劉 美 紐春萍 姬忠校 刁兆煒 牛立壯

（1. 西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，西安 710049；2. 電力設(shè)備電氣絕緣國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（西安交通大學(xué)），西安 710049）

0 引言

光纖電流傳感器（all-fiber optical current transformer, FOCT）是在安培環(huán)路定理和法拉第磁光效應(yīng)的基礎(chǔ)上開(kāi)發(fā)出來(lái)的，與傳統(tǒng)互感式電流傳感器相比，其主要特點(diǎn)為抗電磁干擾能力強(qiáng)、相對(duì)輕巧，而且能夠適應(yīng)數(shù)字化的要求，更符合智能電網(wǎng)的發(fā)展趨勢(shì)[1]。

光纖電流傳感器的噪聲水平直接決定信號(hào)檢測(cè)過(guò)程中信噪比（signal noise ratio, SNR）的大小，影響其信噪比的主要因素包括光路噪聲與電路噪聲，對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪是必不可少的一個(gè)步驟，由此衍生出許多關(guān)于FOCT 的去噪技術(shù)。模態(tài)分解降噪具有自適應(yīng)的特點(diǎn)，常見(jiàn)的有經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（empirical mode decomposition, EMD）、局部均值分解（local mean decomposition, LMD）。但同時(shí)這些方法也存在一些問(wèn)題，例如，EMD 不僅缺乏完整的數(shù)學(xué)證明，而且存在模態(tài)混疊問(wèn)題；同樣，LMD 也存在模態(tài)混疊，而且計(jì)算量大，會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的滯后[2]。

2014 年，K. Dragomiretskiy 等人[3]提出了變分模態(tài)分解（variational mode decomposition, VMD）。VMD 具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)模型和堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，且能夠克服EMD 和LMD 中頻率混疊等缺點(diǎn)，具有更優(yōu)的噪聲濾除效果。

傳統(tǒng)VMD 濾波一般采用局部重構(gòu)法，即將包含信號(hào)有效成分的相關(guān)模態(tài)進(jìn)行重構(gòu)，將不相關(guān)模態(tài)當(dāng)作噪聲去除。在仿真的基礎(chǔ)上，本文改進(jìn)傳統(tǒng)VMD，引入消除趨勢(shì)波分析（detrended fluctuation analysis, DFA）選取VMD 最佳分解層數(shù)，運(yùn)用互信息法（mutual information, MI）篩選出含噪聲較大的非相關(guān)模態(tài)，并對(duì)非相關(guān)模態(tài)進(jìn)行小波濾波，然后進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，以確保在去噪的同時(shí)最大化地保留有用信號(hào)。最后通過(guò)仿真比較本文方法和傳統(tǒng)VMD、EMD、LMD 的信噪比（signal-noise ratio,SNR）及最小方均根誤差（root-mean-square error,RMSE），定量地得到不同方法的去噪效果。

1 FOCT 基本原理和噪聲特性

FOCT 的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1 所示[4]。被測(cè)導(dǎo)體穿過(guò)傳感光纖圈，傳感光纖中偏振光的角度受被測(cè)導(dǎo)體磁場(chǎng)的影響而發(fā)生改變，此即光傳感單元的作用。經(jīng)過(guò)光電探測(cè)器，光信號(hào)轉(zhuǎn)換為電信號(hào)，經(jīng)過(guò)前置放大器、A-D 轉(zhuǎn)換器和數(shù)字解調(diào)輸出后得到被測(cè)導(dǎo)體電流值。由其測(cè)量原理可知，影響傳感器輸出信噪比的主要因素包括光路噪聲與電路噪聲。

圖1 FOCT 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

光路噪聲主要在光的傳遞過(guò)程中產(chǎn)生，比如光纖的瑞利散射噪聲、偏振噪聲等，以及在光電轉(zhuǎn)換過(guò)程中產(chǎn)生的，比如探測(cè)器的光子散粒噪聲等。這些噪聲可以用均值為零的白色高斯噪聲來(lái)近似表示。電路噪聲主要在前置放大器、A-D 轉(zhuǎn)換器、解調(diào)過(guò)程中產(chǎn)生，比如電阻熱噪聲、量化噪聲等[5]。這些噪聲能用1/f分形噪聲和白色高斯噪聲來(lái)模擬。

降低噪聲的影響主要通過(guò)改善光路性能實(shí)現(xiàn)，如提高光源發(fā)光功率和采用過(guò)調(diào)制技術(shù)來(lái)抑制，或采用模擬電路濾波和算法濾波技術(shù)。本文提出的方法是通過(guò)算法濾波來(lái)抑制噪聲，從而提高信噪比。

2 VMD 原理

假設(shè)原始信號(hào)f分解成K個(gè)IMF 分量，則對(duì)應(yīng)的約束變分模型為

式中：ωk為模態(tài)分量的中心頻率，k=1, 2, 3, …,K，K是確定的模態(tài)分解個(gè)數(shù)；uk為第k個(gè)模態(tài)分量。

VMD 的目的是找尋以上約束變分問(wèn)題的最佳解答，因此引進(jìn)兩個(gè)系數(shù)，分別為二次懲罰因子α和Lagrange 乘法算子λ(t)，因而獲得的增廣Lagrange表達(dá)式如下[4]：

VMD 的算法流程：

1）初始化u1k、ω1k、λ1和n為0。

2）n=n+1，開(kāi)始整個(gè)算法的循環(huán)。

3）根據(jù)式（1）和式（2）更新uk和kω，其中k從1 開(kāi)始一直循環(huán)到K。

4）按式（3）更新λ。

5）給定判定精度e＞0，若滿足判定表達(dá)式

則迭代終止，否則返回步驟2）。

3 基于VMD 的去噪原理

3.1 VMD 分層

通過(guò)上述計(jì)算，可得到K個(gè)VMD 分解模態(tài)，為了得到合適的分解層數(shù)K，本文采用消除趨勢(shì)波分析來(lái)確定[6]。DFA 能夠通過(guò)計(jì)算時(shí)間序列長(zhǎng)程相關(guān)性而達(dá)到去除不同階外來(lái)趨勢(shì)的目的，能得到序列本身的統(tǒng)計(jì)行為特性[7]。DFA 通過(guò)計(jì)算標(biāo)度指數(shù)α，得到K與α的關(guān)系為[8]

式中：K為分解層數(shù)；αK為每個(gè)模態(tài)分量的標(biāo)度指數(shù)，對(duì)于高斯白噪聲，一般αK取0.5；閾值θ=αK+0.25；J為模態(tài)分量的標(biāo)度指數(shù)大于閾值的個(gè)數(shù)，有

式中，α0為輸入信號(hào)的標(biāo)度指數(shù)[9]。

3.2 相關(guān)模態(tài)的選擇

關(guān)于VMD 去噪的應(yīng)用，主要采用局部重構(gòu)法，即將包含信號(hào)有效成分的相關(guān)模態(tài)進(jìn)行重構(gòu)，將不相關(guān)模態(tài)當(dāng)作噪聲去除，本文采用互信息法（MI）進(jìn)行不相關(guān)模態(tài)的篩選。

互信息的計(jì)算公式為

式中：p(x)、p(y)為兩個(gè)變量的邊緣概率分布；p(x,y)為它們的聯(lián)合概率分布。從計(jì)算公式可以看出，MI的作用為表示兩個(gè)變量的相關(guān)程度。若其MI 值較大，則相關(guān)性大，反之則小[10]。

計(jì)算各模態(tài)與原信號(hào)的互信息MIi，并做歸一化處理，即

式中：MIi為第i個(gè)模態(tài)與原信號(hào)的互信息；λi為第i個(gè)模態(tài)的歸一化互信息；λm為歸一化互信息平均值。若λi＞λm，則認(rèn)為該分量為有效分量，否則予以剔除[11]。

4 不相關(guān)模態(tài)處理

利用互信息法篩選出不相關(guān)模態(tài)后，對(duì)于光纖電流傳感器來(lái)說(shuō)，不相關(guān)模態(tài)與原信號(hào)的互信息值雖小于平均值，但是仍然大于零，說(shuō)明其中含有有用信號(hào)，直接去除會(huì)導(dǎo)致部分有用信號(hào)丟失，因此本文對(duì)不相關(guān)模態(tài)進(jìn)行小波變換降噪后重構(gòu)，這樣能在充分去噪的情況下最大程度地保留有用信號(hào)。

對(duì)于任意的函數(shù)f(t)∈L2(R)的連續(xù)小波變換為[12]

其逆變換為

式中：a為伸縮因子；b為平移因子?？梢酝ㄟ^(guò)改變這兩個(gè)系數(shù)而對(duì)時(shí)頻窗進(jìn)行調(diào)節(jié)[13]。

Symlets 小波是常見(jiàn)的一類小波基函數(shù)，能夠靈活變換尺度，其強(qiáng)大的時(shí)域和頻域局部化能力能準(zhǔn)確地闡述問(wèn)題細(xì)節(jié)，同時(shí)由于其時(shí)域和頻域的局部化能力較強(qiáng)，能夠有效減少信號(hào)重構(gòu)時(shí)的相移，符合本文信號(hào)去噪所需要的特性[14]。故本文選擇8 階Symlets 小波（即sym8）來(lái)完成對(duì)不相關(guān)信號(hào)的去噪，并且細(xì)節(jié)系數(shù)選用sure 閾值模式和尺度噪聲。

5 算法流程和濾波效果

5.1 算法流程

首先，利用DFA 得到VMD 的分解層數(shù)K，然后進(jìn)行VMD，根據(jù)互信息法篩選出相關(guān)模態(tài)和非相關(guān)模態(tài)，對(duì)含噪聲量較大的非相關(guān)模態(tài)采用sym8小波變換進(jìn)行去噪，最后將去除噪聲后的非相關(guān)模態(tài)和相關(guān)模態(tài)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，得到去噪之后的有用信號(hào)。本文去噪流程如圖2 所示。

5.2 仿真去噪分析

1）階躍直流信號(hào)仿真去噪分析

為了檢驗(yàn)本文提出方法的去噪效果，利用Matlab 對(duì)模擬電流信號(hào)進(jìn)行去噪處理。首先模擬階躍電流信號(hào)，假設(shè)電路中始終存在信噪比為20 的高斯噪聲η，信號(hào)為

利用本文方法對(duì)直流信號(hào)進(jìn)行去噪，經(jīng)過(guò)計(jì)算，VMD 分解層數(shù)為3，其中IMF1為相關(guān)模態(tài)，IMF2和IMF3為不相關(guān)模態(tài)，VMD 波形如圖3 所示。

圖2 去噪流程

圖3 模擬直流信號(hào)VMD 波形

對(duì)模擬直流信號(hào)分別進(jìn)行傳統(tǒng) VMD 重構(gòu)、EDM 重構(gòu)、LMD 重構(gòu)去噪，分別得到如圖4 所示去噪后的波形。

圖4 模擬直流信號(hào)VMD、EMD、LMD 重構(gòu)去噪后的波形

從圖4 可以看出，對(duì)于突變的直流信號(hào)，LMD由于頻率混疊的問(wèn)題，在信號(hào)突變及其突變以后的時(shí)刻會(huì)出現(xiàn)較大的失真；EMD 的殘余量能反映電流的趨勢(shì)，但是響應(yīng)時(shí)間較長(zhǎng)；而VMD 重構(gòu)去噪相對(duì)來(lái)說(shuō)經(jīng)過(guò)一個(gè)緩沖的上升過(guò)程，能較為有效地對(duì)階躍信號(hào)進(jìn)行去噪。對(duì)分解后的VMD 不相關(guān)模態(tài)，即IMF2和IMF3進(jìn)行sym8 小波濾波后與第一模態(tài)進(jìn)行重構(gòu)，計(jì)算RMSE 和SNR，與傳統(tǒng)VMD、EMD、LMD 的去噪效果進(jìn)行比較，見(jiàn)表1。

表1 模擬直流信號(hào)、交流信號(hào)去噪效果對(duì)比

2）交流信號(hào)仿真去噪分析

根據(jù)國(guó)標(biāo)GB/T 14549—93《電能質(zhì)量：公用電網(wǎng)諧波》，在標(biāo)稱電壓為10kV 的線路中，注入公共連接點(diǎn)的諧波電流，3 次諧波和5 次諧波占允許諧波的大部分。

本文模擬混合有3 次諧波和5 次諧波及高斯噪聲的交流信號(hào)y，即

式中：x(t) 為頻率為50Hz 幅值為1 的工頻交流信號(hào)；x1(t) 為幅值為0.1 的3 次諧波信號(hào)；x2(t) 為幅值為0.1 的5 次諧波信號(hào)；η為信噪比為20 的高斯噪聲。

利用本文方法對(duì)交流信號(hào)進(jìn)行去噪，經(jīng)過(guò)計(jì)算，VMD 分解層數(shù)為3，其中IMF1為相關(guān)模態(tài)，IMF2和IMF3為不相關(guān)模態(tài)，VMD 波形如圖5 所示。

圖5 模擬交流信號(hào)VMD 波形

對(duì)模擬交流信號(hào)分別進(jìn)行傳統(tǒng) VMD 重構(gòu)、EDM 重構(gòu)、LMD 重構(gòu)去噪，分別得到如圖6 所示去噪后的波形。

圖6 模擬交流信號(hào)VMD、EMD、LMD 重構(gòu)去噪后的波形

由圖6 可以看出，三種分解均存在一定程度的畸變，但是VMD 的圖形最接近工頻交流信號(hào)。計(jì)算RMSE 和SNR，與傳統(tǒng)VMD、EMD、LMD 的去噪效果進(jìn)行比較，見(jiàn)表1。

從表1 可以看到，當(dāng)對(duì)直流信號(hào)進(jìn)行去噪處理時(shí)，由于所加的電流為一個(gè)階躍信號(hào)，在信號(hào)突變的瞬間信號(hào)頻率發(fā)生極大的變化，EMD 和LMD 能夠處理的信號(hào)頻率帶寬較小，對(duì)于階躍信號(hào)無(wú)法進(jìn)行有效去噪，從而出現(xiàn)失真現(xiàn)象，因此其得到的信號(hào)RMSE 較大、SNR 較小。而VMD 則能夠?qū)﹄A躍信號(hào)進(jìn)行有效處理，去噪后的信號(hào)再經(jīng)過(guò)小波處理，得到去噪后的信號(hào)RMSE 較小、SNR 較大。當(dāng)對(duì)交流信號(hào)進(jìn)行去噪處理時(shí)，可以看到干擾信號(hào)為3 次、5 次諧波信號(hào)和高斯噪聲，LMD 自適應(yīng)分解部分采取局部均值平滑篩選方式對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解，EMD 采用包絡(luò)線均值殘差分解，對(duì)頻率相近的交流信號(hào)分解效果差，而VMD 能克服此缺陷，對(duì)交流信號(hào)的去噪效果較好。

6 結(jié)論

本文提出了一種結(jié)合小波的VMD 去噪方法，該方法利用DFA 和互信息法來(lái)提高VMD 的準(zhǔn)確度，并進(jìn)一步結(jié)合sym8 小波去噪，改善了VMD 去噪的效果。通過(guò)仿真對(duì)此方法進(jìn)行了驗(yàn)證，并和傳統(tǒng)VMD、EMD、LMD 去噪效果進(jìn)行比較，根據(jù)各種去噪結(jié)果的RMSE 值和SNR 值可證明，本文的方法能有效提高光纖電流傳感器輸出信號(hào)的信噪比。