王慧霞，郭潤蘭，趙 強(qiáng)，黃 華

(蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730000)

0 引 言

隨著航空、航天等技術(shù)的飛速發(fā)展，對渦輪葉片、船用整體葉輪、火箭發(fā)動機(jī)噴管等高性能復(fù)雜曲面零件的需求越來越大，而這類零件的多軸數(shù)控精密加工技術(shù)成為工業(yè)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)[1]。

為了保證復(fù)雜曲面零件的高性能，對其輪廓精度的要求越來越高。以航空發(fā)動機(jī)葉片為例，如果輪廓精度得不到保證，將嚴(yán)重影響航空發(fā)動機(jī)的安全性和可靠性，從而可能引發(fā)災(zāi)難性的航空事故[2]。然而，數(shù)控機(jī)床動態(tài)特性的限制，導(dǎo)致的輪廓誤差，成為影響高性能復(fù)雜曲面零件加工精度的重要因素。輪廓誤差是指機(jī)床在多軸輪廓跟蹤任務(wù)中，從機(jī)床實(shí)際運(yùn)動位置到所需曲面輪廓的正交異性距離，是由伺服滯后、動力學(xué)失配、外部干擾等因素引起的。減小輪廓誤差對于提高數(shù)控系統(tǒng)的性能，實(shí)現(xiàn)高速、高精度加工具有重要意義。

因此，對降低多軸數(shù)控加工中輪廓誤差的研究有重要的理論意義和應(yīng)用價值。

自20世紀(jì)80年代以來，為了減少多軸數(shù)控加工中的輪廓誤差，研究人員對此進(jìn)行了大量的研究。在三軸數(shù)控加工中，特別是在二維輪廓跟蹤任務(wù)中，已經(jīng)出現(xiàn)了許多減小輪廓誤差的方法，主要有離線方法、插值器設(shè)計(jì)、跟蹤控制器、交叉耦合方法、集成方法等。這些方法可歸為兩大類：(1)間接減小法；(2)直接減小法。

間接減小法主要是通過減小所有進(jìn)給軸的跟蹤誤差，間接地減小輪廓誤差；如零相誤差跟蹤控制[3]、自適應(yīng)控制[4]、滑?？刂芠5]、迭代學(xué)習(xí)控制[6]等。這些控制方法對于單軸的跟蹤誤差有很好的抑制效果，其中迭代學(xué)習(xí)控制(iterative learning control, ILC)由于不要求有確切的受控對象模型，并且在模型參數(shù)變化時，仍然可以通過迭代學(xué)習(xí)使位置輸出軌跡實(shí)現(xiàn)高精度的跟蹤，在眾多方法中脫穎而出。然而，雖然輪廓誤差是由單軸跟蹤誤差引起的，但單軸跟蹤誤差的減小并不一定能確保輪廓誤差得到減小，經(jīng)常出現(xiàn)曲線上一個點(diǎn)的跟蹤誤差大于另一個點(diǎn)的跟蹤誤差，但輪廓誤差卻比其小的現(xiàn)象。因此，僅采取間接減小法并不能確保輪廓精度得到提升。

為解決該問題，直接減小法應(yīng)運(yùn)而生。KOREN Y[7]在1980年首次提出了一種交叉耦合控制(cross-coupling control, CCC)方法，成為了目前直接抑制輪廓誤差的主流方法。由于單軸控制命令不僅由其自身的輸出決定，而且還取決于其他軸的輸出，被稱為交叉耦合控制。自CCC問世后，許多研究者將CCC設(shè)計(jì)成多種形式進(jìn)行輪廓誤差的抑制。如CHEN S Y[8]將CCC與PID控制進(jìn)行結(jié)合，李小力等[9]將CCC與自適應(yīng)控制進(jìn)行結(jié)合，等等；證明了CCC對于多軸運(yùn)動控制時直接減小輪廓誤差有很好的抑制效果。

綜上所述，ILC跟蹤控制對于減小單軸跟蹤誤差的效果優(yōu)越，但對于多軸運(yùn)動控制時輪廓誤差的減小效果一般；而CCC則對于多軸運(yùn)動控制時，直接減小輪廓誤差有很好的效果，卻不能減小單軸的跟蹤誤差。

因此，為了使輪廓加工精度達(dá)到最佳，本文結(jié)合ILC和CCC的優(yōu)點(diǎn)，引入交叉耦合和迭代學(xué)習(xí)來建立兩軸間的協(xié)調(diào)關(guān)系，以及減小單軸跟蹤誤差，通過設(shè)計(jì)的變增益交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制器，使數(shù)控機(jī)床進(jìn)給伺服系統(tǒng)可以根據(jù)輪廓誤差模型計(jì)算出輪廓誤差在各軸的分量，并通過一定的增益比例補(bǔ)償?shù)礁鱾€軸；同時，迭代學(xué)習(xí)控制器不斷修正各軸的控制信號，使輪廓誤差不斷降低，最終達(dá)到使加工產(chǎn)品輪廓加工精度提高的目的。

1 進(jìn)給伺服系統(tǒng)模型

對系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究時，必須先得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。本文參考文獻(xiàn)[10，11]整理的數(shù)控機(jī)床進(jìn)給伺服系統(tǒng)建模方法，對數(shù)控機(jī)床進(jìn)給伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行簡化整理，得到其中x軸的數(shù)學(xué)模型為：

(1)

式中：KP—比例系數(shù)；KV—積分系數(shù)；J—轉(zhuǎn)動慣量；B—粘性摩擦。

在數(shù)控機(jī)床進(jìn)給伺服系統(tǒng)中，其他軸通常具有與上述x軸相同的數(shù)學(xué)模型，因此此處不再討論。

1.1 學(xué)習(xí)控制器的設(shè)計(jì)

由于迭代學(xué)習(xí)控制適用于具有重復(fù)運(yùn)動屬性的受控對象，ILC可以在一定的時間間隔內(nèi)，完成對跟蹤軌跡完全追蹤的任務(wù)[12]。

迭代學(xué)習(xí)控制原理如圖1所示。

圖1 迭代學(xué)習(xí)控制原理圖xi(t)—x軸的位置輸入；xk-1(t)—控制系統(tǒng)進(jìn)行第k-1次迭代時的位置輸出；xk(t)—控制系統(tǒng)進(jìn)行第k次迭代時的位置輸出；uk-1(t)—第k-1次迭代時輸入的控制信號；uk(t)—第k次迭代時輸入的控制信號；uk+1(t)—第k+1次迭代時輸入的控制信號；ek-1(t)—第k-1次系統(tǒng)的跟隨誤差；ek(t)—第k次系統(tǒng)的跟隨誤差

在圖1中，其學(xué)習(xí)過程為：第k次的控制信號uk(t)存到存儲器里，并在第k+1次迭代時，與第k+1次產(chǎn)生的跟隨誤差一起構(gòu)造出新的控制信號uk+1(t)，也就是系統(tǒng)產(chǎn)生的跟隨誤差被ILC控制器處理后，得到新的控制信號，在下一次迭代時再反饋給系統(tǒng)；通過不斷地學(xué)習(xí)，跟隨誤差不斷地減小，當(dāng)誤差減小到設(shè)定的值時，則停止迭代計(jì)算。

采用P型迭代學(xué)習(xí)控制律，學(xué)習(xí)律表示如下：

uk+1(t)=uk(t)+Γek+1(t)

(2)

ek+1(t)=xd(t)-xk+1(t)

(3)

式中：xd(t)—理想輸入軌跡；ek+1(t)—跟隨誤差；?！獙W(xué)習(xí)增益；xk+1(t)—第k+1次迭代時的位置輸出。

對公式(2)(3)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到：

uk+1(s)=uk(s)+Γek+1(s)

(4)

ek+1(s)=xd(s)-xk+1(s)

(5)

依據(jù)圖1及公式(4)(5)可以得到：

xk+1(s)=Gv(s)uk+1(s)

(6)

由公式(4)(5)(6)可以推出相鄰兩次誤差之間的關(guān)系：

ek(s)=(1+Gv(s)Γ)ek+1(s)

(7)

公式(7)變形后可以得到：

(8)

(9)

收斂性得到證明。

1.2 單軸迭代學(xué)習(xí)控制器誤差仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的單軸迭代學(xué)習(xí)控制器對于減小跟蹤誤差的效果，此處利用MATLAB/Simulink環(huán)境搭建了系統(tǒng)控制模型，以進(jìn)行仿真驗(yàn)證。給定位置跟蹤信號為一復(fù)雜軌跡：xd(t)=0.1t+0.5sin(t)，設(shè)置系統(tǒng)總的仿真時長為2 s，仿真步長為0.1。

仿真實(shí)驗(yàn)采用的電機(jī)仿真參數(shù)和學(xué)習(xí)增益如表1所示。

表1 仿真參數(shù)和學(xué)習(xí)增益

經(jīng)過仿真，獲得進(jìn)給伺服系統(tǒng)在P型閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制律下跟蹤期望軌跡的迭代過程，如圖2所示。

圖2 伺服系統(tǒng)在P型閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制律下跟蹤期望軌跡的迭代過程

圖2是單軸迭代學(xué)習(xí)控制器的仿真結(jié)果，圖2中除了期望軌跡，還保留了第1、5、8、10次的迭代結(jié)果。從伺服系統(tǒng)在P型閉環(huán)迭代學(xué)習(xí)控制律下跟蹤期望軌跡的迭代過程圖，以及圖2中的標(biāo)記部位放大圖，可以明顯看出：隨著系統(tǒng)迭代次數(shù)的增加，系統(tǒng)的實(shí)際輸出軌跡逐漸接近期望輸出軌跡，達(dá)到了對期望軌跡的良好跟蹤效果。

為了能更清楚地顯示系統(tǒng)的迭代輸出誤差是否隨著迭代次數(shù)的增多而最終收斂到零，此處給出了10次迭代過程中，最大絕對誤差與迭代次數(shù)關(guān)系曲線圖如圖3所示。

圖3 10次迭代過程中最大絕對誤差與迭代次數(shù)

從圖3中可以發(fā)現(xiàn)：系統(tǒng)在10次迭代過程中，初次迭代時，由于系統(tǒng)輸出還不收斂，出現(xiàn)了較大的誤差；然而隨著系統(tǒng)迭代次數(shù)的不斷增多，系統(tǒng)輸出軌跡的最大絕對誤差在逐步減?。辉诘降?0次時，系統(tǒng)在t∈[0,2]時間段內(nèi)輸出的最大絕對誤差基本收斂到零。

因此，據(jù)關(guān)系曲線圖可以證明，所設(shè)計(jì)的單軸迭代學(xué)習(xí)控制器能有效降低系統(tǒng)的跟隨誤差。

2 交叉耦合控制器設(shè)計(jì)

2.1 變增益交叉耦合控制器

上述設(shè)計(jì)的迭代學(xué)習(xí)控制器可以很好地降低單軸的跟蹤誤差。但是，僅僅通過減小單軸的跟蹤誤差，并不能確保多軸系統(tǒng)的輪廓誤差得到了良好的抑制。因?yàn)?，?dāng)系統(tǒng)進(jìn)行多軸運(yùn)動控制時，運(yùn)動軸之間的匹配性較差，輪廓加工精度也會降低。因此，使用輪廓誤差指標(biāo)評價多軸系統(tǒng)的輪廓加工精度性能，比使用跟蹤誤差作為評價指標(biāo)更為準(zhǔn)確。

Koren提出的交叉耦合控制可以直接消除多軸運(yùn)動系統(tǒng)的輪廓誤差。其基本控制原理是：多軸運(yùn)動系統(tǒng)的輪廓誤差，由各單軸的跟蹤誤差經(jīng)過實(shí)時輪廓誤差估計(jì)模型計(jì)算得到，經(jīng)過交叉耦合控制器的作用產(chǎn)生一個新的控制信號，再經(jīng)過輪廓誤差分配模型補(bǔ)償?shù)礁鬏S，以消除每個軸對其他軸的影響，進(jìn)而達(dá)到提高多軸運(yùn)動系統(tǒng)輪廓加工精度的目的。目前，將交叉耦合控制器輸出的輪廓誤差補(bǔ)償控制量分配給各運(yùn)動軸的方式中，最常用的有3種：(1)等增益誤差分配方法；(2)比例誤差分配方法；(3)變增益誤差分配方法。

在上述3種方法中，可變增益誤差分配方法能夠依據(jù)各單軸反饋回來的信息，對輪廓誤差估計(jì)模型估計(jì)的誤差信息進(jìn)行處理，并使用最優(yōu)的增益比對各單軸進(jìn)行補(bǔ)償，從而達(dá)到提高輪廓加工精度的目的。

因此，本文選用變增益誤差的分配方法，設(shè)計(jì)基于變增益交叉耦合的多軸運(yùn)動控制器，來減小輪廓的誤差。

變增益交叉耦合控制原理如圖4所示。

圖4 變增益交叉耦合控制器原理

在圖4的變增益交叉耦合控制原理中，系統(tǒng)輪廓誤差ε與各軸的誤差存在著以下的關(guān)系：

ε=cyey-cxex

(10)

式中：cx,cy—交叉耦合增益。

ex=xi-xo,ey=yi-yo

(11)

式中：xi—x軸的期望軌跡；yi—y軸的期望軌跡；xo—x軸的實(shí)際軌跡；yo—y軸的實(shí)際軌跡。

ux=ucx,uy=ucy

(12)

式中：u—經(jīng)過PID控制器處理之后的輪廓誤差；ux—補(bǔ)償?shù)絰軸的誤差；uy—補(bǔ)償?shù)統(tǒng)軸的誤差。

其中，輪廓誤差與跟蹤誤差存在以下的關(guān)系：

ε=eycosθ-exsinθ

(13)

比較式(10，13)可知：cx=sinθ，cy=cosθ。當(dāng)期望軌跡為一個線性直線時，斜率是固定的，此時得到的x軸和y軸的增益系數(shù)也是不變的。

由此可見，當(dāng)軌跡路徑為線性軌跡時，直接將該線段與x軸的夾角θ代入cx與cy即可；當(dāng)軌跡路徑為非線性時，cx與cy會跟隨x軸和軌跡曲線的切線之間的夾角θ的變化而不斷改變，即時補(bǔ)償x、y軸的耦合誤差，達(dá)到了變增益交叉耦合控制的目的。

2.2 迭代學(xué)習(xí)交叉耦合控制

變增益交叉耦合控制方法能夠有效提高多軸運(yùn)動系統(tǒng)的輪廓跟蹤能力，減小系統(tǒng)的輪廓誤差。然而該方法只是減小了輪廓誤差，并沒有改進(jìn)單軸的跟隨誤差。

為了提高單軸跟蹤精度，在單軸位置環(huán)采用迭代學(xué)習(xí)控制的策略，這是一種對受控對象無精確模型要求的綜合控制方法，對運(yùn)動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型要求不嚴(yán)格，對先于經(jīng)驗(yàn)的知識要求不多并且計(jì)算量少，而且能夠有效提高跟蹤性能。

基于上述控制方法的特點(diǎn)，以及前文對ILC控制的介紹，筆者將單軸的迭代學(xué)習(xí)控制和雙軸的變增益交叉耦合控制進(jìn)行融合，設(shè)計(jì)了一種基于變增益交叉耦合的迭代學(xué)習(xí)控制器。

變增益交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制器原理框圖如圖5所示。

由圖5可以得到：

(14)

將式(10，11，14)進(jìn)行整理，可得到ε的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(15)

圖5 變增益交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制器原理框圖

3 仿真驗(yàn)證及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的變增益交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制器，對改善數(shù)控機(jī)床進(jìn)給伺服系統(tǒng)雙軸運(yùn)動的輪廓跟蹤能力和降低單軸跟蹤誤差的有效性，此處使用MATLAB/Simulink建立模型，并進(jìn)行相應(yīng)的仿真分析。

其中，ILC+CCC的Simulink模型圖如圖6所示。

圖6 ILC+CCC Simulink模型圖

在圖6的仿真模型中，被控對象所采用的參數(shù)與表1的參數(shù)一致，變增益交叉耦合控制器PID的參數(shù)分別為：P=0.2，I=20，D=0.5。

該試驗(yàn)用于如下對比：

(1)傳統(tǒng)的PID單軸控制方法和無交叉耦合控制對追蹤理想軌跡過程中產(chǎn)生的輪廓誤差；

(2)傳統(tǒng)的PID單軸控制方法加交叉耦合控制對追蹤理想軌跡過程中產(chǎn)生的輪廓誤差；

(3)本文所設(shè)計(jì)的迭代學(xué)習(xí)單軸控制方法加變增益交叉耦合控制方法對追蹤理想軌跡過程中產(chǎn)生的輪廓誤差。

本文選取三葉玫瑰軌跡作為理想輸入軌跡，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

x=sin(3t)cost,y=sin(3t)sint

(16)

式中：t∈[0,2π]。

3種控制方法跟蹤的實(shí)際軌跡與理想軌跡對比如圖7所示。

圖7 3種控制方法跟蹤的實(shí)際軌跡與理想軌跡對比圖

通過圖7的3種控制方法追蹤的實(shí)際軌跡曲線與理想軌跡曲線以及其局部放大圖對比可知：ILC+CCC控制方法得到的實(shí)際輪廓與期望輪廓最為接近，PID無CCC控制方法的追蹤效果最差。

為了更進(jìn)一步展示3種控制方法對于減小輪廓誤差的效果，筆者分別給出了3種控制方法對于跟蹤理想軌跡時產(chǎn)生的輪廓誤差，如圖8所示。

圖8 3種控制方法對于理想軌跡產(chǎn)生的輪廓誤差

通過圖8可以看出：3種控制方法對于輪廓誤差的控制效果，從好到差依次為ILC+CCC、PID+CCC、PID無CCC。

在3種控制方法下，三葉玫瑰曲線輪廓誤差值如表2所示。

表2 三葉玫瑰曲線輪廓誤差值

表2中，給出了輪廓誤差性能指標(biāo)的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果。當(dāng)期望輪廓為三葉玫瑰曲線時，從表2可以得出：采用ILC+CCC控制后，相較于PID+CCC控制和PID無CCC控制，最大輪廓誤差分別降低了66.2%、79.5%；平均輪廓誤差分別降低了45.2%、75.9%。

在仿真驗(yàn)證中，通過以上圖例及數(shù)據(jù)可以證明，所設(shè)計(jì)的控制器對于降低輪廓誤差具有良好的效果。

4 結(jié)束語

本文通過對數(shù)控機(jī)床進(jìn)給伺服系統(tǒng)進(jìn)行研究，設(shè)計(jì)了變增益交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制器，用以降低多軸系統(tǒng)輪廓運(yùn)動控制時的輪廓誤差，得到的主要結(jié)論如下：

(1)在單軸的位置環(huán)設(shè)計(jì)P型迭代學(xué)習(xí)控制器，通過對一個復(fù)雜函數(shù)的曲線進(jìn)行跟蹤分析，證明所設(shè)計(jì)的控制器可以有效降低單軸的跟隨誤差；

(2)依據(jù)交叉耦合控制原理，結(jié)合迭代學(xué)習(xí)和交叉耦合控制的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了變增益交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制器對控制效果進(jìn)行了改善，解決了在多軸系統(tǒng)進(jìn)行運(yùn)動控制時，單純減小單軸跟蹤誤差不能保證輪廓誤差得到有效抑制的問題；

(3)利用三葉玫瑰曲線作為理想輸入軌跡，在MATLAB/Simulink中搭建仿真模型，開展了兩軸輪廓控制試驗(yàn)。試驗(yàn)結(jié)果表明：所設(shè)計(jì)的ILC+CCC控制方法相對于PID無CCC控制方法和PID+CCC控制方法，能更有效地提高輪廓加工精度，降低輪廓誤差。

但是，由于條件限制，本文只采用了仿真驗(yàn)證，未考慮實(shí)際系統(tǒng)中的模型不確定性。在后續(xù)的研究中，將借助于實(shí)際的試驗(yàn)臺，通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證這方面的結(jié)論內(nèi)容。