(jié)點(diǎn)數(shù)，隨著差值節(jié)點(diǎn)增多，相應(yīng)的計(jì)算時(shí)長(zhǎng)將顯著增加；同時(shí)多變量?jī)?yōu)化問(wèn)題對(duì)初值敏感，求解過(guò)程中容易失穩(wěn)。本文從基于有限差分的通量線方法出發(fā)，結(jié)合遞推格式，將多變量?jī)?yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)化成單變量?jī)?yōu)化問(wèn)題，從而提升原方法的效率和魯棒性。

1 離子流模型

高壓直流輸電線路下的離子流模型基于如下三個(gè)基本假設(shè)[13]：

（1）電離層對(duì)傳導(dǎo)區(qū)的影響忽略不計(jì)。

（2）離子的擴(kuò)散效應(yīng)忽略不記。

（3）離子遷移率恒為一個(gè)常數(shù)。

傳導(dǎo)區(qū)內(nèi)空間電荷分布和電場(chǎng)分布對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型[14]為

2 低階通量線方法

2.1 一維離子流計(jì)算模型

Deutsch假設(shè)認(rèn)為空間電場(chǎng)強(qiáng)度和標(biāo)稱電場(chǎng)具有相同的方向，即

式中，為標(biāo)稱電場(chǎng)矢量。標(biāo)稱場(chǎng)滿足Poisson方程為

根據(jù)通量線起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置，需要施加不同的邊界條件，具體如下：

（1）起始于正極性導(dǎo)線，終止于負(fù)極性導(dǎo)線的通量線上邊界條件式（5）、式（6）簡(jiǎn)化為

（2）起始于正極性導(dǎo)線，終止于地面的通量線上邊界條件式（5）、式（6）簡(jiǎn)化為

（3）起始于地面，終止于負(fù)極性導(dǎo)線的通量線上邊界條件式（5）、式（6）簡(jiǎn)化為

從上述邊界條件可以看到，在起點(diǎn)或終點(diǎn)位于地面的通量線上，只需要考慮一種極性的空間電荷，稱這樣的模型為單極性模型；在起點(diǎn)和終點(diǎn)同時(shí)位于正負(fù)極導(dǎo)線表面的通量線上，則需要考慮兩種極性的空間電荷，這樣的模型被稱為雙極性模型。接下來(lái)將分別介紹如何處理這兩類問(wèn)題的方法。

2.2 單極性模型

采用Crank-Nicolson差分格式將方程式（10）離散為代數(shù)方程組為

2.2.1 傳統(tǒng)迭代通量線方法

文獻(xiàn)[7]中提出的迭代通量線方法處理單極性模型的具體步驟如下。

根據(jù)差分方程組式（16）可定義長(zhǎng)度為3(1)的殘差序列為

邊界條件式（13）也改寫成殘差形式為

2.2.2 低階通量線方法

將差分方程式（16）改寫為遞推格式為

其中，各個(gè)系數(shù)的具體表達(dá)式如下

式中，F為標(biāo)稱電場(chǎng)矢量在第個(gè)節(jié)點(diǎn)處的幅值。

2.3 雙極性模型

雙極性模型指的是同時(shí)存在正極性和負(fù)極性空間電荷的離子流模型。采用Crank-Nicolson差分格式將常微分方程組式（10）離散為代數(shù)方程組，有

2.3.1 傳統(tǒng)迭代通量線方法

文獻(xiàn)[7]中提出的迭代通量線方法處理雙極性模型的方式和單極性類似：差分方程組式（22）對(duì)應(yīng)著4-4項(xiàng)殘差，邊界條件式（12）對(duì)應(yīng)著另外4項(xiàng)殘差。在流線上的邊值問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為4個(gè)變量的最小二乘優(yōu)化問(wèn)題[11]。

2.3.2 低階通量線方法

雙極性模型與單極性模型的不同在于流線上同時(shí)出現(xiàn)正負(fù)電荷，同時(shí)還需要考慮正負(fù)電荷相互復(fù)合。本文結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)迭代，在求解過(guò)程中將這兩種電荷完全解耦：迭代過(guò)程中，每一步固定一種極性電荷，將原問(wèn)題簡(jiǎn)化為單極性問(wèn)題處理。具體流程如下：

重復(fù)上述兩個(gè)步驟，直到最終計(jì)算結(jié)果收斂。

2.4 對(duì)比與分析

改進(jìn)后迭代通量線方法的基本計(jì)算流程如圖2所示。

圖2 迭代通量線方法計(jì)算流程

和文獻(xiàn)[7]提出的傳統(tǒng)迭代通量線方法相比，本文方法主要改進(jìn)“單極性模型求解”和“雙極性模型求解”這兩個(gè)環(huán)節(jié)。文獻(xiàn)[7]中方法在處理單根通量線上的邊值問(wèn)題時(shí)，同時(shí)求解全部差值節(jié)點(diǎn)上的未知量：?jiǎn)螛O性模型對(duì)應(yīng)3個(gè)未知量的最小二乘優(yōu)化問(wèn)題，雙極性模型對(duì)應(yīng)4個(gè)未知量的最小二乘優(yōu)化問(wèn)題。隨著差分節(jié)點(diǎn)數(shù)增加，計(jì)算時(shí)間會(huì)顯著增長(zhǎng)；同時(shí)作為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，對(duì)初值敏感，為使迭代穩(wěn)定快速收斂，傳統(tǒng)的迭代通量線方法需要估計(jì)沿線電荷密度，并以此作為迭代初值[16]。相較而言，本文方法利用遞推公式使未知量簡(jiǎn)化為流入邊界處的電荷密度：這樣單極性模型被轉(zhuǎn)化為一個(gè)單變量的優(yōu)化問(wèn)題；雙極性模型則被轉(zhuǎn)化為一個(gè)雙變量?jī)?yōu)化問(wèn)題。本文方法有效地減小了優(yōu)化問(wèn)題規(guī)模，未知數(shù)個(gè)數(shù)從34減小為1；同時(shí)算法的魯棒性也得到顯著提升，在不同的初值選取下都可以取得較好的收斂效果。

3 數(shù)值驗(yàn)證

3.1 雙極性單分裂模型

在圖3所示的±300kV高壓直流輸電線路模型中分別選取兩條通量線：一條起始于正極導(dǎo)線，終止于負(fù)極導(dǎo)線；另一條起始于正極導(dǎo)線，終止于地面。這兩條通量線分別對(duì)應(yīng)雙極性模型和僅考慮正極性空間電荷的單極性模型。

圖3 ±300kV高壓直流輸電線路結(jié)構(gòu)

表1中比較了在不同差分點(diǎn)數(shù)下兩種方法得到的正極性導(dǎo)線表面的電荷密度?？梢钥吹?，在單極性模型中，不同差分點(diǎn)數(shù)下文獻(xiàn)[7]方法和本文提出的方法得到的結(jié)果完全相同。

圖4 單極性模型下文獻(xiàn)[7]方法和低階通量線方法計(jì)算時(shí)間對(duì)比

表1 單極性模型下文獻(xiàn)[7]方法和低階通量線方法正極性導(dǎo)線表面電荷密度對(duì)比

Tab.1 Comparison of the ion density on the conductor surface between the existing method of Ref.[7] and the proposed low-order flux tracing method under the unipolar model

表2中分別對(duì)比了不同方法得到的雙極性模型中正極性導(dǎo)線表面的正電荷密度和負(fù)極性導(dǎo)線表面的負(fù)電荷密度。由于引入了不動(dòng)點(diǎn)迭代，在沿線的差分點(diǎn)數(shù)為40時(shí)，兩種方法得到的電荷密度存在3%的相對(duì)誤差，然而隨著點(diǎn)數(shù)增加，電荷密度趨于穩(wěn)定，兩種方法獲得的結(jié)果差別越來(lái)越小，點(diǎn)數(shù)為160時(shí)，相對(duì)誤差小于0.5%，即本文提出的低階方法具有和文獻(xiàn)[7]方法相同的精度。

圖5 雙極性模型下文獻(xiàn)[7]方法和低階通量線方法計(jì)算時(shí)間對(duì)比

表2 雙極性模型下文獻(xiàn)[7]方法和低階通量線方法導(dǎo)線表面正負(fù)電荷密度對(duì)比

Tab.2 Comparison of the positive and negative ion density on the conductor surface between the existing method of Ref.[7] and the proposed low-order flux tracing method under the bipolar model

3.2 雙極性六分裂模型

本節(jié)在幾何結(jié)構(gòu)更復(fù)雜的±800kV六分裂高壓直流輸電線路模型中對(duì)比了低階通量線方法和傳統(tǒng)通量線方法，線路幾何參數(shù)參見(jiàn)文獻(xiàn)[17]。每根子導(dǎo)線表面等間距繪制16根流線，每根流線上差分點(diǎn)數(shù)為300。外循環(huán)迭代兩次后計(jì)算結(jié)果趨于穩(wěn)定，文獻(xiàn)[7]方法耗時(shí)4 200s，而本文提出的低階方法耗時(shí)620s，僅為傳統(tǒng)方法的14.76%。

圖6和圖7分別比較了兩種方法得到的地面上場(chǎng)量和實(shí)際測(cè)量結(jié)果[17]?？梢钥吹剑墨I(xiàn)[7]方法和低階方法得到的地面上電場(chǎng)強(qiáng)度和離子流密度完全相同，且和測(cè)量結(jié)果吻合性良好，即驗(yàn)證本文方法在具有復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)模型下的正確性。

圖6 ±800kV高壓直流輸電線路地面電場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)比

圖7 ±800kV高壓直流輸電線路地面離子流密度對(duì)比

4 結(jié)論

本文提出一種基于遞推格式的低階通量線方法用于計(jì)算高壓直流輸電線路空間離子流場(chǎng)及合成電場(chǎng)，將傳統(tǒng)方法中涉及34個(gè)未知數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)化為單變量?jī)?yōu)化問(wèn)題，顯著減小問(wèn)題規(guī)模，進(jìn)而提高計(jì)算效率，同時(shí)使得問(wèn)題對(duì)初值的魯棒性大大提升。本文方法使得低階通量線方法在具有復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)的模型中的應(yīng)用成為可能。

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An Efficient and Robust Low-Order Iterative Flux Tracing Method for Calculating Ion Flow Field of HVDC Transmission Lines

1122

（1.State Key Laboratory of Power Grid Environmental Protection China Electric Power Research Institue Wuhan 430074 China 2. State Key Lab of Control and Simulation of Power Systems and Generation Equipment Department of Electrical Engineering Tsinghua University Beijing 100084 China）

The flux tracing method is widely applied to solve the ion-flow field problem of the HVDC transmission line model, which transforms the original boundary value problem into the least square problem along the flux line. In this paper, an improved flux tracing method is proposed. The multi-objective optimization problem in the original method has been simplified to a single-objective optimization problem by applying the recursion scheme. Numerical experiments show that the proposed method has significantly improved the efficient and stability, which can be effectively applied to ion-flow models with complex geometry structures.

Ion-flow field, total electric field, HVDC transmission lines, iterative flux tracing method

TM15

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.200081

國(guó)家自然科學(xué)基金（52077111）和電網(wǎng)環(huán)境保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金（GYW51201901089）資助項(xiàng)目。

2020-01-20

2020-05-05

張建功 男，1975年生，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)電磁兼容和電磁環(huán)境。E-mail: zhangjiangong@epri.sgcc.com.cn

鄒 軍 男，1971年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)殡姶艌?chǎng)理論及應(yīng)用。E-mail: zoujun@tsinghua.edu.cn（通信作者）

（編輯 陳 誠(chéng)）