侯九霄，朱海潮，毛榮富，袁蘇偉

（海軍工程大學(xué)船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430033）

0 引 言

擴(kuò)張式消聲器廣泛應(yīng)用于船舶管路系統(tǒng)，實(shí)際工程中受空間尺寸限制，其低頻吸聲效果有待提高。撓性接管具有較大的位移補(bǔ)償能力和優(yōu)良的隔振性能，前期研究主要集中在平衡性能[1-2]和振動(dòng)傳遞特性[3-4]。張維等[5]試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，撓性接管在中低頻段對線譜和寬頻帶噪聲都有一定的消聲效果。陳剛等[6]推導(dǎo)了撓性接管對管內(nèi)聲傳播速度的影響。對鼓型消聲器[7-8]和板式消聲器[9-11]的研究表明，利用聲波和彈性管壁的耦合作用，使管路內(nèi)的聲阻抗不連續(xù)而發(fā)生反射和散射作用，能夠降低下游的透射聲能。因此，將撓性接管和管路消聲器相結(jié)合，研究彈性壁擴(kuò)張式消聲器傳遞損失特性，對于抑制船舶管路系統(tǒng)噪聲的傳播具有重要意義。

為此，本文提出彈性壁擴(kuò)張式消聲器結(jié)構(gòu)模型，利用傳遞矩陣法將其劃分為三個(gè)聲學(xué)單元，基于模態(tài)疊加法和Kirchhoff-Helmholtz 積分公式建立彈性壁管段的結(jié)構(gòu)-聲耦合模型，利用Fourier-Galer?kin 方法進(jìn)行耦合方程的求解，推導(dǎo)出彈性壁擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失特性，并與傳統(tǒng)剛性壁擴(kuò)張式消聲器進(jìn)行比較，進(jìn)一步地分析管壁參數(shù)對消聲性能的影響，并利用有限元法對理論結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。此外，本文還提出彈性壁擴(kuò)張式消聲器的等效流體模型，簡化了傳遞損失特性的求解方法。

1 彈性壁擴(kuò)張式消聲器理論

1.1 傳遞矩陣模型

彈性壁擴(kuò)張式消聲器的模型如圖1（a）所示，撓性接管構(gòu)成了消聲器的腔壁。上下游管道的半徑為a，擴(kuò)張腔的半徑為b，長度為L。在入射平面波pi作用下，反射聲波為pr，透射聲波為pt。考慮到模型為軸對稱結(jié)構(gòu)，在入射平面波作用下，彈性管壁的響應(yīng)和內(nèi)部聲場成軸對稱分布。此時(shí)，三維模型可以簡化為二維軸對稱結(jié)構(gòu)如圖1（b）所示。

圖1 彈性壁擴(kuò)張式消聲器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Geometry of the expansion muffler with flexible walls

利用傳遞矩陣法將彈性壁擴(kuò)張式消聲器劃分為I、II和III三個(gè)聲學(xué)單元。設(shè)聲學(xué)單元I和III的傳遞矩陣分別為T1和T3，

式中，

1.2 彈性管壁的振動(dòng)響應(yīng)

圓柱形的彈性管壁在入射聲場p2i激勵(lì)作用下產(chǎn)生動(dòng)態(tài)響應(yīng)，由于結(jié)構(gòu)和入射聲場具有軸對稱性，因此彈性管壁的響應(yīng)也成軸對稱分布。為書寫簡便，下文中統(tǒng)一省略時(shí)間項(xiàng)ejωt。

依據(jù)Donnell-Mushtari薄殼理論，彈性管壁的軸對稱運(yùn)動(dòng)微分方程為

彈性管壁的兩端為簡支邊界條件，利用模態(tài)疊加法，彈性管壁的速度響應(yīng)可表示為

利用Fourier-Galerkin方法求解彈性壁的運(yùn)動(dòng)微分方程，還需要求解彈性管段內(nèi)部的輻射聲壓p2。

1.3 輻射阻抗

對于聲學(xué)單元II，管道內(nèi)部的Green函數(shù)為

式中，( r,z )為觀察點(diǎn)坐標(biāo)，( r',z' )為源點(diǎn)坐標(biāo)，Φn( r )、Λn和kzn分別為第n 階特征函數(shù)、模態(tài)質(zhì)量和軸向波數(shù)，

式中，Ji( krnr )為i階柱貝塞爾函數(shù)；krn為徑向模態(tài)波數(shù)，滿足J1( krnb )= 0。

利用Kirchhoff-Helmholtz積分公式，可得II空間的聲壓分布為

式中，n為彈性管壁的外法線方向。

將式（7）、（13）代入式（17），得

令r=b，求得彈性管壁位置的聲壓為

1.4 耦合方程求解和管內(nèi)聲場

將公式（22）代入式（9），得

求得彈性管壁的響應(yīng)為

可得管內(nèi)流體的質(zhì)點(diǎn)振速uII為

1.5 傳遞損失

則聲學(xué)單元II的傳遞矩陣T2為

式（28）包含四個(gè)未知量和兩個(gè)方程，還需要另外兩個(gè)條件才能求解。由于聲學(xué)單元II 具有結(jié)構(gòu)對稱性，依據(jù)互易原理可得

聯(lián)立式（28）～（29）可得聲學(xué)單元II的傳遞矩陣為

進(jìn)一步地，得到彈性壁擴(kuò)張式消聲器入口到出口的傳遞矩陣T為

求得彈性壁擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失為

2 理論模型的驗(yàn)證

2.1 模態(tài)數(shù)目截?cái)嗍諗啃则?yàn)證

利用模態(tài)疊加法求解彈性壁擴(kuò)張式消聲器傳遞損失，在實(shí)際計(jì)算過程中，分別截取前M階的結(jié)構(gòu)模態(tài)和前N階的管道聲模態(tài)。為確保求解結(jié)果的精確性，需要對模態(tài)數(shù)目截?cái)嗍諗啃赃M(jìn)行驗(yàn)證。設(shè)置彈性壁擴(kuò)張式消聲器的幾何參數(shù)與材料屬性如表1所示。

以前50 階結(jié)構(gòu)模態(tài)和管道模態(tài)計(jì)算結(jié)果為準(zhǔn)，構(gòu)建模態(tài)截?cái)嗾`差函數(shù)為

表1 彈性壁擴(kuò)張式消聲器的幾何參數(shù)與材料屬性Tab.1 Structural parameters and material properties of flexible expansion muffler

式中，[ f1,f2]為頻率范圍，本文主要關(guān)注[ 20,2 000 ]Hz 頻率范圍內(nèi)的彈性壁擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失特性。取M=N，得到模態(tài)截取誤差隨截?cái)嗄B(tài)階數(shù)的曲線如圖2 所示，隨著模態(tài)數(shù)目的增加，模態(tài)疊加法求解結(jié)果趨近一致。當(dāng)模態(tài)階數(shù)大于8 時(shí)，所得結(jié)果誤差已經(jīng)小于1%。綜合考慮計(jì)算成本，本文在計(jì)算彈性壁擴(kuò)張式消聲器傳遞損失時(shí)均選取前10階模態(tài)疊加的結(jié)果。

2.2 有限元驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文理論的準(zhǔn)確性，利用有限元方法對理論結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，選用COMSOL Multiphysics 中聲-殼耦合模塊，在結(jié)構(gòu)和聲場耦合面上滿足壓力連續(xù)和法向振速連續(xù)條件。求得彈性壁擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失曲線的理論結(jié)果與有限元結(jié)果如圖3所示。對比發(fā)現(xiàn)，在中低頻范圍內(nèi)，理論結(jié)果和有限元結(jié)果吻合良好；在高于1 500 Hz頻率范圍內(nèi)理論結(jié)果與有限元仿真結(jié)果在幅值上有些許偏差，原因在于前文所使用傳遞矩陣法為平面波假設(shè)條件，在高頻范圍內(nèi)彈性壁擴(kuò)張式管路消聲器中產(chǎn)生高次波，因而基于平面波假設(shè)的求解結(jié)果會帶來一定的偏差。

圖2 模態(tài)數(shù)目截?cái)嗾`差曲線Fig.2 Convergence of transmission loss with different numbers of modes

圖3 理論結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果的對比Fig.3 Comparison of transmission loss between theoretical results and FEM results

圖4 為采用有限元方法計(jì)算得到的在1 400 Hz 彈性壁擴(kuò)張式消聲器內(nèi)聲場的切片圖，此時(shí)，管道內(nèi)出現(xiàn)高次波的傳播形式。

2.3 與剛性擴(kuò)張式消聲器的對比

在相同尺寸條件下，對比彈性壁擴(kuò)張式消聲器與現(xiàn)有的剛性擴(kuò)張式消聲器消聲特性，設(shè)置彈性壁擴(kuò)張式消聲器的幾何參數(shù)與材料屬性如表1所示。對比彈性壁擴(kuò)張式消聲器與現(xiàn)有的剛性擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失曲線如圖5所示。

圖4 1 400 Hz彈性壁擴(kuò)張式消聲器內(nèi)部聲壓云圖Fig.4 Sound pressure in expansion muffler with flexible walls at 1 400 Hz

圖5 彈性壁擴(kuò)張式消聲器與剛性擴(kuò)張式消聲器的對比Fig.5 Comparison of TL between flexible and rigid expansion mufflers

可以發(fā)現(xiàn)，相較剛性壁擴(kuò)張式消聲器，彈性壁擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失曲線的峰值得到了提高。同時(shí)，通過頻率向低頻移動(dòng)，低頻消聲性能得到了提升。

3 彈性管壁參數(shù)的影響

3.1 彈性模量

選取管壁材料的彈性模量分別為E1=10 GPa、E2=30 GPa 和E3=210 GPa，密度為ρ=1 200 kg/m3，得到不同彈性模量對彈性壁擴(kuò)張式消聲器傳遞損失的影響如圖6 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著彈性模量的降低，彈性壁擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失曲線進(jìn)一步地向低頻移動(dòng)。由此可見，管壁采用撓性接管以后，并且選用較小的彈性模量，對于提高擴(kuò)張式消聲器的低頻消聲器性能有利。

3.2 密度

選取管壁材料的密度分別為ρ1=1 200 kg/m3、ρ2=2 700 kg/m3和ρ3=7 800 kg/m3，彈性模量為E=30 GPa，得到密度對彈性壁擴(kuò)張式消聲器傳遞損失的影響如圖7 所示。可以發(fā)現(xiàn)，增大管壁材料的密度會使彈性壁擴(kuò)張式消聲器傳遞損失曲線向低頻方向移動(dòng)，然而，對低頻消聲性能影響不大。

圖6 管壁彈性模量對消聲器傳遞損失的影響Fig.6 Influence of elastic modulus of the flexible pipe on transmission loss

圖7 管壁密度對消聲器傳遞損失的影響Fig.7 Influence of density of the flexible pipe on transmission loss

3.3 阻尼

實(shí)際中彈性管壁為有阻尼結(jié)構(gòu)，此時(shí)，用Lηs2替代原有的背腔結(jié)構(gòu)特征參數(shù)Ls2，

選取管壁材料的彈性模量為E=30 GPa，密度為ρ=1 200 kg/m3，對比不同阻尼系數(shù)對彈性壁擴(kuò)張式消聲器傳遞損失的影響如圖8 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著阻尼系數(shù)的增加，彈性壁擴(kuò)張式消聲器在通過頻率處的傳遞損失得到了提高，對于提高消聲器寬頻范圍的消聲性能有利。

圖8管壁阻尼對消聲器傳遞損失的影響Fig.8 Influence of damping factor of the flexible pipe on transmission loss

4 等效流體模型

前文基于Green 函數(shù)和Kirchhoff-Helmholtz 積分公式，得到彈性壁擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失。為簡化計(jì)算，根據(jù)文獻(xiàn)[6]對撓性接管內(nèi)等效聲速的計(jì)算方法，忽略管壁的振動(dòng)，將聲學(xué)單元II近似為內(nèi)部充有聲速為ce的等效流體介質(zhì)的直管段。依據(jù)Korteweg波速公式，聲學(xué)單元II的流體等效聲速為

式中：c0為自由空間水介質(zhì)中的聲速；K=2.06×109Pa 為水介質(zhì)的體積彈性系數(shù)；C 為修正系數(shù)，在兩端均為彈性支撐條件下，C=1。此時(shí)，聲學(xué)單元II的等效傳遞矩陣為

圖9 等效流體法與有限元計(jì)算結(jié)果的對比Fig.9 Comparison of TL between equivalent fluid method and FEM results

式中，ke= ω/ce。將式（37）代入式（32）得到整個(gè)彈性壁擴(kuò)張式消聲器的傳遞矩陣，聯(lián)立式（33）可以得到采用等效流體模型法彈性壁擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失。

同樣選用表1 所示的幾何參數(shù)與材料屬性，采用等效流體模型法得到彈性壁擴(kuò)張式消聲器與有限元仿真結(jié)果如圖9所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，在低頻范圍內(nèi)，等效流體模型法和有限元法結(jié)果吻合良好；在800 Hz以上范圍內(nèi)等效流體模型結(jié)果偏差較大，原因在于等效流體法雖然考慮了管壁彈性對管內(nèi)介質(zhì)聲速的影響，卻沒包含有限長管壁結(jié)構(gòu)振動(dòng)的影響。不過，在低頻范圍分析時(shí)等效流體法在取得滿意精度的同時(shí)，極大簡化了求解過程。

5 結(jié) 論

本文提出了彈性壁擴(kuò)張式消聲器結(jié)構(gòu)模型，采用傳遞矩陣法將圓形管道彈性壁擴(kuò)張式消聲器分為三個(gè)聲學(xué)單元，基于Green 函數(shù)和Kirchhoff-Helmholtz 積分公式建立其聲學(xué)理論模型，并研究了管壁參數(shù)的影響。基于等效流體模型，得到彈性壁擴(kuò)張式消聲器傳遞損失的近似解法。利用有限元法對理論結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，得到以下結(jié)論：

（1）相較傳統(tǒng)剛性壁擴(kuò)張式消聲器，彈性壁擴(kuò)張式消聲器傳遞損失曲線的峰值得到了提高，同時(shí)向低頻移動(dòng)，低頻消聲性能得到了提升。采用本文給出的彈性管壁參數(shù)條件，擴(kuò)張式消聲器的最大消聲量從13 dB提高至18 dB，共振頻率從600 Hz降低至350 Hz。

（2）隨著彈性模量的降低，彈性壁擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失曲線進(jìn)一步地向低頻移動(dòng)；增大管壁材料的密度使彈性壁擴(kuò)張式消聲器傳遞損失曲線向低頻方向移動(dòng)，然而，對低頻消聲性能影響不大；阻尼系數(shù)的增加，彈性壁擴(kuò)張式消聲器在通過頻率處的傳遞損失得到了提高，對于提高消聲器寬頻范圍的消聲性能有利。

（3）采用等效流體模型法近似求解彈性壁擴(kuò)張式消聲器的傳遞損失特性，在0～900 Hz 范圍內(nèi)能夠取得滿意的精度，同時(shí)簡化了求解過程。