朱 青，周石鵬

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海 200093）

0 引言

改革開放以來，中國是同期世界上經(jīng)濟(jì)發(fā)展最快的國家，經(jīng)濟(jì)實(shí)現(xiàn)了持續(xù)高速增長，成為世界第二大經(jīng)濟(jì)體。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，探索使用大數(shù)據(jù)和機(jī)器學(xué)習(xí)的方法改進(jìn)宏觀經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)和趨勢成為研究熱點(diǎn)，包括對國民經(jīng)濟(jì)GDP（Gross Domestic Product，GDP）預(yù)測問題的研究。本文通過對經(jīng)濟(jì)因素的綜合考量，選用GDP 增速作為經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢的重要評價(jià)指標(biāo)。

GDP 增速反映經(jīng)濟(jì)發(fā)展趨勢，與人民生活水平息息相關(guān)。根據(jù)中國國家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，中國經(jīng)濟(jì)經(jīng)過多年的高速增長后，2015 年GDP 增速為6.9%，2016-2018 年增速分別為6.7%、6.8%和6.6%。2019 年GDP 增速為6.1%，是近年來最大的一次經(jīng)濟(jì)增速下降。因此，精準(zhǔn)預(yù)測GDP 增速對宏觀經(jīng)濟(jì)目標(biāo)的可行性和有效性分析具有重要影響。

1 相關(guān)研究

國內(nèi)外對宏觀變量的預(yù)測方法包括兩大類：利用模型預(yù)測和主觀判斷性預(yù)測。模型預(yù)測主要是時(shí)間序列方法和機(jī)器學(xué)習(xí)方法［1-3］。李娜等［4］利用ARIMA 模型對國民經(jīng)濟(jì)GDP 進(jìn)行預(yù)測研究，表明了ARIMA 模型在GDP 預(yù)測方面的優(yōu)良性；Wang&Shang［5］、Wang 等［6］將改進(jìn)SVM 模型應(yīng)用于股票預(yù)測，表明改進(jìn)SVM 模型在預(yù)測方面的有效性。對經(jīng)濟(jì)進(jìn)行主觀預(yù)測的如美國聯(lián)邦儲備委員會，在確定貨幣政策之前，研究人員對美國經(jīng)濟(jì)走勢提供主觀預(yù)測，被稱為綠皮書預(yù)測。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，機(jī)器學(xué)習(xí)算法和組合模型越來越多地應(yīng)用于預(yù)測分析。王曉飛等［7］將時(shí)間序列模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行組合以預(yù)測PM2.5。傳統(tǒng)時(shí)間序列方法，其缺點(diǎn)是要求時(shí)序數(shù)據(jù)穩(wěn)定，并對復(fù)雜的非線性系統(tǒng)擬合能力較差，且容易發(fā)生多重共線性，預(yù)測精度不夠準(zhǔn)確。目前，GDP 增速預(yù)測模型主要是單一的時(shí)間序列模型，本文從兩個(gè)方面對GDP 增速預(yù)測模型進(jìn)行改進(jìn)。一是基礎(chǔ)模型選取，運(yùn)用機(jī)器學(xué)習(xí)模型進(jìn)行GDP 增速預(yù)測。機(jī)器學(xué)習(xí)算法包括隨機(jī)森林（Random Forest，RF）［8］、支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM）［9-10］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和集成算法［11-13］等。機(jī)器學(xué)習(xí)模型能夠模擬非線性可分?jǐn)?shù)據(jù)，計(jì)算效率和準(zhǔn)確率更高。機(jī)器學(xué)習(xí)問題求解流程如圖1 所示，模型訓(xùn)練過程如圖2 所示。選取機(jī)器學(xué)習(xí)3 個(gè)經(jīng)典模型作為基礎(chǔ)模型進(jìn)行建模研究：①回歸模型：Ridge 回歸；②集成算法：XGBoost 模型；③神經(jīng)網(wǎng)路：LSTM 網(wǎng)絡(luò)。二是增加預(yù)測模型維度，提高預(yù)測精度。本文使用二維組合模型對GDP 增速進(jìn)行預(yù)測，通過誤差倒數(shù)法計(jì)算權(quán)重，對獨(dú)立模型進(jìn)行加權(quán)組合，對誤差較小的模型賦予較大權(quán)重，從而可以得到誤差更小的預(yù)測值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的LSTM-XGBoost 二維組合模型的預(yù)測精度均高于單一模型預(yù)測精度。

Fig.1 Process of machine learning problem solving圖1 機(jī)器學(xué)習(xí)問題求解流程

Fig.2 Model training process圖2 模型訓(xùn)練過程

2 嶺回歸預(yù)測模型構(gòu)建

嶺回歸（Ridge Regression）是Hoerl 等［14］提出的一種改進(jìn)的最小二乘估計(jì)方法。從數(shù)學(xué)形式上看，嶺回歸是在最小二乘估計(jì)的基礎(chǔ)上，向離差平方和增加一個(gè)L2 范數(shù)。

多元線性回歸模型可表示為：

其中，y 為因變量，X為自變量（或者為多變量矩陣形式），β為回歸系數(shù)，ε為誤差。

參數(shù)β的最小二乘估計(jì)是：

當(dāng)X不是列滿置，XT X的行列式又接近于0，即XT X接近于奇異，此時(shí)在計(jì)算(XT X)-1時(shí)會出錯(cuò)。嶺回歸就是在矩陣XT X上加一個(gè)I，從而使得矩陣非奇異，進(jìn)而能對I求逆。此時(shí)，回歸系數(shù)β的計(jì)算公式將變成：

其中，λ是用戶定義的數(shù)值。λ越大，消除共線性影響效果越好，但擬合精度越低；λ越小，擬合精度越高，消除共線性影響越差［15］。

3 XGBoost 回歸預(yù)測模型構(gòu)建

XGBoost（eXtreme Gradient Boosting）算法是基于回歸樹的提升算法［16］，其基礎(chǔ)樹結(jié)構(gòu)為分類回歸樹［17］（Classification and Regression Tree，CART）。XGBoost 算法已在眾多預(yù)測領(lǐng)域取得了較好效果［18-21］，其模型參數(shù)值如表1 所示。

以下給出回歸樹數(shù)學(xué)定義和XGBoost 模型數(shù)學(xué)推導(dǎo)，如無特別聲明，均引自參考文獻(xiàn)［16］。

對于給定的n個(gè)樣本，m個(gè)特征的數(shù)據(jù)集D={(xi,yi)}，其中|D|=n，xi∈?m，yi∈?。樹集成模型通過k個(gè)加性函數(shù)預(yù)測輸出。

?={f(x)=wq(x)} 是 回 歸 樹 空 間，其 中q:?m→T∣,w∈?T是將數(shù)據(jù)映射到葉子結(jié)點(diǎn)的函數(shù)，T為樹葉子節(jié)點(diǎn)的標(biāo)簽集，fk(xi)是第k棵CART 樹的預(yù)測輸出。

損失函數(shù)? 如式（5）所示。

其中：

第t次迭代的損失函數(shù)如式（7）所示。

接下來，找到一個(gè)ft能最小化目標(biāo)函數(shù)。XGBoost 的思想是將上述目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行二階泰勒展開，移除高階無窮小項(xiàng)，得出的目標(biāo)函數(shù)為：

其中，gi、hi分別為損失函數(shù)在t-1 次迭代的預(yù)測值處的一次和二次偏導(dǎo)。

由于在第t輪時(shí)，t-1 輪的結(jié)果已知，在第t次迭代中得到更精簡的目標(biāo)函數(shù)。

定義好分裂候選集合Ij={i∣q(xi)=j}，進(jìn)一步改進(jìn)目標(biāo)函數(shù)。

Table 1 Parameter values of XGBoost model表1 XGBoost 模型參數(shù)值

4 LSTM 網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型構(gòu)建

4.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一般由輸入層、隱藏層和輸出層組成。圖3表示一個(gè)3 層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。從左至右，第一層為輸入層，輸入向量為[x1,x2,x3]；第二層為帶有4 個(gè)節(jié)點(diǎn)的隱藏層；第三層為輸出層，輸出向量為[y1,y2]。

4.2 LSTM 網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型

LSTM（Long Short Term Memory，LSTM）是RNN 的一種改進(jìn)網(wǎng)絡(luò)。如圖4 所示，LSTM 的單元結(jié)構(gòu)由4 部分組成，分別是輸入門（input gate）、輸出門（output gate）、記憶單元（memory cell）和遺忘門（forget gate）。LSTM 網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)值如表2 所示。

Fig.3 Neural network model圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

Fig.4 LSTM unit structure圖4 LSTM 單元結(jié)構(gòu)

Table 2 Parameter values of LSTM network model表2 LSTM 網(wǎng)絡(luò)模型參數(shù)值

LSTM 各過程具體運(yùn)算如下：

其中，式（16）中ft為遺忘門輸出，表示保留多少信息（1代表完全保留，0 代表完全舍棄），σ表示sigmoid 函數(shù)，Wf是遺忘門的權(quán)重矩陣，[ht-1,xt]表示將兩個(gè)向量拼接成一個(gè)更長的向量，bf是遺忘門的偏置項(xiàng)。式（17）中，Wi是輸入門的權(quán)重矩陣，bi是輸入門的偏置項(xiàng)。式（18）和（19）中，Wc記憶單元權(quán)重矩陣，bc是記憶單元偏置項(xiàng)。表示當(dāng)前輸入的單元狀態(tài)，Ct表示當(dāng)前時(shí)刻的單元狀態(tài)，Ct-1表示上一次的單元狀態(tài)。式（20）中，Wo為輸出門權(quán)重矩陣，bo為輸出門偏置項(xiàng)，Ot為輸出門輸出。式（21）中，ht為輸出門輸出結(jié)果。

Adam 算法［22］如下：

Require：步長?；

Require：矩估計(jì)的指數(shù)衰減速率，ρ1和ρ2在區(qū)間[0,1)內(nèi)；

Require：用于數(shù)值穩(wěn)定的小常數(shù)δ；

Require：初始參數(shù)θ；

初始化一階和二階矩變量s=0,r=0；

初始化時(shí)間步長t=0；

while 沒有達(dá)到停止準(zhǔn)則do

5 二維組合預(yù)測模型構(gòu)建

通過誤差倒數(shù)法對模型進(jìn)行加權(quán)組合，計(jì)算公式為：

其中，wk是權(quán)值參數(shù)，fi是組合模型對樣本i的預(yù)測結(jié)果，fki是第k個(gè)模型的預(yù)測值。ε1是模型1 的預(yù)測誤差，ε2是模型2 的預(yù)測誤差。從式（22）—式（24）可以看出，對誤差大的模型會賦予較小的權(quán)重系數(shù)，從而使組合模型誤差更小，達(dá)到提升預(yù)測精度的效果［23］。

6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

6.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

數(shù)據(jù)來源：國家統(tǒng)計(jì)局、快易理財(cái)網(wǎng)。本文采用1980-2018 年時(shí)間段6 個(gè)宏觀變量共39 條數(shù)據(jù)。1 個(gè)因變量：GDP 增速（%）。5 個(gè)自變量：外匯儲備（億美元）、人口增長率（%）、M2/GDP（%）、財(cái)政收入（億元）和貨物進(jìn)出口總額（億元）。

數(shù)據(jù)特點(diǎn)：

（1）數(shù)據(jù)間具有時(shí)序關(guān)系。利用過去的信息預(yù)測未來經(jīng)濟(jì)情況。

（2）數(shù)據(jù)樣本較少。從改革開放以來，國家有完整明確的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)年份并不多。

（3）數(shù)據(jù)樣本值變化大。中國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展具有階段性特征，20 世紀(jì)八九十年代經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，但生產(chǎn)技術(shù)不高；改革開放階段，中國經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展；經(jīng)過30 多年的增長期后，中國經(jīng)濟(jì)進(jìn)入平穩(wěn)發(fā)展階段。

Fig.5 Distribution of GDP growth圖5 GDP 增速分布

Fig.6 Data distribution圖6 數(shù)據(jù)分布

數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化：

其中，μ表示均值，σ表示標(biāo)準(zhǔn)差。本文對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，經(jīng)過處理的數(shù)據(jù)符合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即均值為0，方差為1 的正態(tài)分布。本文先對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，再將標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)用于模型訓(xùn)練和預(yù)測，需將預(yù)測結(jié)果進(jìn)行反標(biāo)準(zhǔn)化后，才能與實(shí)際數(shù)據(jù)作比較。

6.2 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

本實(shí)驗(yàn)所使用開發(fā)語言為Python 語言3.7 版本。實(shí)驗(yàn)中使用Python 提供的科學(xué)計(jì)算庫，主要包括Numpy、Pandas、Matplotlib、Sklean 等。本文所使用的開發(fā)環(huán)境為PyCharm。

6.3 實(shí)驗(yàn)評價(jià)指標(biāo)

為了驗(yàn)證機(jī)器學(xué)習(xí)回歸模型對預(yù)測GDP 增速的準(zhǔn)確性，本文對數(shù)據(jù)集中的GDP 增速進(jìn)行預(yù)測實(shí)驗(yàn)，并將預(yù)測結(jié)果與其他模型得出的結(jié)果進(jìn)行比較，比如AR（Auto Regressive Model，AR）、MA（Moving Average Model，MA）、ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average Model，ARIMA）模型，如圖7-圖9 所示。實(shí)驗(yàn)選用均方根誤差（root mean square error，RMSE）作為各模型預(yù)測性能的主要評價(jià)指標(biāo)，平均絕對誤差（MAE）和平均絕對誤差百分比（Mean Absolute Percentage Error，MAPE）作為輔助評價(jià)指標(biāo)。通過3 個(gè)指標(biāo)體現(xiàn)模型訓(xùn)練精度及泛化性能。

其中，y代表樣本真實(shí)值?代表樣本預(yù)測值，m為樣本數(shù)據(jù)數(shù)量。

Fig.7 Comparison of prediction results of Ridge，XGBoost and LSTM圖7 Ridge、XGBoost 與LSTM 預(yù)測結(jié)果對比

Fig.8 Comparison of prediction results of LSTM-Ridge，LSTM-XGBoost and XGBoost-Ridge圖8 LSTM-Ridge、LSTM-XGBoost 與XGBoost-Ridge預(yù)測結(jié)果對比

從預(yù)測結(jié)果（見表3—表5）可以看出，3 種算法的3 種評價(jià)指標(biāo)預(yù)測結(jié)果表現(xiàn)一致，單一模型預(yù)測誤差的排序是LSTM＜XGBoost＜Ridge，組合模型預(yù)測誤差的大致排序是LSTM-XGBoost＜LSTM-Ridge＜XGBoost-Ridge。組合模型XGBoost-Ridge 表現(xiàn)較差，整體上，機(jī)器學(xué)習(xí)的單一模型和組合模型的預(yù)測效果優(yōu)于傳統(tǒng)時(shí)序模型，非線性回歸模型整體優(yōu)于線性回歸模型。LSTM-XGBoost 組合模型的擬合效果最好，誤差最小，可以達(dá)到2.122 的誤差，XGBoost-Ridge 回歸誤差較大，約為5.542。XGBoost 和LSTM 預(yù)測結(jié)果相近，LSTM 結(jié)果略優(yōu)于XGBoost，LSTM 模型在處理時(shí)序問題上有著良好表現(xiàn)，本文數(shù)據(jù)量偏小，可能無法凸顯LSTM 的優(yōu)勢。隨著數(shù)據(jù)集的增加，LSTM 的優(yōu)勢更加明顯，預(yù)測精度會進(jìn)一步提高。

Table 3 Comparison of RMSE，MAE and MAPE in single regression model表3 單一回歸模型RMSE、MAE 及MAPE 對比

Fig.9 Comparison of prediction results of AR，MA and ARIMA圖9 AR、MA 與ARIMA 預(yù)測結(jié)果對比

Table 4 Comparison of RMSE，MAE and MAPE表4 組合模型RMSE、MAE 及MAPE 對比

Table 5 Comparison of traditional time series models RMSE，MAE and MAPE表5 傳統(tǒng)時(shí)序模型RMSE、MAE 及MAPE 對比

7 結(jié)語

本文提出LSTM-XGBoost 二維組合模型對GDP 增速進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果表明該組合模型在宏觀經(jīng)濟(jì)預(yù)測中具有較高應(yīng)用價(jià)值。通過研究機(jī)器學(xué)習(xí)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用，得出如下結(jié)論：①從XGBoost-Ridge 組合模型中可以得出，并非所有組合模型優(yōu)于單一模型，模型的正確選擇有利于預(yù)測精度提升；②本文的誤差倒數(shù)法存在一定改善空間，誤差計(jì)算方法是預(yù)測值減去真實(shí)值，誤差值有正有負(fù)，使用誤差的絕對值或者誤差的平方形式計(jì)算權(quán)重能進(jìn)一步提高預(yù)測精度。后續(xù)研究中，可結(jié)合大數(shù)據(jù)等平臺，探索機(jī)器學(xué)習(xí)模型應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)預(yù)測的其他可能性。