李祥健，朱家明，徐婷宜

(揚(yáng)州大學(xué) 信息工程學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225127)

0 引言

自20世紀(jì)70年代開(kāi)始，圖像分割得到了廣大學(xué)者的重視，提出了上百種的分割方法，大致可以分為基于邊緣的分割方法、基于區(qū)域的分割方法、基于能量泛函的方法、基于特定理論的方法[1]。水平集方法在1988年首次被提出來(lái)，用于解決流體力學(xué)的問(wèn)題，它將一個(gè)二維演化曲線嵌入到一個(gè)三維空間函數(shù)中，通過(guò)求解這個(gè)空間函數(shù)的極小值得到最終的演化結(jié)果[2]。后來(lái)有學(xué)者在此基礎(chǔ)上改進(jìn)了水平集模型，克服了基于邊界水平集模型容易發(fā)生邊界泄露、對(duì)初始條件苛刻的缺點(diǎn)。

CV模型的提出后，受到了學(xué)者的廣泛關(guān)注。傳統(tǒng)的水平集由于圖像的離散性以及外界噪聲的影響，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間演化后會(huì)逐漸失去光滑性并出現(xiàn)尖角，因此需要周期性地重新初始化函數(shù)。為了解決這個(gè)問(wèn)題，文獻(xiàn)[3]提出在水平集函數(shù)中加入能量懲罰項(xiàng)，縮短了水平集演化時(shí)間。醫(yī)學(xué)圖像中往往包含多個(gè)目標(biāo)區(qū)域，傳統(tǒng)的單相水平集無(wú)法分割，文獻(xiàn)[4]提出多相水平集的方法，用N個(gè)水平集函數(shù)表示2N個(gè)相，但是MRI圖像往往存在灰度不均勻的現(xiàn)象，直接運(yùn)用多相水平集模型進(jìn)行分割，很難得到理想的分割結(jié)果。因此Wells等人在水平集模型中加入了偏移場(chǎng)矯正，可以較為準(zhǔn)確地分割醫(yī)學(xué)圖像，但算法計(jì)算量大，運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)。

醫(yī)學(xué)圖像存在灰度不均勻和邊界復(fù)雜的問(wèn)題，傳統(tǒng)的雙水平集模型無(wú)法達(dá)到理想的分割效果，因此本文將Canny算子與水平集模型相結(jié)合，首先在Canny算子的基礎(chǔ)上加入梯度模板，用來(lái)解決傳統(tǒng)Canny算子無(wú)法完全檢測(cè)出復(fù)雜圖像邊緣的問(wèn)題；然后將檢測(cè)后的圖像融入到雙水平集模型中，通過(guò)在水平集模型中加入偏移場(chǎng)來(lái)解決灰度不均勻的問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)證明，本文模型既提高了分割的精度，又縮短了分割時(shí)間。

1 Canny算子

1.1 傳統(tǒng)的Canny算子

Canny算子邊緣檢測(cè)根據(jù)圖像梯度變化進(jìn)行檢測(cè)[5]，將有用的信息從中提取出來(lái)。Canny算子在處理圖像邊緣信息時(shí)的精確度較高，是一種標(biāo)準(zhǔn)的多級(jí)檢測(cè)算法，在實(shí)際應(yīng)用中較為廣泛。Canny算子一般包括高斯濾波、計(jì)算梯度強(qiáng)度和方向、非極大值抑制以及閾值算法檢測(cè)和連接邊緣四個(gè)步驟。

高斯濾波主要作用是去除噪聲，一般噪聲都是集中于高頻信號(hào)，在分割時(shí)會(huì)被誤認(rèn)為是圖像邊緣，所以首先要減少噪聲，才能提高分割時(shí)的精確度。圖像中的邊緣會(huì)指向不同的方向，所以需要采用不同的方向模板，以保證檢測(cè)的準(zhǔn)確性，一般采用水平和垂直兩個(gè)方向模板。經(jīng)過(guò)模板檢測(cè)后圖像的梯度邊緣具有多個(gè)像素寬，為得到清晰的梯度圖，通常采用非極大值抑制的方法，將最大的梯度保留下來(lái)。最后，通過(guò)雙閾值消除噪聲和顏色變化引起的小梯度值。

1.2 改進(jìn)的Canny算子

傳統(tǒng)的Canny算子在計(jì)算梯度強(qiáng)度和方向時(shí)，一般只從水平和垂直兩個(gè)方向進(jìn)行檢測(cè)，梯度幅值和梯度方向如下所示：

(1)

θ=arctan(Gy/Gx)。

(2)

在實(shí)際應(yīng)用中圖像邊緣會(huì)指向不同方向，僅從水平和垂直兩個(gè)方向檢測(cè)，往往會(huì)檢測(cè)出偽邊緣，為解決這個(gè)問(wèn)題，本文在此基礎(chǔ)上增加了對(duì)45°和135°方向的檢測(cè)，其梯度幅值和梯度方向如下所示：

(3)

(4)

為比較傳統(tǒng)Canny算子與改進(jìn)后Canny算子對(duì)圖像邊緣檢測(cè)的區(qū)別，選取了腦部MRI圖像，分別用兩種方法對(duì)圖像邊緣進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果如圖1所示。

2 水平集模型

2.1 雙水平集

CV模型[6]是由MS模型演化而來(lái)，它將MS模型中的分段光滑函數(shù)用一個(gè)分段常值函數(shù)替代，可以將圖像分為目標(biāo)和背景兩個(gè)區(qū)域，水平集的能量泛函如下所示：

(5)

式中，c1,c2分別為：

(6)

(7)

傳統(tǒng)的CV模型對(duì)單目標(biāo)和灰度均勻的圖像分割效果較好，但是無(wú)法分割多目標(biāo)的復(fù)雜圖像。為了完成對(duì)復(fù)雜圖像的分割，本文采用DCV模型即雙水平集模型進(jìn)行分割[7]，用兩條水平集函數(shù)將圖像分為4個(gè)互不重疊的部分Ω1，Ω2，Ω3，Ω4，其能量泛函如下：

(8)

2.2 雙肼勢(shì)函數(shù)

水平集函數(shù)在演化過(guò)程中，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后會(huì)失去光滑性，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果偏離真實(shí)情況，因此在演化過(guò)程中需要多次重新初始化水平集函數(shù)[8]，造成演化過(guò)程耗時(shí)太長(zhǎng)，為了避免這個(gè)現(xiàn)象，提出在水平集模型中加入能量懲罰項(xiàng)，采用單肼勢(shì)函數(shù)作為距離規(guī)則化項(xiàng)，表達(dá)式如下：

(9)

(10)

式(9)是距離規(guī)則化項(xiàng)表達(dá)式，式(10)有唯一的極小值點(diǎn)x=1，由梯度下降流公式得：

(11)

式(11)是一個(gè)擴(kuò)散方程，擴(kuò)散率D=φdp(|?φ|)，當(dāng)|?u|趨近于0時(shí)，擴(kuò)散率為負(fù)無(wú)窮大，會(huì)影響數(shù)值計(jì)算的準(zhǔn)確性。為了解決這一問(wèn)題，本文采用雙肼勢(shì)函數(shù)來(lái)代替單肼勢(shì)函數(shù)，其表達(dá)式為：

(12)

式中，方程的擴(kuò)散率為有界常數(shù)，避免了趨于無(wú)窮大的現(xiàn)象，提高了數(shù)值解精度。

2.3 偏移場(chǎng)擬合

醫(yī)學(xué)圖像在成像過(guò)程中，由于光照或者成像設(shè)備的原因，會(huì)導(dǎo)致灰度不均勻的現(xiàn)象[9]，也就是偏移場(chǎng)，偏移場(chǎng)的產(chǎn)生會(huì)影響對(duì)圖像病灶區(qū)域的分割，造成診斷結(jié)果的不準(zhǔn)確性。目前普遍采用的MRI圖像模型如下：

J(x)=b(x)I(x)+n(x)，

(13)

式中，J(x)為觀測(cè)到的圖像，b(x)表示偏移場(chǎng)，I(x)為真實(shí)圖像，n(x)表示噪聲[10]。通常采用一組正交基函數(shù)來(lái)線性擬合偏移場(chǎng)，或者通過(guò)log轉(zhuǎn)換運(yùn)算將偏移場(chǎng)線性化[11]，然后引入一個(gè)高斯核窗口函數(shù)來(lái)限定鄰域區(qū)間，得到最終的能量方程為：

E=λ1?ΩK(y-x)|J(x)-b(x)c1|2H(φ)dxdy+

λ2?ΩK(y-x)|J(x)-b(x)c2|2(1-H(φ))dxdy。

(14)

這種模型中用分段常值來(lái)表示圖像灰度，并且認(rèn)為灰度的不均勻變化是一個(gè)平滑的過(guò)程，但實(shí)際中真實(shí)圖像的灰度不是分段常值，而且偏移場(chǎng)也不是連續(xù)光滑的[12]，這樣會(huì)影響最終分割結(jié)果的精確度。為了解決這個(gè)問(wèn)題，本文采用一個(gè)模糊隸屬度函數(shù)來(lái)表示含偏移場(chǎng)的圖像，假設(shè)圖像中含有n個(gè)不同的組織，每一個(gè)組織的灰度值為一個(gè)常數(shù)，那么含偏移場(chǎng)的圖像可以表示為：

(15)

(16)

3 Canny算子與水平集模型

用Canny算子對(duì)圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)，將處理結(jié)果G(x,y)代替水平集算法中的原圖I(x,y)，并且在水平集距離規(guī)則化項(xiàng)中采用雙肼勢(shì)函數(shù)，最后加入偏移場(chǎng)擬合得到能量方程：

E=E(c1,c2,c3,c4,φ1,φ2)+βp(φ)+J(φ)=

(17)

式中，Mi(φ)表示圖像的4個(gè)區(qū)域，其中，i=1,2,3,4。

(18)

根據(jù)Euler-Lagrange方程求解，得到水平集方程分別為：

((u0-c1)2-(u0-c3)2)Hε(φ2)-

βdiv(dp(|?φ1|)?φ1)，

(19)

((u0-c1)2-(u0-c3)2)Hε(φ1)-

βdiv(dp(|?φ2|)?φ2) ，

(20)

(21)

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文算法流程：首先通過(guò)改進(jìn)的Canny算子對(duì)圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)，避免了偽邊緣的產(chǎn)生，然后在偏移場(chǎng)模型中加入了模糊隸屬度函數(shù)，解決了灰度不均勻問(wèn)題，最后將Canny算子和偏移場(chǎng)融入到雙水平集模型中，實(shí)現(xiàn)了對(duì)邊界復(fù)雜、灰度不均勻圖像的分割。

實(shí)驗(yàn)環(huán)境：Matlab 2014a，Windows7，CORE i5 -3230M，CPU 2.60 GHz，4.00 GRAM。

實(shí)驗(yàn)參數(shù)：μ=0.001*2552，Δt=0.01，v=1，水平集函數(shù)迭代次數(shù)為50次。

為了驗(yàn)證本文Canny算子改進(jìn)后對(duì)醫(yī)學(xué)圖像的分割效果，選取了圖2(a)作為原始圖像，其邊界較為簡(jiǎn)單，圖2(b)是傳統(tǒng)Canny算子的分割效果圖，圖2(c)中Canny算子用自適應(yīng)中值濾波替換高斯濾波[13]，圖2(d)是本文模型的分割效果圖，從最終的分割效果圖可以看出本文模型優(yōu)于其他兩種方法，能很好地分割出圖像邊緣。

(a) 醫(yī)學(xué)圖像

為了驗(yàn)證本文模型對(duì)復(fù)雜圖像分割的有效性，選取了圖3(a)作為原圖，分別用三種Canny算子對(duì)其進(jìn)行分割，從最終分割效果圖可以看出，其他兩種算法會(huì)出現(xiàn)偽分割現(xiàn)象，而本文模型能準(zhǔn)確地分割出邊緣。

(a) 醫(yī)學(xué)圖像

為了驗(yàn)證本文模型對(duì)于灰度不均勻圖像的分割效果，選取了兩幅信息量不同的醫(yī)學(xué)圖像。圖4(a)的信息量較小，通過(guò)去除偏移場(chǎng)之后能很好地保留原圖像的信息，圖4(d)的信息量較大，從效果圖4(f)可以看出，去除偏移場(chǎng)之后仍然能夠保持原圖像的基本結(jié)構(gòu)信息，證明了本文模型對(duì)于灰度不均勻圖像能夠起到很好的分割效果。

(a) 醫(yī)學(xué)圖像1

為了比較本文與DCV模型以及LGIF模型[14]在分割精度以及運(yùn)行時(shí)間上的區(qū)別，選取了圖5(a)作為原始圖像，分別迭代30次之后效果圖如圖5(b)、(c)、(d)所示。

(a) 原始圖像

表1記錄的是分別采用DCV模型、LGIF模型和本文模型迭代30次所需要的時(shí)間，可以看出本文模型運(yùn)行速度要快于其他兩種模型。

表1 3種不同模型運(yùn)行時(shí)間比較Tab.1 Comparison of running time of three different models

為了更加科學(xué)直觀地比較三種方法對(duì)醫(yī)學(xué)圖像的分割效果，本文采用JS指標(biāo)[15]對(duì)分割結(jié)果進(jìn)行分析：

(22)

JS的值決定分割結(jié)果的好壞，值越大說(shuō)明算法的分割效果越好。3種不同算法的JS指標(biāo)如表2所示，可以看出本文模型可以更好地獲取原圖像的信息，并且雙肼勢(shì)函數(shù)的加入提高了函數(shù)數(shù)值解的精度，使得曲線演化更加準(zhǔn)確，分割的時(shí)間也大大縮短。

表2 3種算法分割的JS值Tab.2 JS values divided by three algorithms

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)醫(yī)學(xué)圖像中灰度不均勻、邊界復(fù)雜的問(wèn)題，本文在Canny算子的基礎(chǔ)上加入45°和135°方向上的梯度模板，解決了傳統(tǒng)Canny算子檢測(cè)時(shí)出現(xiàn)偽邊緣的問(wèn)題，提高了對(duì)于復(fù)雜邊界圖像的檢測(cè)能力，在偏移場(chǎng)模型中加入模糊隸屬度函數(shù)，提高了分割的準(zhǔn)確度，最后在距離規(guī)則化項(xiàng)中使用雙肼勢(shì)函數(shù)，提高了圖像的分割效率。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文模型相比于DCV模型以及LGIF模型，在分割速度上更快，而且對(duì)于圖像的分割精度也更高。