張明菊，仇麗青

（山東科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，山東青島 266590）

0 引言

謠言在信息傳播中普遍存在，它的傳播對人們生活有著深刻影響［1-3］。隨著信息時(shí)代的到來，人們越來越容易接觸到謠言，謠言的影響力也越來越大。破壞性謠言往往會(huì)引起社會(huì)恐慌，甚至造成巨大的經(jīng)濟(jì)損失［4-6］。因此，研究社交網(wǎng)絡(luò)中謠言的傳播規(guī)律，了解謠言信息的傳播機(jī)理具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

謠言傳播模型可用來闡述許多現(xiàn)象，如信息傳播、病毒式營銷、流行病或突發(fā)事件引起的恐慌等［7-10］。隨著信息技術(shù)的發(fā)展，在線社交網(wǎng)絡(luò)規(guī)模不斷擴(kuò)大，許多學(xué)者基于網(wǎng)絡(luò)的現(xiàn)實(shí)對謠言傳播模型進(jìn)行了研究。Yu 等［11］基于小世界網(wǎng)絡(luò)建立了謠言傳播模型，發(fā)現(xiàn)謠言傳播存在臨界閾值；Hui 等［12］、Wang 等［13］使用隨機(jī)方法分析了無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上謠言傳播的動(dòng)力學(xué)；馬宇紅等［14］提出了新的SHIR 謠言傳播模型，證明謠言傳播范圍與個(gè)體的從眾效應(yīng)相關(guān)；瞿倩倩等［15］研究了謠言傳播者的信謠程度及感染力度，得出高謠言信度能加快謠言傳播的速度；Li 等［16］提出一種帶有教育機(jī)制的謠言傳播模型，發(fā)現(xiàn)教育機(jī)制影響謠言的傳播過程，并提出最優(yōu)控制方法來優(yōu)化教育機(jī)制；Zhu 等［17］提出一種新的帶有強(qiáng)制沉默功能的謠言傳播模型，研究減少謠言傳播頻率的最優(yōu)控制方法。針對網(wǎng)絡(luò)上信息傳播的時(shí)滯特點(diǎn)，Zhu 等［18］在均勻網(wǎng)絡(luò)和異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)上建立了I2S2R謠言傳播模型，基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論提出有效的謠言傳播控制策略；Jain 等［19］對經(jīng)典的SIR 模型進(jìn)行擴(kuò)展，研究了社交網(wǎng)絡(luò)中考慮傳播者影響延遲的謠言傳播模型，為進(jìn)一步研究謠言信息傳播提供參考。

盡管上述模型越來越接近謠言傳播的本質(zhì)特征，但卻忽略了謠言免疫者本身的屬性。隨著時(shí)間的推移，免疫者會(huì)逐漸忘記謠言信息，當(dāng)再次遇到傳播者時(shí)，受謠言信息的吸引，免疫者會(huì)再次成為傳播者。因此，免疫者的遺忘機(jī)制應(yīng)該考慮。此外，由于謠言的吸引力和對最初事實(shí)了解的缺陷，謠言傳播在初始階段應(yīng)該是較高的，然后逐漸下降。Qiu 等［20］在社交網(wǎng)絡(luò)中研究了考慮傳播率變化的謠言傳播模型，但忽略了未知者的懷疑特征。因此，本文考慮未知者本身具有的懷疑機(jī)制和免疫者的遺忘機(jī)制，建立SIR-CM 謠言傳播模型，并在WS 和BA 網(wǎng)絡(luò)中研究了SIRCM 模型的傳播過程，同時(shí)通過數(shù)值仿真分析了懷疑概率和遺忘概率對謠言傳播過程和最終規(guī)模的影響。

1 SIR-CM 謠言傳播模型概述

1.1 SIR-CM 傳播謠言過程

本文建立具有懷疑機(jī)制的SIR-CM 謠言傳播模型。假設(shè)一個(gè)具有個(gè)N個(gè)體的社交網(wǎng)絡(luò)，其中個(gè)體表示節(jié)點(diǎn)，個(gè)體之間的聯(lián)系表示邊，可以得到一個(gè)無向圖G（V，E），其中V表示節(jié)點(diǎn)集合，E表示邊集合。本文假設(shè)謠言是通過傳播節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)直接接觸傳播的，將個(gè)體分為傳播者（S）、未知者（I）和免疫者（R）3 組，分別表示未接受到謠言信息的人、接受并傳播謠言信息的人和接收到謠言信息但不散播謠言的人。SIR-CM 模型傳播規(guī)則及其表達(dá)式如圖1 所示。

Fig.1 The structure of SIR-CM rumor spreading model圖1 SIR-CM 謠言傳播模型結(jié)構(gòu)

（1）當(dāng)未知節(jié)點(diǎn)（I）與傳播節(jié)點(diǎn)（S）接觸時(shí)，未知節(jié)點(diǎn)有3 種行為：①由于受到傳播節(jié)點(diǎn)的影響，未知節(jié)點(diǎn)在不知情的情況以λ的傳播概率轉(zhuǎn)化為傳播節(jié)點(diǎn)；②當(dāng)傳播節(jié)點(diǎn)影響較小時(shí)，未知節(jié)點(diǎn)在接收到謠言信息時(shí)會(huì)對謠言產(chǎn)生懷疑并以c的懷疑概率轉(zhuǎn)化為傳播節(jié)點(diǎn)；③當(dāng)未知節(jié)點(diǎn)對接收到的謠言信息不感興趣時(shí)，會(huì)以概率σ轉(zhuǎn)化為免疫節(jié)點(diǎn)。

（2）當(dāng)傳播節(jié)點(diǎn)（S）與免疫節(jié)點(diǎn)（R）或其他傳播節(jié)點(diǎn)接觸時(shí)，該傳播節(jié)點(diǎn)會(huì)以α的抑制概率轉(zhuǎn)化為免疫節(jié)點(diǎn)。

（3）隨著時(shí)間的推移，免疫節(jié)點(diǎn)（R）會(huì)逐漸忘記謠言信息，當(dāng)再次遇到傳播節(jié)點(diǎn)（S）時(shí)免疫節(jié)點(diǎn)會(huì)以γ的遺忘概率再次轉(zhuǎn)化為傳播節(jié)點(diǎn)。

1.2 SIR-CM 模型建立

為描述SIR-CM 模型的動(dòng)力學(xué)特性，建立SIR-CM 模型動(dòng)力學(xué)方程。

分別用S（t）、I（t）、R（t）表示t時(shí)刻未知節(jié)點(diǎn)、傳播節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)的密度，構(gòu)建謠言傳播模型的平均場方程如下：

其中，k表示網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)度的平均值。λk和ck表示在兩種不同的心理下未知節(jié)點(diǎn)遇到傳播節(jié)點(diǎn)被感染的概率，σk表示未知節(jié)點(diǎn)遇到傳播節(jié)點(diǎn)時(shí)成為免疫節(jié)點(diǎn)的概率，γk表示免疫節(jié)點(diǎn)遇到傳播節(jié)點(diǎn)被感染的概率，αk表示傳播節(jié)點(diǎn)遇到免疫節(jié)點(diǎn)或其他傳播節(jié)點(diǎn)時(shí)變?yōu)槊庖吖?jié)點(diǎn)的概率。由于網(wǎng)絡(luò)中只存在未知者、傳播者、免疫者3 種狀態(tài)節(jié)點(diǎn)，因此三者的密度滿足條件：S(t) +I(t) +R(t)=1。

假設(shè)在謠言傳播的初始階段網(wǎng)絡(luò)中只有一個(gè)謠言傳播節(jié)點(diǎn)，因而可以得到SIR-CM 謠言傳播模型的初始條件：

為更好地理解傳播概率作用，本文引入一個(gè)概率函數(shù)λ（t）來描述隨時(shí)間變化的傳播率，同時(shí)為未知者和免疫者分別建立懷疑參數(shù)c和遺忘參數(shù)γ。由于謠言本身的吸引力和個(gè)體對謠言信息知識領(lǐng)域的匱乏，在謠言傳播的初始階段傳播速率較高。隨著時(shí)間的推移，個(gè)體會(huì)逐步了解謠言信息的真實(shí)狀況并進(jìn)行真?zhèn)闻袛?，此時(shí)傳播率會(huì)逐步下降并最終降至零。因此，本文引入傳播概率函數(shù)來表示這一規(guī)律，其函數(shù)形式如下：

其中，μ 表示初始傳播概率，θ 表示隨時(shí)間下降的速度，β 表示較高傳播率的持續(xù)時(shí)間。可以看出，當(dāng)β=0時(shí)，λ（t）=μ 為常數(shù)。

2 SIR-CM 謠言傳播模型分析

謠言的最終規(guī)?？捎脕砗饬恐{言的影響程度。使用式（1）和式（3）計(jì)算謠言的最終規(guī)模，即最終接收到謠言信息的個(gè)體總數(shù)。本文將謠言的最終規(guī)模定義為R=limt→T R(T)=R(T)，其中T表示謠言消失的最終時(shí)間，如R=0.8 表示有80%的個(gè)體最終都接收到了謠言信息。

為了確定R，本文將式（3）除以式（1），得到：

對式（5）兩邊從初始t=0 到最終t=T積分，并利用初始條件可得：

公式（6）可簡化為：

對公式（7）兩邊取e的對數(shù)，得到超越方程：

定理1如果φ＞1，超越方程R－1+e-φR=0 有兩個(gè)解：零解和非零解R，其中0＜R＜1。

證明：顯然，R=0 為式（10）的一個(gè)解。令f(x)=x-1+e-φx，其中0＜x＜1，φ＞1，可以看出函數(shù)f是一個(gè)連續(xù)可微的函數(shù)。對于?x∈（0，1），可得f’（x）=1－φe-φx。當(dāng)x0=時(shí)，可得f’（x0）=0。將x0代入f（x）可得f(x0)=＜0，同時(shí)f（1）=e-φ＞0。由中值定理可知f（x）=0 有非零解。這意味著對于φ＞1，存在一個(gè)x*=R使得f（x*）=0，其中0＜x0＜x*＜1。

除此之外，對f求兩階導(dǎo)數(shù)可得f’’（x）=φ2e-φx＞0。通過觀察，函數(shù)f在（0，1）之間是一個(gè)凹函數(shù)。此外，圖2 表明存在x0屬于（0，1）使得f’（x）＜0，此時(shí)x∈（0，x0）。同樣可以得到當(dāng)x∈（x0，1）時(shí)，f’（x）＞0。這表明f’（1）f’（0）＜0，即f’（0）f’（1）=（1－φ）（1－φe-φ）＜0，最終證明φ＞1。

根據(jù)定理1 可知，超越方程（8）有零解R=0。與此同時(shí)，滿足以下條件：

可以看出，公式（8）有其他關(guān)于參數(shù)α，λ，c和γ 的解，因此可以得出本文所提出的SIR-CM 模型不存在謠言傳播閾值。

3 數(shù)值仿真

為了研究社交網(wǎng)絡(luò)中傳播、懷疑和遺忘機(jī)制對謠言傳播的影響，本文分別在BA 網(wǎng)絡(luò)和WS 網(wǎng)絡(luò)中對SIR-CM 模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)過程中，WS 網(wǎng)絡(luò)和BA 網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)N=105，平均度k=6 及隨機(jī)重連接概率p=0.1。模擬過程中，未知節(jié)點(diǎn)的免疫概率σ=0.2，傳播節(jié)點(diǎn)的抑制概率α=0.4。實(shí)驗(yàn)結(jié)果均為隨機(jī)選取不同初始傳播節(jié)點(diǎn)并進(jìn)行50次獨(dú)立模擬的平均值。

3.1 三類節(jié)點(diǎn)隨時(shí)間變化情況

本文設(shè)置模型參數(shù)：μ=0.5，θ=2，β=5，c=0.3，σ=0.2，α=0.4，γ=0.03，研究WS 和BA 網(wǎng)絡(luò)中未知節(jié)點(diǎn)、傳播節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)的密度隨時(shí)間的變化情況。

圖2（a）和圖2（b）分別顯示W(wǎng)S 和BA 網(wǎng)絡(luò)中未知節(jié)點(diǎn)（I）、傳播節(jié)點(diǎn)（S）和免疫節(jié)點(diǎn)（R）隨時(shí)間的密度變化情況。通過圖3 可以看出，未知節(jié)點(diǎn)的密度I（t）在初始階段迅速下降至0，表明謠言在網(wǎng)絡(luò)中處于快速傳播階段。隨著節(jié)點(diǎn)開始傳播謠言，傳播節(jié)點(diǎn)的密度S（t）不斷增大，當(dāng)達(dá)到最高點(diǎn)后逐步下降至0，這意味著謠言傳播的終止。當(dāng)謠言信息傳播值到達(dá)頂峰后不會(huì)再有新的傳播節(jié)點(diǎn)，并且之前傳播謠言信息的個(gè)體也會(huì)逐漸停止傳播。在整個(gè)過程中，免疫節(jié)點(diǎn)的密度R（t）不斷增大直到穩(wěn)態(tài)。通過比較圖2（a）和2（b），發(fā)現(xiàn)BA 網(wǎng)絡(luò)中的傳播節(jié)點(diǎn)密度高于WS 網(wǎng)絡(luò)中傳播節(jié)點(diǎn)密度，BA 網(wǎng)絡(luò)要早于WS 網(wǎng)絡(luò)到達(dá)峰值。BA 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先連接的特性（馬太效應(yīng)）造成了謠言對BA 網(wǎng)絡(luò)的影響大于WS 網(wǎng)絡(luò)。

3.2 遺忘概率g 對傳播節(jié)點(diǎn)免疫節(jié)點(diǎn)的影響

假設(shè)遺忘概率分別為γ=0.02，γ=0.04，γ=0.06，在這3 種情況下對WS 和BA 網(wǎng)絡(luò)中傳播節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)的密度變化情況進(jìn)行研究。

圖3（a）和圖3（b）顯示了不同遺忘率γ 下的傳播節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)隨時(shí)間的密度變化情況，其中：μ=0.5，θ=2，β=5，c=0.3，σ=0.2，α=0.4。由模擬情況可以看出，γ=0.02時(shí)傳播節(jié)點(diǎn)密度最小，γ=0.06 時(shí)傳播節(jié)點(diǎn)密度最大，表明遺忘率γ越大傳播節(jié)點(diǎn)密度越大，免疫節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為傳播節(jié)點(diǎn)的速度越快，因此遺忘概率對謠言傳播的影響不可忽視。圖3 同時(shí)反映了這樣一種現(xiàn)象：遺忘概率越大，謠言受到的關(guān)注度就越大，個(gè)體很容易忘記謠言信息并轉(zhuǎn)化為傳播節(jié)點(diǎn)，從而導(dǎo)致謠言傳播的時(shí)間越久，謠言的峰值越大。

Fig.3 The influence of forgetting probability γ on Spreader（S）and Removed（R）圖3 遺忘概率γ 對傳播者（S）和免疫者（R）的影響

3.3 傳播概率l 對免疫節(jié)點(diǎn)的影響

設(shè)置傳播概率函數(shù)λ(t)中的參數(shù)分別為μ=0.3，μ=0.5，μ=0.8，θ=2，θ=5，θ=8，β=3，β=5，β=8，研究在這幾種情況下WS 和BA 網(wǎng)絡(luò)中免疫節(jié)點(diǎn)的密度變化情況。

為研究傳播概率的時(shí)間依賴性，本文引入傳播概率函數(shù)λ(t)。隨時(shí)間變化的傳播概率函數(shù)λ(t)=的3 個(gè)參數(shù)（μ，θ和β）分別表示初始傳播概率、隨時(shí)間下降的速度和維持高傳播率的持續(xù)時(shí)間。圖4 給出λ 在不同取值情況下WS 和BA 網(wǎng)絡(luò)中免疫節(jié)點(diǎn)的密度變化情況，其中：c=0.3，σ=0.2，α=0.4，γ=0.03。圖4（a）顯示免疫節(jié)點(diǎn)的密度隨著初始傳播率μ的增大而增大。初始傳播率越大，初始時(shí)刻謠言信息的傳播速度越快，傳播規(guī)模就越大；圖4（b）顯示，免疫節(jié)點(diǎn)的密度隨著θ的增大而增大，且θ對WS 網(wǎng)絡(luò)中免疫節(jié)點(diǎn)密度的影響要大于BA 網(wǎng)絡(luò)；由圖4（c）可以看出，參數(shù)β會(huì)對謠言免疫節(jié)點(diǎn)的最終密度有影響，β越大謠言最終規(guī)模也越大。因此，為了有效地控制謠言傳播，應(yīng)盡早識別謠言源和謠言信息真?zhèn)危越档椭{言的初始傳播率和傳播速度。

Fig.4 The variation curve of Removed（R）of μ，θ，β as time t changes圖4 隨著μ，θ，β 的不同，免疫者R 隨時(shí)間t 的變化曲線

3.4 未知節(jié)點(diǎn)的懷疑概率c 對傳播過程的影響

圖5 給出了懷疑概率參數(shù)c取不同值時(shí)，傳播節(jié)點(diǎn)和免疫節(jié)點(diǎn)在WS 和BA 網(wǎng)絡(luò)中隨時(shí)間的變化情況。其中：μ=0.5，θ=2，β=5，σ=0.2，α=0.4，γ=0.03。由圖5（a）可以看出，懷疑概率c越小，傳播節(jié)點(diǎn)的密度越小，免疫節(jié)點(diǎn)到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時(shí)間越晚。這表明懷疑概率越小，未知個(gè)體對謠言的關(guān)注度越低，未知節(jié)點(diǎn)成為傳播節(jié)點(diǎn)的概率越小。網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)越難感染，信息傳播就越慢，趨于穩(wěn)定的時(shí)間也越長；圖5（b）表明，謠言在BA 無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的傳播速度更快，影響范圍更廣。因此，如果要控制謠言信息的傳播范圍，應(yīng)該考慮如何降低謠言關(guān)注度和提高個(gè)體安全意識，使謠言信息能夠在可控范圍內(nèi)傳播。

Fig.5 The influence of skepticism mechanism c on Spreader（S）and Removed（R）圖5 懷疑機(jī)制c 對傳播者（S）和免疫者（R）的影響

3.5 SIR-CM 模型和SIR 模型比較

圖6 顯示W(wǎng)S 網(wǎng)絡(luò)和BA 網(wǎng)絡(luò)中免疫節(jié)點(diǎn)的密度變化情況。在謠言傳播初始階段，由于考慮了未知節(jié)點(diǎn)的免疫特征，部分未知節(jié)點(diǎn)在接觸到傳播節(jié)點(diǎn)后會(huì)直接轉(zhuǎn)化為免疫節(jié)點(diǎn)，此時(shí)SIR-CM 中的免疫節(jié)點(diǎn)密度要大于SIR 模型中的免疫節(jié)點(diǎn)密度。隨著謠言的進(jìn)一步傳播，由于免疫節(jié)點(diǎn)遺忘特征的存在，謠言信息傳播的范圍減小，SIR-CM 模型相比于SIR 模型需要更多的時(shí)間達(dá)到穩(wěn)態(tài)。事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)社交網(wǎng)絡(luò)中的部分個(gè)體在得知謠言信息后會(huì)因?yàn)閷χ{言信息不感興趣成為免疫者，然而由于不斷與其他個(gè)體接觸和交流，其中一些個(gè)體可能會(huì)重新成為新的信息分享者。因此，SIR-CM 模型更接近現(xiàn)實(shí)情況。

Fig.6 Comparison of SIR-CM model and SIR model圖6 SIR-CM 模型和SIR 模型比較

4 結(jié)語

本文提出了一種新的SIR-CM 謠言傳播模型，模型主要特點(diǎn)如下：①考慮了社交網(wǎng)絡(luò)中謠言傳播概率的時(shí)間依賴性，并引入傳播概率函數(shù)λ(t)；②將未知者的懷疑機(jī)制整合到SIR-CM 模型中；③引入遺忘概率描述免疫者自身的遺忘機(jī)制。通過該研究發(fā)現(xiàn)免疫者遺忘概率的變化會(huì)對謠言傳播的規(guī)模產(chǎn)生影響，遺忘概率越大，謠言的傳播峰值越大。數(shù)值結(jié)果還表明：謠言的初始傳播概率越大，謠言的最終規(guī)模越大。通過對懷疑參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析發(fā)現(xiàn)，通過減小個(gè)體對謠言的關(guān)注度可以降低謠言的影響。對SIR-CM 模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，得到模型參數(shù)對謠言信息傳播峰值和最終規(guī)模的影響，從而通過采取各種措施對有效傳播進(jìn)行控制，為決策者提供謠言政策管理建議。